Límite, continuidad, asíntotas. Rápidamente aparecen las indeterminaciones y aplicamos las principales herramientas para su

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1 UNIDAD 4 Límite, continuidad, asíntotas a presente Unidad es la base del denominado L Cálculo Infinitesimal, que es a su vez el sustento del Análisis Matemático Los temas de la Unidad ya fueron tratados en el libro de º, y convendría que el alumnado los revisase para recordarlos Ahora procedemos a profundizar en su estudio, no con rigor y formalismo matemático ecesivo, pero sí de modo que nos percatemos de que nuestras afirmaciones están fundadas en métodos matemáticos rigurosos Sabemos que la mayoría de nuestros estudiantes quieren realizar estudios universitarios, de ahí que intentemos introducir notaciones y técnicas que se usarán más adelante El matemático francés Augustin Louis Cauchy ( ) sienta las bases del moderno Análisis, fundamentando la idea de ite En la Unidad aparece la definición rigurosa de ite, no sólo como el valor al que se acerca la función cuando la variable se acerca a un punto, y la eplicamos con algunos ejemplos, sólo para dejar claro que todas las propiedades y operaciones de los ites están basadas en dicha definición Augustin Louis Cauchy (Wikipedia org Dominio público ) Rápidamente aparecen las indeterminaciones y aplicamos las principales herramientas para su resolución: Regla de L Hôpital (indeterminaciones,, ), tomar logaritmos neperianos (indeterminaciones,, ), y definición de número e (indeterminación ) El ite permite fundamentar la idea de continuidad, y de discontinuidad A raíz de las discontinuidades de salto infinito, surge la noción de asíntota vertical El ite en o conduce a las asíntotas horizontales y oblicuas No sólo es importante saber calcular las ecuaciones de las asíntotas, sino conocer cómo se aproima la función a ellas Por lo tanto, esta Unidad tiene como objetivos los siguientes: Mejorar el cálculo de ites, resolviendo las indeterminaciones eistentes Estudiar la continuidad de una función Obtener las asíntotas de una función 4 Calcular la derivada de cualquier función 5 Estudiar la derivabilidad de una función 6 Obtener las derivadas sucesivas 6

2 ÍNDICE DE CONTENIDOS LÍMITES DE UNA FUNCIÓN 64 Límite de una función en un punto 64 Límites en el infinito y en el menos infinito 66 Indeterminaciones 68 CONTINUIDAD DE UN FUNCIÓN 7 ASÍNTOTAS 75 6

3 UNIDAD 4 LÍMITE, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS Límites de una función En una primera aproimación, son tres los ites que podemos calcular en una función: en un punto f ( ), en el infinito f ( ) y en el menos infinito f ( ) Los conceptos básicos los aprendimos en º a Aquí profundizaremos para mejorar en la comprensión y en el cálculo de dichos ites Límite de una función en un punto El ite de una función en un punto es el valor al que se cerca dicha función cuando la variable se acerca al punto Qué significa acercarse? Pues que la distancia entre ambos (función y su ite, variable y valor en el punto) se acorta Cómo se calcula la distancia en la recta real? Hallando el valor absoluto de la diferencia entre los dos valores (se toma valor absoluto para que la distancia siempre sea positiva) Si el ite es finito, el ite se define, y se escribe en forma matemática, como: f ( ) l Para todo ε > eiste δ > tal que si < a < δ entonces f( ) l < ε a Abreviadamente se escribe_q para todo,?q eiste Observa que para que se acerque al punto se impone la condición < - a < [, donde [ es una cantidad que debe ser cada vez más pequeña Hay que ecluir el punto, pues ano verifica la inecuación < - a Observa que la condición la pone la función ( ) y que hay que encontrar el valor de [ (que estará directamente relacionado con _) que garantice la ª inecuación Ejemplo Usando la definición demuestra que: Solución: a) ( 5) ; b) Escribimos la definición para cada caso particular: a) ( 5 ) ε > δ > tal que si < < δ entonces 5 < ε Lo que hay que hacer es ( ) < encontrar una relación entre [ y_ Fíjate que la ª inecuación se convierte en 6 δ ε tomando δ tendríamos demostrado el ite b) ε > δ > tal que si < < δ entonces < ε Se parte de < < δ y hay que manipular ( )( ) El º valor absoluto está acotado por δ El primero eige más trabajo: δ Por lo tanto, δδ ( ) ε La ecuación δ δ ε tiene como solución positiva δ ε, que es la relación buscada Observa que en ambos casos, si disminuye _ también lo hace [ Si no fuera así, la función no tendría ite 64

