Procedimiento para determinar las asíntotas verticales de una función
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- Asunción Olivera Córdoba
- hace 7 años
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1 DETERMINACIÓN DE ASÍNTOTAS EN UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproimando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( o y) tienden al infinito. Una definición más formal es: DEFINICIÓN : Si un punto (, y) se desplaza continuamente por una función yf() de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función. Las asíntotas pueden ser: asíntotas asíntotas asíntotas verticales horizontales oblicuas ASÍNTOTAS VERTICALES y + Las asíntotas verticales son paralelas al eje OY: o y Entonces eiste un número a tal que: f ( ) + o f ( ) A. V. : a a Procedimiento para determinar las asíntotas verticales de una función a 1º Determinamos el dominio de la función, pues para los valores de dónde deja de eistir puede tener una asíntota vertical. º Si la función deja de eistir en a, eistirá asíntota vertical a si f ( ) + o f ( ). a a + Ejemplo 1: Determina las asíntotas verticales de y 4 1º Determinamos el dominio de la función, pues para los valores de dónde deja de eistir puede tener una asíntota vertical. Dominio: Función racional fraccionaria no eiste si el denominador se anula 4 0; ; D [ f ( )] R {,} Luego tiene como posible asíntotas verticales: y -.? 1
2 º A.V. en.? f ( ) + o f ( ) No 4 hay eiste que? a hacer límites a laterales Estos límites nos sirven para determinar que es ASÍNTOTA VERTICAL pues f ( ) y f ( ) + y con ellos también observamos las tendencias + de la función (Observar gráfica) A.V. en -.? f ( ) + o f ( )? a a ( + ) 1 ( + )( ) No hay asíntota vertical, en - la función es discontinua evitable. Gráfica:
3 Ejemplo : Determina las asíntotas verticales de y ( 4) 1º Determinamos el dominio de la función, pues para los valores de dónde deja de eistir puede tener una asíntota vertical. Dominio: Función racional fraccionaria no eiste si el denominador se anula ( 4) 0; 4 D [ f ( )] R { 4} Luego tiene como posible asíntota vertical: 4? º A.V. en 4.? f ( ) + o f ( ) ( 4) ? a a Este límite nos sirve para determinar que 4 es ASÍNTOTA VERTICAL pues f y f ( ) + con ellos también observamos las tendencias de la 4 ( ) función (Observar gráfica)
![Dominio: Función racional fraccionaria no eiste si el denominador se anula ( 4) 0; 4 D [ f ( )] R { 4} Luego tiene como posible asíntota](/docs-images/47/21372778/images/page_3.jpg "vertical: 4? º A.V. en 4.? f ( ) + o f ( ) ( 4) 4 + 0 +?")
4 Ejemplo : Determina las asíntotas verticales de y log( + 4) 1º Determinamos el dominio de la función, pues para los valores de dónde deja de eistir puede tener una asíntota vertical. Dominio: Función logarítmica sólo eiste si + 4 > 0 > 4 < 4 luego D [ f ( )] (,4) Puede tener como asíntota vertical cuando se acerca a la izquierda de 4 º A.V. en 4.? f ( ) + o f ( ) 4? a log( + 4) log( + 0) a ASÍNTOTA VERTICAL, pues f ( ) Este límite nos sirve para determinar que 4 es 4 tendencia de la función (Observar gráfica) y con el también observamos la 4
![Dominio: Función logarítmica sólo eiste si + 4 > 0 > 4 < 4 luego D [ f ( )] (,4) Puede tener como asíntota vertical cuando se acerca a](/docs-images/47/21372778/images/page_4.jpg "la izquierda de 4 º A.V. en 4.? f ( ) + o f ( ) 4?")
