TEMA 2: CONTINUIDAD DE FUNCIONES

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1 TEMA : CONTINUIDAD DE FUNCIONES 1. Continuidad de una función en un punto Entre las primeras propiedades de las funciones aparece el concepto de continuidad. Durante mucho tiempo fue asumida como una idea intuitiva la siguiente definición: Una función es continua en un intervalo cuando al trazar su gráfica no es necesario levantar el lápiz del papel. La idea de función continua está relacionada con la idea de límite: Diremos que una función es continua en un punto o si eiste el límite de la función en ese punto y coincide con el valor de f() en ese punto, es decir: lim 0 f ( 0 ) Esta definición implica que se verifiquen tres condiciones: 1. Eiste la imagen: f( o ). Eiste el lim y es finito 0 3. Esos dos valores deben coincidir: lim f( o ) 0 Ejemplo1: Comprueba que la función + 3 < 1 es continua en o Continuidad en un intervalo A) Continuidad lateral 1. Una función f es continua por la izquierda en un punto a si se verifica: lim f ( a) a. Una función f es continua por la derecha en un punto a si se verifica: lim f ( a) a + 1/7 IBR-IES LA NÍA

2 B) La definición de continuidad puede ser ampliada a un intervalo. Para que f() sea continua en un intervalo: 1. Debe ser continua en todos los puntos de su interior ]a,b[ (intervalo abierto).. Si el intervalo tiene algún etremo cerrado, por ejemplo [a,b], puesto que sólo se puede calcular un límite lateral, se debe cumplir: lim f ( a) y lim f ( b) (es continua por la derecha en a y por la a + izquierda en b) b 1º) Observa la gráfica de la función y contesta si f() es continua o no en los intervalos siguientes: ]a,b[, [a,b], [a,b[, ]a,b], ]b,c[, [b,c[ ]b,c], ]c,d], [c,d], [b,d[, ]b,d] 1 º) Estudia la continuidad en el intervalo [-,1] de < 1 3 > 1 3º) Estudia la continuidad de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: < 0 a. 0 < 3 en [0,3] 11 3 b. g ( ) 1 en [1,+ [ c. d. < en [,4] 1 1 g ( ) en [-3,+ [ Propiedades de las funciones continuas. Condiciones bajo las que se puede justificar la continuidad de una función. 1. Si recordamos los tipos de funciones conocidas: Las funciones polinómicas son continuas en cualquier punto. Las funciones racionales no son continuas en R en general. Sólo lo son en los puntos que no anulan el denominador. /7 IBR-IES LA NÍA

3 Las funciones irracionales no son continuas en R en general. Si el índice del radical es par, sólo lo son en los puntos que hacen el radicando positivo o 0. Las funciones circulares o trigonométricas no son continuas en R en general. Sólo lo son las funciones f()sen y f()cos, ya que las demás tienen denominadores. Las funciones eponenciales son todas continuas. Las funciones logarítmicas no son continuas en general. Sólo lo son en los puntos en los que la función contenida dentro del logaritmo es positiva.. En cuanto a las operaciones con funciones: La suma, producto por un nº real, producto y composición de dos funciones continuas es otra función continua. f El cociente () de dos funciones continuas en o no es necesariamente una función g continua en o, sólo lo es si g( o ) 0. g( ) La continuidad de la función [ ] eige, además de la continuidad de f() y g() en o que f( o )>0 (recordar que las funciones eponenciales sólo están definidas para bases positivas) Las funciones definidas por intervalos (funciones a trozos) no son continuas en general. Hay que analizar la continuidad de cada epresión por separado y los etremos de los intervalos de definición. 4º) Estudia la continuidad de las siguientes funciones: a) b) c) 5 d) 1 e) e + 8 f) cos( + 5) i) ln( + 4) j) k) ( + 1) ln + 1 l) + m) log g) sen h) ( + 4) e 5º) Estudia la continuidad de las funciones: a) Valor absoluto f() b) h( ) c) Parte entera de f()e()[] (mayor nº entero menor o igual que ) 3/7 IBR-IES LA NÍA