4 Puedes observar que: º) al complicarse la función se hace muy complicado averiguar la relación entre los términos [ y _ ; º) la definición no sirve para calcular el ite de una función directamente, aunque sí para demostrar las fórmulas del álgebra de ites que vimos en º de bachillerato y que aquí repetiremos, sin demostración A pesar de que en la definición ecluyamos el punto, para el cálculo del ite habitualmente sustituiremos dicho valor en la función y así obtendremos dicho ite Recuerda que esto es así porque trabajamos con funciones continuas En realidad, el ite se compone de otros dos, llamados ites laterales: por la izquierda ( a-) y por la derecha ( a ), que usábamos en las funciones definidas a trozos, en aquellos puntos en los que cambiaba de definición, y en las funciones que presentaban discontinuidades inevitables de salto infinito, allí donde éstas aparecían Las discontinuidades inevitables de salto infinito se presentan en aquellos puntos en los que el ite no está acotado, habitualmente porque el denominador se anula y no el numerador, o porque el argumento del logaritmo se hace cero En el primer caso, que es el de las fracciones algebraicas o funciones definidas a partir de cocientes, los ites laterales suelen ser distintos, mientras que en el caso de las funciones logarítmicas sólo aparece un ite lateral, pues, al intentar calcular el otro, el argumento es negativo, por lo que no eiste el logaritmo y lógicamente carecerá de ite Si la función no está acotada superiormente en el punto, se dice que f ( ) y si no está acotada inferiormente que f ( ) En la gráfica, M y N representan las cotas superior e inferior, respectivamente a Límites en el infinito y en el menos infinito También aquí pueden darse varios casos: I Que la función se acerque a un valor finito, que puede ser distinto en y en -- Si el valor es el mismo en ambos casos, se escribe f ( ) k Este valor nos da la ecuación de la asíntota horizontal de la función ± y H k II Que la función no esté acotada superiormente f ( ),o que no lo esté inferiormente f ( ) ± Igual que en el primer caso, los ites de la función pueden variar de a -- La función no tiene asíntota horizontal a ± 65

5 UNIDAD 4 LÍMITE, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS Recuerda los siguientes resultados de los ites en o: r P ej r 4 si r es par P ej lí m ) Si r > r 5 si r es impar P ej Pej es también el caso r ± r ( < ) ± Cuando se trata de polinomios, el comportamiento en ó -- viene dado por su monomio de mayor grado, siendo despreciables los demás términos: 5 ) ( ) 4 5 ) 4) e ; e e e ln 5) No podemos calcular Para el cálculo de ites de funciones un poco más complejas necesitamos conocer el Álgebra de ites o propiedades de los ites de las funciones: lim ( f( ) ± g( ) ) lim f( ) ± lim g( ): el ite de una suma o resta es la suma o resta de los ites a a a lim ( f( ) g( ) ) lim( ) lim g( ): a a a ( ) ( ) k f k f a a el ite de un producto es el producto de ites : el ite de una constante por una función es igual a la constante por el ite de la función f f ( ) a g : el ite de un cociente es el cociente de ites a g ( ) g( ), ( ) a a g ( ) g( ) ( ) ( ) a a ln, sen, cos, tg ± ± ± a f ( ) f ( ) : el ite de una función elevada a otra es igual al ite de la base elevada al ite del eponente Estas fórmulas sirven también para y --, igual que todo lo que se diga a continuación Pare evitar alargar la escritura, sólo escribiremos f ( ) a 66