5 Ejemplo 4: Determina las asíntotas verticales de y log( 9) 1º Determinamos el dominio de la función, pues para los valores de dónde deja de eistir puede tener una asíntota vertical. Dominio: Función logarítmica sólo eiste si 9 > 0; Resolvemos la inecuación: 9 > 0 (, ) 9 > si y si -, (,) 9 < 0 luego (, +) 9 > 0 D [ f ( )] (, ) (, +) Puede tener como asíntota vertical cuando se acerca a la izquierda de - y como asíntota vertical cuando se acerca a la derecha de, por ser los valores dónde empieza a no eistir. º A.V. en - -.? f ( ) + o f ( ) log( 9) log( + 0)? a Este límite nos sirve para determinar que - es ASÍNTOTA VERTICAL, pues f y con el también observamos la tendencia de la función (Observar gráfica) ( ) a A.V. en +.? f ( ) + o f ( ) log( +? a 9) log( + 0) a Este límite nos sirve para determinar que es ASÍNTOTA VERTICAL, pues f y con el también observamos la tendencia de la función (Observar + gráfica) ( ) 5
6 ASÍNTOTAS HORIZONTALES + Las asíntotas horizontales son paralelas al eje OX: o Si eiste f ( ) k R o f ( ) k R entonces yk será una asíntota horizontal. + Procedimiento para determinar las asíntotas horizontales de una función Se calcula el f ( ) y f ( ) si alguno de ellos toma un + valor finito k, eistirá asíntota horizontal yk. Nota: P( ) P( ) - En el caso de funciones del tipo y Q( ) Q( ) horizontal si grado de P() grado de Q(). f ( ) f ( ) k + eistirá asíntota En estos casos: () - En el caso de funciones del tipo eponencial y a f eistirá asíntota 0 < a < 1 horizontal y0 si a > 1 y y f ( ) + f ( ) - Para determinar la posición relativa de la curva y la asíntota yk hacemos lo siguiente: Y 1 f() 100 y f (100) -100 y f (100) Y 1 - K Y 1 - K > 0 Y 1 - K < 0 Y 1 - K > 0 Y 1 - K < 0 Situación relativa de la gráfica y la asíntota La gráfica esta por encima de la asíntota en el + La gráfica esta por debajo de la asíntota en el + La gráfica esta por encima de la asíntota en el - La gráfica esta por debajo de la asíntota en el - 6
7 1 Ejemplo 5: Determina las asíntotas horizontales de y f : º Se calcula el ( ) El -0 indica que la curva se encuentra por debajo de la asíntota y0 º Tenemos dos opciones: Calcular por + + El +0 indica que la curva se encuentra por encima de la asíntota y0 - O directamente calculamos la posición relativa de la gráfica y la asíntota: y 1 Y 1 -k y 1 0, ,0099-0<0 100 Situación relativa de la gráfica y la asíntota La gráfica esta por debajo de la asíntota en el y 1 0,0101 0,0101-0> 0 ( 100) La gráfica esta por encima de la asíntota en el - (como se observa en la gráfica adjunta) 7
8 Ejemplo 6: Determina las asíntotas horizontales de y 4 f 1º Se calcula el ( ) Luego y será una asíntota horizontal. º Se determina la posición relativa de la gráfica y la asíntota: y y Y 1-4 ( 100) ( 100), y ( 100) ( 100) 4, > 4, >0, >0 Situación relativa de la gráfica y la asíntota La gráfica esta por encima de la asíntota en el + La gráfica esta por encima de la asíntota en el - (como se observa en la gráfica adjunta) 8
9 Ejemplo 7: Determina las asíntotas horizontales de + y (ejemplo 1) 4 1º Se calcula el f ( ) Luego y1 será una asíntota horizontal. º Se determina la posición relativa de la gráfica y la asíntota: y + y Y ( 100) ( 100) 1, y ( 100) ( 100) 0, , >0 0, < 0 Situación relativa de la gráfica y la asíntota La gráfica esta por encima de la asíntota en el + La gráfica esta por debajo de la asíntota en el - (como se observa en la gráfica adjunta) 9
10 Ejemplo 8: Determina las asíntotas horizontales de y º Se calcula el f ( ) Luego y- será una asíntota horizontal. º Se determina la posición relativa de la gráfica y la asíntota: y Y 1 -(-) + 4. y ( 100) ( 100) 1, y ( 100) ( 100), , >0 -, < 0 Situación relativa de la gráfica y la asíntota La gráfica esta por encima de la asíntota en el + La gráfica esta por debajo de la asíntota en el - (como se observa en la gráfica adjunta) 10
11 Ejemplo 9: Determina las asíntotas horizontales de P( ) P( ) Nota: En este caso por no ser una función del tipo y Q( ) Q( ) calcular f ( ) y f ( ) : + 1º Se calcula el f ( ) : ( 10 + ) horizontal en el +. (como se observa en la gráfica adjunta) f : º Se calcula el ( ) y hay que Luego no eiste asíntota 1 1 ( 10 + ) ( 10 + ) ( ) por Luego y10 será una asíntota horizontal. º Posición relativa de la gráfica y la asíntota Situación relativa de la y 10 + Y 1 -(10) gráfica y la asíntota y La gráfica esta por encima de la 10 > 0 asíntota en el - (como se observa en la gráfica adjunta) 11
