TEMA 1.- LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD.

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1 TEMA 1.- LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD. 1.LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes por f de puntos x, cuando los originales se acercan al valor x 0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x 0. Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x 2 en el punto x 0 = 2. x f(x) 1,9 3,61 1,99 3,9601 1,999 3, Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a x f(x) 2, ,01 4,0401 2,001 4, También podemos definir el concepto de límite a través de entornos: si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un entorno de x 0, E δ (x 0 ), cuyos elementos (sin contar x 0 ), tienen sus imágenes dentro del entorno de L, E ε (L). 1

2 Limites laterales El límite lateral por la derecha de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes por f de puntos x( las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0 por la derecha de éste, es decir, con valores mayores que x 0. El límite lateral por la izquierda de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes por f de puntos x( las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0 por la izquierda de éste, es decir, con valores menores que x 0. Los límites laterales se denotan: Límite lateral por la derecha de f en x o : Límite lateral por la izquierda de f en x o : Para que una función tenga límite en un punto x 0 es necesario que los límites laterales en ese punto existan y sean iguales El límite de una función en un punto si existe, es único. EJEMPLO 1: Veamos en el siguiente ejemplo cuánto valen los límites laterales en el punto x=2. En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4. El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2. Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor. 2

3 EJEMPLO 2: Dada la función: Vamos a hallar. Para ello calcularemos los límites laterales en el x=0. Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0. 2.LIMITES INFINITOS Una función f(x) tiene por límite + cuando x se tiende a x 0, si fijado un número real positivo K>0 se verifica que f(x)>k para todos los valores próximos a x 0. 3

4 Una función f(x) tiene por límite - cuando x tiende a x 0, si fijado un número real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a x 0. Puede ocurrir que sólo alguno de los límites laterales sea infinito, o que uno sea + infinito y el otro infinito. En ese caso se dice que no hay límite en ese punto. Los límites infinitos nos dicen en qué puntos tiene la función sus asíntotas verticales. Así, si alguno de los límites laterales ( o los dos) en un punto a es infinito decimos que f tiene una asíntota vertical en la recta x=a. 3.LIMITES EN EL INFINITO Decimos que una función f tiene por límite L cuando x tiende a + infinito si para valores cada vez más grandes de la variable x, las correspondientes imágenes por la función f se aproximan al valor L. Decimos que una función f tiene por límite L cuando x tiende a menos infinito si para valores cada vez más pequeños de la variable x, las correspondientes imágenes por la función f se aproximan al valor L. 4

5 Puede ocurrir también que los límites a + infinito y a - infinito sean distintos o incluso que alguno no exista o sea infinito. Si alguno de los dos existe y es finito diremos que la función tiene una asíntota horizontal en ese valor. Es decir, si f tiene una asíntota horizontal en y=l En este caso la función no tiene asíntotas horizontales porque el límite da infinito. 5

6 Esta función tampoco tiene asíntota horizontal. 6

7 Recordemos ahora qué resultados se obtienen en las operaciones con infinito (entendiendo por infinito valores reales que pueden ser tan grandes como queramos) y en algunos casos con cero. Operaciones con infinito y con cero: Infinito más un número Infinito más infinito Infinito por un número Infinito por infinito Cero partido por un número k 0 Un número partido por infinito Infinito partido por un número Cero partido por infinito Infinito partido por cero 7

8 Un número elevado a cero Cero elevado a un número Un número elevado a infinito Cero elevado a infinito Infinito elevado a infinito No distinguimos entre + y - para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber la regla de los signos y que a -n = 1/a n De todas las operaciones con infinito y cero hay algunas a las que llamamos indeterminaciones porque no tienen un resultado fijo. Estos casos tendremos que resolverlos uno a uno. La lista de las indeterminaciones es: 1. Un número partido por cero k 0 En este caso sabemos que el resultado es infinito, pero nos signo. falta por determinar su 2. Cero partido por cero 8

9 3. Infinito partido por infinito 4. Infinito menos infinito 5. Infinito por cero 6. Uno elevado a infinito 7. Cero elevado a cero 8. Infinito elevado a cero 5.CÁLCULO DEL LÍMITE EN UN PUNTO Si f(x) es una de las funciones usuales ( polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que: Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x y, salvo que obtengamos una indeterminación ya tendremos el límite calculado. EJEMPLOS: 9

10 Hay casos en los que no se podrá calcular el límite en un punto porque la función no estará definida en la zona a la que pertenece ese punto. Por ejemplo: La función tiene por dominio y por lo tanto no podemos calcular el límite cuando x tiende a -2 porque la variable x no podría tomar ningún valor suficientemente próximo a ese número. Sin embargo si podemos calcular, aunque 3 no pertenezca al dominio, D= {2, 3}, pues si podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos. Cálculo del límite en una función definida a trozos En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos. Si coinciden, este es el valor del límite. Si no coinciden, el límite no existe. En x = 1, los límites laterales son:. Por la izquierda: Por la derecha: Como en ambos casos coinciden, existe el límite y vale 1. En x = 1, los límites laterales son: Por la izquierda: Por la derecha: Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1. 10

11 Para calcular el límite de una función cuando se sustituyen las x por. Límite de funciones polinómicas en el infinito El límite cuando de una función polinómica es + o - según el término de mayor grado sea positivo o negativo y su exponente par o impar. EJEMPLOS: - Limite de una función exponencial Si a > 0 11