6 Ejemplos Calcula los siguientes ites: a) 4 ; b) ln 6 ; c) e 4 Solución: a) 4 Recuerda que si el denominador es cero, lo único que hay que averiguar es el signo de la fracción cerca del punto b) ( ) ( ) / ln 6 4 ln( 6) ln, pues 6 < si < 4 4 ln( 6) 4 e e e c) e e e Observa el cambio de comportamiento, que es debido a la e e e influencia del cambio de signo en la función eponencial, con la que hay que tener mucho cuidado Dada, si < f ( ) e, si ; ln ( ), si > calcula f ( ) y f ( ) Solución: Observa que hay que calcular los ites en los puntos en los que la función cambia de definición, por lo que averiguamos directamente los ites laterales: f ( ) f ; ( ) e Al sustituir en el ite la función que tenemos a cada lado hay que seguir con los ites laterales, pues nos es necesario para conocer el signo del ite f ( ) e e e; f ( ) ln ) En el primer ite lateral, podemos prescindir de seguir escribiéndolo porque no hay problemas con la función, mientras que en el segundo hay que escribirlo de nuevo, pues sólo eiste un ite lateral A la izquierda tienes la gráfica de la función en los puntos en los que hemos calculado los ites ( e 4 Calcula los siguientes ites: a) ; b) ; c) 7 ;

7 UNIDAD 4 LÍMITE, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS ( ) d) ; e) 4 Solución: a) ind ( ) 4 5 ( ) 7 5 b) ( ind ) ind ( ) c) d) lí m ( ) ind ( ) e) ( ind ) X Indeterminaciones La aparición de algún o de algún (cero) en determinados lugares puede convertir el ite en una indeterminación Ya conocemos las indeterminaciones,, También son indeterminaciones,,, Observa que, salvo, todas las indeterminaciones se deben a que no es un número y, por lo tanto, no sigue las reglas para los números En el caso de hay un conflicto, pues a, pero a, y no sabemos a qué regla atenernos Éstas son las 7 indeterminaciones posibles Como puedes imaginar, los casos interesantes son las indeterminaciones, ya que en los demás sólo hay que sustituir los números y operar Para resolver estas 7 indeterminaciones necesitamos alguna herramienta más potente que la división por el método de Ruffini, que sólo sirve para polinomios Esta herramienta se llama Regla de L Hôpital y consiste en cambiar en un cociente el numerador y el denominador por sus respectivas derivadas, y calcular a continuación el ite Si de nuevo sale una indeterminación, se procede de forma análoga hasta que ésta desaparezca Por supuesto, deben eistir las derivadas de f y de g, que es lo habitual Puede enunciarse así: ( ) ( ) Si f ó entonces f f ' ( ) ag ( ) ag ( ) ag' ( ) Ejemplo 5 En los siguientes apartados mostramos algunos ites resueltos L' Hôpital L' Hôpital a) lim ind lim ( ) b) lim e ind lim e L' Hôpit al NOTA: El caso a) se puede resolver usando la Regla de Ruffini, factorizando numerador y denominador, pero el b) no podemos resolverlo mirando los grados del numerador y del denominador, porque el numerador no es un polinomio Fíjate que la Regla de L Hôpital nada tiene que ver con la derivada de un cociente, sino que es únicamente cambiar el numerador y el denominador por sus derivadas respectivas Esta regla se usa en todas las demás indeterminaciones, salvo en --, pues se puede convertir en / ó / sin dificultad ind ( ) ( ) lim e 68