12 + 1 Ejemplo 10: Determina las asíntotas horizontales de y. P( ) P( ) Nota: En este caso por no ser una función del tipo y Q( ) Q( ) calcular f ( ) y f ( ) : + hay que º Se calcula el f ( ) : Luego y0 será una asíntota horizontal y el +0 del límite indica que la gráfica está por encima de la asíntota en el +. (como se observa en la gráfica adjunta) º Se calcula el f ( ) : + 0 ( por ) Luego y0 será una asíntota horizontal y el +0 del límite indica que la gráfica está por encima de la asíntota en el +. (como se observa en la gráfica adjunta) 1
13 ASÍNTOTAS OBLICUAS Son rectas asíntotas a una función del tipo y m + n siendo m 0 Si una función tiene asíntotas horizontales no tiene oblicuas. Procedimiento para determinar las asíntotas oblicuas de una función f ( ) f ( ) 1º Se calcula m: m R y m 0 o + n f ( ) m si n m R y m 0 n f ( ) m si n º Se calcula n: ( ) R o ( ) R + Nota: - Si una función tiene asíntotas horizontales no tiene oblicuas. - P( ) P( ) En el caso de funciones del tipo y Q( ) Q( ) eistirá asíntota oblicua si grado de P() grado de Q() P( ) P( ) Si m 0 en el caso de funciones del tipo y Q( ) Q( ) este valor es el mismo cuando + y -, por lo tanto sólo es necesario calcular el valor cuando +. º Para determinar la posición relativa de la curva y la asíntota hacemos lo siguiente: Y 1 f() Y m+n Y 1 - Y 100 y 1 f (100) y 100m + n -100 y 1 f ( 100) y 100m + n Y 1 - Y > 0 Y 1 - Y < 0 Y 1 - Y > 0 Y 1 - Y < 0 Ejemplo11: Determina las asíntotas oblicuas de 1º Se calcula m : m Situación relativa de la gráfica y la asíntota La gráfica esta por encima de la asíntota en el + La gráfica esta por debajo de la asíntota en el + La gráfica esta por encima de la asíntota en el - La gráfica esta por debajo de la asíntota en el - y P( ) P( ) - Si m 0 en el caso de funciones del tipo y este valor Q( ) Q( ) es el mismo cuando + y - por lo tanto sólo es necesario calcular el valor cuando Por lo tanto eiste una asíntota oblicua y + n n y º Se calcula el n : 1
14 n ( 1) Luego y + será una asíntota oblicua. Para determinar la posición relativa de la curva y la asíntota hacemos lo siguiente: y 100 y , y1. ( ) ( 100) , y + Y 1 - Y situación y + 50,5 ( como se observa en la gráfica adjunta) 50, ,5 > y , ,5 < 49,5 ( ) 0 La gráfica esta por encima de la asíntota en el + La gráfica esta por debajo de la asíntota en el - Ejemplo 1: Determina las asíntotas oblicuas de 1º Se calcula m : y m P( ) P( ) - Si m 0 en el caso de funciones del tipo y este valor Q( ) Q( ) es el mismo cuando + y - por lo tanto sólo es necesario calcular el valor cuando +. Por lo tanto eiste una asíntota oblicua y +n n y - º Se calcula el n : 14
15 n Luego y será una asíntota oblicua. Para determinar la posición relativa de la curva y la asíntota hacemos lo siguiente: y Y Y 1 - Y situación y , y 1 ( 100) ( 100) , y , < 0 La gráfica esta por debajo de la asíntota en el + y 100 ( como se observa en la gráfica adjunta) - 99, > ( ) 0 La gráfica esta por encima de la asíntota en el - 15
16 Ejemplo 1: Determina las asíntotas oblicuas de y 9 A) cuando +. 1º Se calcula m : m Por lo tanto eiste una asíntota oblicua y +n n y - º Se calcula el n : n Luego y será una asíntota oblicua. Para determinar la posición relativa de la curva y la asíntota hacemos lo siguiente: y 9 Y Y 1 - Y situación y , y , < 0 La gráfica esta por debajo de la asíntota en el + ( como se observa en la gráfica adjunta) B) cuando -. 1º Se calcula m : m 9 por Por lo tanto eiste una asíntota oblicua y - +n n y + º Se calcula el n : n por Luego y- será una asíntota oblicua. Para determinar la posición relativa de la curva y la asíntota hacemos lo siguiente: -100 y 9 Y- Y 1 - Y situación ( ) y , y , < 0 La gráfica esta por debajo de la asíntota en el + 16
17 ( como se observa en la gráfica adjunta) Ejemplo 14: Determina las asíntotas oblicuas de y A) cuando +. 1º Se calcula m : 4 + m Por lo tanto eiste una asíntota oblicua y 7+n n y -7 º Se calcula el n : n Luego y7 será una asíntota oblicua. Para determinar la posición relativa de la curva y la asíntota hacemos lo siguiente: y Y7 Y 1 - Y situación y , y , < 0 La gráfica esta por debajo de la asíntota en el + ( como se observa en la gráfica adjunta) 17
18 B) cuando -. 1º Se calcula m : 4 + m 1 por Por lo tanto eiste una asíntota oblicua y +n n y º Se calcula el n : n por Luego y será una asíntota oblicua. Para determinar la posición relativa de la curva y la asíntota hacemos lo siguiente: -100 ( ) y Y Y 1 - Y situación y La gráfica esta por debajo y ( 100) < 0 de la asíntota en el ( como se observa en la gráfica adjunta) 18
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