12 Si 0 < a < 1 EJEMPLOS: 12

13 Limite de una función logarítmica Si a > 0 Si 0 < a < 1 13

14 Ejemplos de límites de logaritmos 14

15 6.INDETERMINACIONES Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que en cada caso tendremos que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones. Tipos de indeterminación que estudiaremos: 1. Un número partido por cero k 0 Para resolver esta indeterminación hacemos los límites laterales. Si los dos dan + el límite es +, si los dan -, el límite es -, y en cualquier otro caso no existe límite. Los límites laterales simplemente se calculan comprobando el signo del denominador por la derecha o por la izquierda. EJEMPLOS: indeterminación Tomamos los límites laterales para determinar el signo de. Si le damos a la x un valor que se acerque a 1 por la izquierda como 2, o 1,5 o 1,1 etc; el denominador es negativo y por lo tanto, como el numerador también lo es, el límite por la izquierda será: +. Si le damos a la x un valor que se acerque a 1 por la derecha como 0 o 0,5 o 0,9 etc; el numerador será negativo y el denominador positivo, por tanto el límite por la derecha será:. Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite cuando x 1. 15

16 En el siguiente ejemplo, como el denominador está al cuadrado, aplicando el mismo procedimiento se observa que los dos límites laterales dan +. Indeterminación Calculamos los laterales: Por lo tanto: En el siguiente ejemplo el resultado es Cero partido por cero 1. Función racional sin radicales: Se descomponen en factores los polinomios y se simplifica la fracción. Veamos ejemplos: 16

17 Ejemplo 2. Indeterminación No tiene límite en x = 1 2. Función racional con radicales: En primer lugar multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de la expresión irracional. Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción. 17

18 3. Infinito partido por infinito 1. Si se trata de funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada al mayor exponente. Simplificamos al máximo y calculamos de nuevo. En este caso siempre se cumple lo siguiente: a) Si el numerador tiene mayor grado que el denominador da. b) Si el denominador tiene mayor grado que el numerador da 0. c) Si tienen el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes de mayor grado. Esta regla sirve también aunque haya alguna raíz: 18

19 2. Si son funciones exponenciales dividimos por la exponencial de mayor base. 4. Infinito menos infinito 1. Con funciones racionales. Ponemos a común denominador, es decir, realizamos la resta de fracciones. Calculamos los límites laterales, pues hemos obtenido otra indeterminación. Como los límites laterales son distintos decimos que no existe límite. 2. Cuando se trata de funciones irracionales podemos multiplicar y dividir por el conjugado. 19

20 5. Infinito por cero Se transforma a ó a usando uno de los siguientes trucos. Ejemplos: 6. Uno elevado a infinito Se resuelve transformando la expresión en una potencia del número e. 20

21 1 er Método: Sumamos y restamos 1 Ponemos el inverso del inverso Elevamos a ese denominador y a su inverso. De esta forma obtenemos un límite del tipo 2º Método: 21

22 22

23 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel. 1. Continuidad de una función en un punto Se dice que una función f(x) es continua en un punto a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes: 1. Que el punto a tenga imagen. 2. Que exista el límite de la función en el punto x = a. (Para ello tienen que existir los dos laterales y ser iguales). 3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto. Veamos un ejemplo: 1. Estudiar la continuidad de en x =2. Primero calculamos f(2)= 4. Después calculamos los límites laterales en x=2 que en este caso valen lo mismo: 23

24 En este caso como podemos decir que f es continua en x=2. Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en todos los puntos de su dominio. La función es continua en {3}. En x = 3 no es continua porque no está definida. 24

25 Funciones definidas a trozos Las funciones definidas a trozos son continuas si cada función lo es en su intervalo de definición, y si lo son en los puntos de división de los intervalos, por tanto tienen que coincidir sus límites laterales. La función es continua en. Porque las funciones que la componen son polinómicas y los límites laterales en los puntos de división coinciden. DISCONTINUIDAD DE FUNCIONES. Cuando una función no es continua en un punto a se dice que es discontinua o que presenta una discontinuidad en a. Esto ocurre cuando no se cumple alguna de las tres condiciones de la definición, es decir, o la función no está definida en el punto, o no existe el límite en el punto, o aunque exista no coincide con el valor de la función en dicho punto. A continuación vamos a ver ejemplos de todos los casos y también el nombre que recibe cada uno de estos tipos de discontinuidades: 1.Discontinuidad evitable. Esta discontinuidad se da cuando existe el límite y es finito pero, o bien no existe imagen, o la imagen no coincide con el límite. Ejemplo 1: 25

26 La función es discontinua porque en x = 2 aunque existe el límite no existe imagen, es decir no está definida en x=2. pero En este caso falla la primera condición. Ejemplo 2. En este caso existe el límite y también la función pero no coinciden. La imagen no coincide con el límite. Existe la función en el punto 2, existe el límite en el 2, pero son distintos. La función es discontinua porque en x = 2 no coincide la imagen con el límite. 26

27 Cuando una función presenta una discontinuidad evitable en un punto se puede redefinir en dicho punto para convertirla en una función continua. La función estudiada anteriormente la redefinimos de modo que: 2.Discontinuidad inevitable o de primera especie. Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en x = a, pero son distintos. Salto es la diferencia en valor absoluto de los límites laterales. Según el tipo de salto nos encontramos con dos tipos de discontinuidad inevitable: 27

28 1. Discontinuidad inevitable de salto finito Los dos límites laterales son finitos, es decir, la diferencia entre los límites laterales es un número real. En el siguiente ejemplo: La función es discontinua porque en x = 2 no tiene límite ya que los límites laterales son distintos. En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto finito Discontinuidad inevitable de salto infinito Alguno de los dos límites o los dos son infinitos, es decir, la diferencia entre los límites laterales es infinito. 28

29 En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto infinito. 3.Discontinuidad esencial o de segunda especie. Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales en x = a. Ejemplo 1. En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la derecha. 29

30 Ejemplo 2. En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la izquierda. 30