8 c) ind ( ) 4 d) Fíjate que a veces la forma de deshacer la indeterminación no consiste más que en efectuar la operación señalada, pero no realizada (resta y multiplicación en los casos anteriores) g ( ) Observa el procedimiento: f ( ) g ( ), por lo que se convierte en ó en, pasando a ser indeter- f ( ) minación resoluble por la Regla de L Hôpital restamos las fracciones multiplicamos las frac 5 5 ind 7 ( ) ciones 6 4 L' Hôpital ind ( ) Obviamente, para usar esta Regla, hay que conocer la derivada de las funciones Las puedes encontrar en la Unidad 8 del libro de º o en la siguiente Unidad, la Unidad 5 Las indeterminaciones,,,las podemos convertir en resolubles mediante L Hôpital sin más que tomar logaritmos neperianos Recuerda que los logaritmos bajan los eponentes: lna b b lna, con lo que: ( ) Todas estas indeterminaciones se ln ln, ln ln, ln ln convierten en y después en ó Veámoslo con unos ejemplos: 5 ( ) f) ind L Hôpit ( ) ( )( ) ind ( ) ' al ln ln g) ( e ) ( ind ) L Hôpital ind e e ( ) ' 5 ( )( ) 7 7 e) ind ( ) ( ) ( ) h) ( ind ) hacemos y ln y ln Calculamos el it e ( ln y ) ln ( ) ind ln X L' Hôpital ind ( ) ( ) ( ) ( ) ( ln y ) ln( y) y e Observa que al final hay que deshacer el haber tomado logaritmos neperianos recurriendo a su función inversa, la eponencial i) ind y ln y ( ) ( ) ( ) ind L' Hôpital ( ) 6 6 ( ) e 6 ( ) ln ln( ) ln ( ) ( ln y ) 69

9 UNIDAD 4 LÍMITE, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS También podemos resolver recurriendo a la definición del número e: ( ) e ( ) p ( ) p( ), si p( ) cuando De este modo, podemos escribir lo siguiente: si q( ) q( ) p( ) p entonces ( ) p ( ) ( ) p q( ) p( ) ( ) ep q, p( ) en donde aparece ep en lugar del número e, para mayor claridad Por lo tanto, lo único que hay que averiguar es el término p() Ejemplo Continuación del ejemplo 5 ( ) ( ) j) ind ep e p ( ) p ( ) Intenta hacer los ejemplos g y h tomando logaritmos neperianos, que es el método más general, pues la definición de e sólo puede usarse para la indeterminación q ( ) p ( ) k) 5 ind ( ) p 5 7 p 5 ( ) ( ) ; 5 7 q ( ) q ( ) 4 p ( ) p ( ) e ep ( ) q ( ) p ( ) l) ( ) ( ind ) y ( ) y ln( ) ln( ) ln ( ln y ) ( ind ) L' Hôpital ( ) e m) conjugado ( ind ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 Este ejemplo también se puede resolver mediante la Regla de L'Hôpital: ind L' Hôpital ( ) 4 7

10 Actividades Halla: a) ; b) 9 5 ; c) Calcula: a) ; b) 5 ; c) Halla: a) 4 6 ; b) ; c) ; b) 4 ; c) Calcula: a) ( 5 Averigua: a) e ( ); b) e 6 Calcula: a) ( ) ; b) ) ; c) ( e ; c) ( ) ) ( ) 7 Calcula: a) 8 ; b) ; b) Calcula a) Calcula: a) 5 ; b) Calcula: a) 9 ; b) Calcula los ites siguientes: a) ; b) Calcula los ites siguientes: a) 6 5 ; b)

11 UNIDAD 4 LÍMITE, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS Continuidad de un función Recordemos que una función f es continua en un punto a cuando: Eiste f(a):? f(a) f ( ) f ( ), f ( ) y f ( ) f () f( ) : en el caso de las funciones definidas a a a a a a trozos implica que eisten y coinciden los ites laterales f ( ) f ( a ) : coincide el valor del ite con el valor de la función en el punto a a Una definición alternativa es: una función f es continua en un punto a cuando lo que aparece en la definición de derivada f ( a h ) f ( a ), que es h Habitualmente, para estudiar la continuidad de una función usamos los tres pasos antes descritos También hay que recordar que las funciones que pueden presentar problemas en su continuidad son las definidas a trozos (en los puntos en los que cambia de definición), las funciones con denominadores (allí donde se anule dicho denominador) y las logarítmicas (donde el argumento se hace cero) Hay tres tipos de discontinuidades: i Discontinuidad inevitable de salto finito (suele darse en funciones definidas a trozos) Los ites laterales son distintos, pero ambos finitos ii Discontinuidad inevitable de salto infinito (la función tendrá asíntotas verticales en los puntos en los que presenta este tipo de discontinuidad) La función no está acotada en el punto iii Discontinuidad evitable (se evita redefiniendo la función en ese punto) Eiste el ite de la función en el punto (aparece la indeterminación /, que resuelta da un ite finito), y de ese modo se redefine la función Ejemplo 6 Estudia la continuidad de las siguientes funciones Representa gráficamente f y esboza la gráfica de g en donde sea discontinua, si < a) f ( ) si ; b) g ( ), 8 5, si > Solución: a) Los posibles puntos de discontinuidad son, En : º) f ( ) ; º) f ( ) ( ) ; f ( ) ( ) / ( ) f no es continua en Es una discontinuidad de salto finito En : º) f ( ) ; º) f ( ) ( ) ; f ( ) ( 5) f ( ) f R{} es continua en f es continua en, y presenta una discontinuidad de salto finito en 7

12 b) Los posibles puntos de discontinuidad son 4, -- (DEN ) 4: f( 4) ( 4) ind ( ) discontinuidad evitable ( )( ) -- : f ( ) 4 discontinuidad inevitable de salto infinito La función g tiene una asíntota vertical en Para el esbozo calculamos los ites laterales 8 4 ; 8 4 Así, g es continua en R { }, presenta una discontinuidad evitable en 4 y una discontinuidad inevitable de salto infinito en Arriba está el esbozo de g El siguiente paso es definir la continuidad en un intervalo (a, b) Parece obvio que f será continua en (a, b) cuando sea continua en todos lo puntos del intervalo (a, b) Observa que este estudio ya aparece en la conclusión de los ejemplos anteriores Ejemplos a, si < 7 Averigua el valor de a para que f( ) sea continua en todo R, a si Solución: En principio, el posible punto de discontinuidad es - f ( ) a a f ; ( ) a a a a a a a, a a Así, f podría tener las dos siguientes formas:, si <, si < a) f ( ) b) f ( ),, si, si Observando la forma a), vemos que presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito en, y en la b) el denominador se anula para -- / Luego f no es continua en todo R para ningún valor de a 7

13 UNIDAD 4 LÍMITE, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS, si < a, si < 8 Calcula a, b, c y d para que sea continua f ( ) bsi, < 5 y represéntala gráficamente c, si 5 < 7 d, si 7 Solución: Los posibles puntos de discontinuidad son,, 5, 7 Directamente calculamos los ites laterales y los igualamos: f ( ) ; f ( ) ( a) 6a 6a a 5 f ( ) ( 5) 4; f ( ) b b b 4 f ( ) 4 4; f ( ) ( c) 5 c 45 c c f ( ) ( 9) ; f ( ) d d d , si < 5, si < La función f es de la forma: f ( ) 4, si < 5 9, si 5 < 7, si 7 y su representación gráfica es la que aparece debajo, si 9 Estudia la continuidad de f ( ), si < < Represéntala 6, si Solución: A partir de una observación ligera diríamos que los únicos posibles puntos de discontinuidad son, Sin embargo, hay que considerar también el valor absoluto: -- 6, 6 De estos dos valores, sólo influye el 6, que es el que verifica 6 s Podemos separarlo y rescribir la función como, si, si < < f ( ) 6, si < 6 6, si > 6 º ) f ( ) ; º ) f ( ) f ( ) No es continua º ) f( ) 9; º ) f( ) f ( ) ( 6) 9 No es continua 6 º ) f( 6) ; º ) f ( ) ( 6) f ( ) ( 6 ) Sí es continua Por lo tanto, f es continua en R --{, }, presentando discontinuidades inevitables de salto finito en ambos puntos Como ya sabíamos, el valor absoluto no presenta ningún problema para la continuidad 74

14 Asíntotas Se llama asíntota o rama parabólica o rama infinita a la recta a la que se acerca la función cuando no está acotada en un punto (asíntota vertical), o a la recta a la que se acerca la función cuando ± (asíntota horizontal y asíntota oblicua) Hay tres tipos de asíntotas: la asíntota vertical, la asíntota horizontal y la asíntota oblicua La asíntota vertical indica que la función tiende a ó -- conforme se acerca a un punto a Para hallar la ecuación de las asíntotas verticales hay que resolver la ecuación DENOMINADOR() ó ARGUMENTO() (en el caso del logaritmo) La ecuación de la asíntota vertical es a, siendo a la solución de alguna de las ecuaciones anteriores Para saber cómo se acerca la función a la asíntota se calculan los ites laterales Las asíntotas horizontal y oblicua nos indican adonde se acerca la función cuando ± Son dos rectas, una de ellas horizontal, por lo que tiene pendiente cero, y otra oblicua, de pendiente distinta de cero Una función f tiene una asíntota horizontal cuando La ecuación de la asíntota horizontal es y H k, donde escribimos el subíndice H para distinguirlo de la función, que muchas veces se llama y Una función no tiene asíntota horizontal cuando f ( ) ± Si la función tiene asíntota horizontal, no tendrá asíntota oblicua, pues la horizontal es un caso particular de oblicua, con la pendiente igual a cero Para saber cómo se acerca la función a la asíntota horizontal hay que estudiar el signo de la diferencia y y H tanto en como en Si sgn(y y H ) >, y va por encima de y H, y si sgn(y y H ) <, la función va por debajo de la asíntota Una asíntota oblicua es una recta de ecuación y Ob m n a la que se aproima la función f cuando ± Cómo calculamos m y n? Si f se aproima a y Ob debe verificar los siguientes apartados: ( ) ( ) ( ) º) f f y f m lí ± ± Ob m n ± m m f ( ) ± º) ( f ( ) y ) ( f ( ) m n) n f ( ) m ± Ob ± ± f ( ) k, k R ± ± ( ) Observa que primero ha de calcularse m, que debe ser un valor finito, pues en caso contrario no tendría asíntota oblicua, y después se calcula n Igual que en el caso de la asíntota horizontal, para ver cómo se acerca la curva a la asíntota hay que calcular el signo de la diferencia y y Ob Recuerda que sólo buscaremos asíntota oblicua cuando la función no tenga asíntota horizontal También puede darse el caso de que la asíntota oblicua sea distinta para que para Ejemplos Averigua las asíntotas de f ( ) e indica cómo se aproima la función a sus asíntotas 9 Solución: Para hallar las asíntotas verticales resolvemos la ecuación DEN, que en este caso es -- 9 ± Las ecuaciones de las asíntotas verticales son --, La función se aproima a cada asíntota: 9 ; ;

15 UNIDAD 4 LÍMITE, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS Como ± ±, 9 la función tiene como asíntota horizontal la recta y H Se acerca a la asíntota horizontal: sgn sgn 9 9 > 9 Por lo tanto, f > y H la curva f va por encima de la asíntota y H Halla las asíntotas de la función y 5 y estudia el comportamiento de la función cerca de sus asíntotas Solución: DEN 5 ; AV: 5 lim 5 5 ; 5 lim lim lim lim ± ± ± No tiene asíntota horizontal 5 ± ( ) m f ± ± ( 5) ± yob 5 n ± 5 ± 5 ± 5 5 si 5 ( ) 5 sgn sgn <, y < yob >, si y > yob Halla las asíntotas de y y estudia su comportamiento cerca de sus asíntotas Solución: DEN No tiene asíntota vertical Fíjate que para que una fracción algebraica tenga asíntota oblicua, la diferencia entre los grados de numerador y denominador debe ser, que es el grado de la asíntota oblicua y H sgn ± ± sgn sgn sgn >, si y > y H No tiene asíntota oblicua, pues tiene asíntota horizontal <, si y < y H ( ) 76

16 Actividades, si Representa gráficamente la función f ( ), si < Indica el valor de f ( ) y clasifica la discon, si > tinuidad en el punto -, si < 7 4 Considera la función f ( ) Determina: a) El valor de a para que f sea continua en 7; a 4, si 7 < b) La gráfica de f, si f ( ) 5 Estudia la continuidad de, si < 6 (a) 6 En cierto colectivo de familias, el gasto mensual en ocio G(), en euros, está relacionado con sus ingresos mensuales,, 5, 6, en euros, a través de la siguiente epresión: G( ) 4 8, 6 < 6 (b) a) Estudia la discontinuidad del gasto El gasto en ocio de una familia es sensiblemente distinto si sus ingresos son ligeramente inferiores o superiores a los 6? b) Justifica que el gasto en ocio es siempre creciente con los ingresos 6 (c) c) Justifica que ninguna familia realiza un gasto en ocio superior a los 7 7 Halla las asíntotas de la curva y, si 8 Se considera la función real de variable real f ( ) ln, si > a) Estudia la continuidad de f() en ; b) Esboza su gráfica ( ) f() 9 Calcula las asíntotas de 4 Se pide: a) Especificar su dominio de definición ; b) Estudiar su continuidad; c) Calcular las asíntotas si las hubiera Sea la función f ( ) Se considera la función real de variable real definida por f ( ) 4 Se pide: a) Determinar su dominio de definición; b) Obtener sus asíntotas, si < Sea f ( ) a, si 77

17 UNIDAD LÍMITE, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS 4 a) Halla los valores del parámetro a para los que f es continua en b) Para a 4 calcula las asíntotas verticales y horizontales de f e, si < Sea f ( ) Para qué valores de a la función es continua? a si, ( ) 4 Da un ejemplo de función ℜ ℜ que sea continua ecepto en tres puntos a, b, c, tal que en a presente un salto finito, en b una discontinuidad evitable y en c un salto infinito, si > 5 Halla el ite cuando de f ( ), si a, si < 6 Halla a y b para que f ( ) b, si < sea continua e a, si 4, si > 4 7 Dada f ( ) 4, halla f ( ) 4 4, si 4 4 ( ), si? 8 Cuánto debe valer k para que sea continua f ( ) k, si 9 Dada la función f ( ) 4 a) Halla los puntos de discontinuidad b) Si eiste algún punto de discontinuidad, halla los ites laterales y el tipo de discontinuidad c) Determina si se puede completar el dominio de la función de modo que sea continua en toda la recta real, si Se considera la función f ( ), si > a) Estúdiese si f() es continua en el punto b) Calcúlense sus asíntotas oblicuas 78

18 RECUERDA Los casos importantes del cálculo de ites son las indeterminaciones Hay 7 indeterminaciones:,,,,,, El mejor método es la Regla de L'Hôpital: Si f ( ) ( ) ag ( ) '( ) ó entonces f f ( ) '( ) Su aplicación ag ag g ( ) es inmediata para los casos e, y escribiendo f( ) g( ) como, para el caso En el caso f( ) o bien se hace la resta y luego se toma el ite, o bien se multiplica y divide por el conjugado, si hay raíces cuadradas Los casos,, se resuelven tomando logaritmos neperianos Después aparece, ya descrito Hay que recurrir a la función eponencial para deshacer el haber tomado logaritmos La indeterminación puede resolverse usando la definición del número e: Si q( ) q( ) ep lí p ( ) entonces m q ( ) p ( ) p ( ) Para que una función sea continua lim f( ) f( a) Si es definida a trozos, se siguen estos tres pasos: º) Cálculo a de fa ( ) ; º) Cálculo de los ites laterales Si coinciden, eiste lim f( ) ; º) Se comprueba si f( a) lim f( ) a a Si es una función con denominadores, se resuelve la ecuación DEN Después se sustituyen los puntos en la nº función Si sale, f presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito Si sale, hay que resolver una indeterminación Si da un valor finito, se trata de una discontinuidad evitable En caso contrario, discontinuidad inevitable de salto infinito Hay tipos de asíntotas: La asíntota vertical de ecuación a, siendo a la solución de las ecuaciones DEN () ó ARG () (en el caso del logaritmo) Para saber cómo se acerca la función a la asíntota se calculan los ites laterales Una función f tiene una asíntota horizontal cuando f ( ) k, k R La ecuación de la asíntota horizontal es y H k ± Una asíntota oblicua es una recta de ecuación y m n a la que se aproima la función f cuando ±, con m f( ) y n ± ± ( f( ) m) Ob Para saber cómo se acerca la función a las asíntotas horizontal y oblicua hay que estudiar el signo de la diferencia y y asínt tanto en como en -- Si sgn(y y asínt ) >, y va por encima de y asínt, y si sgn(y y asínt ) <, la función va por debajo de la asíntota 79