4 4. Tipos de discontinuidades Si una función no es continua en un punto diremos que es discontinua en dicho punto, o que presenta una discontinuidad. Las tres gráficas anteriores presentan una discontinuidad en c, aunque son de distinta naturaleza. Vamos a clasificar los tipos de discontinuidades atendiendo a la eistencia del límite: 1. Eiste el límite lim y no coincide con f(c). Se dice que c es una discontinuidad c evitable, ya que se puede eliminar sin más que redefinir la función en c dándole el valor del límite. (Gráfica nº1) + Ejemplo: tiene una discontinuidad evitable en No eiste el límite lim f (). Se dice que c es una discontinuidad no evitable. Esto, a su c vez, puede ocurrir por dos motivos:.1 Los límites laterales eisten (son finitos) pero: lim lim. La c + c discontinuidad se llama de salto finito. (Gráfico nº). Si alguno de los límites laterales es infinito recibe el nombre de discontinuidad no evitable de salto infinito. (Gráfico nº3) Estas discontinuidades también se llaman asintóticas, ya que gráficamente dan lugar a una asíntota vertical. 6º) Dibuja la gráfica de una función f() que cumpla: en -3 tiene una discontinuidad evitable, en -1 discontinuidad de salto finito, en 1 una discontinuidad asintótica con lim +, y además lim º) Observa la función de la gráfica y estudia los puntos de discontinuidad. Indica si, en dichos puntos, es continua lateralmente 1 4/7 IBR-IES LA NÍA

5 8º) Halla los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones y determina de qué tipo son: 4 a b. + 3 > c º) Dada la función en 1. d. 1 +, razona qué valor debería tener f(-1) para que f() fuera continua 1 10º) Halla los valores de k para que salto infinito en. [ k 4 ] 11º) Calcula el valor de a para que f() sea continua: + 1º) Dada la función a yf() sea continua en el intervalo [0,8]. + 4 k tenga una discontinuidad no evitable de < 4 < 8 < 3 4 [a-1/3] a 3 4, halla el valor de a para que la función 5. Teorema de Bolzano Si f() es una función continua en [a,b] y signof(a) signof(b), entoces eiste un nº c ]a,b] tal que f(c)0 Es decir, si una gráfica CONTINUA pasa de una parte a otra del eje X necesariamente lo corta. 1 Ejemplo1: Tenemos que f(1)1>0 y que f(-1)-1<0, sin embargo la gráfica no corta al eje X. No se cumple el teorema de Bolzano porque falla la primera hipótesis, f() no es continua en el intervalo [-1,1] 5/7 IBR-IES LA NÍA

6 Ejemplo: Comprueba que la ecuación tiene una solución en ]1,[. 3 Si llamamos + 4 8, tenemos que f(1) -4<0 y que f()0>0, y además f() es continua en R por ser polinómica, en particular lo es en el intervalo [1,]; necesariamente tiene que cortar al eje X en algún valor c ]1,[.. 3º) Comprueba que la función e 4 tiene un cero en el intervalo ]1,[.[Sol:1,39] 4º) La función 3 toma el valor - para y el valor 1 para 5. Podemos afirmar que hay un valor entre y 5 para el que la función se anula? Justifica la respuesta. 5º) Comprueba que la ecuación su parte entera tiene dos raíces reales y determina DE TODO UN POCO 6º) Estudia la continuidad de : a ?.(Continua en [-4,4]) e 0 b. e + 1 ( R { 0},0 disc. salto finito) + 1 > 0 + c. y ln. (Continua en ],+ [-{0}) 7º) Observa la función de la gráfica y contesta si es continua o no en los intervalos siguientes: ]-5,-4[; [-5,-4]; [-4,-]; ]-4,-[; ]-4,-1[; [-1,1]; ]-1,1[; ]1,3[; [1,3[; y ]3,5[ + k + 5 8º). Calcula el valor de k + para que sea una discontinuidad evitable. Vuelve a definir f() para que f() sea continua en. (k 9/, f() 1/) 6/7 IBR-IES LA NÍA

7 , π 4 π π π 9º) Calcula a y b para que f() sea continua. a.sen + b, < < [a 1/4, b1/4] cos π 10º) Justifica que la ecuación tiene 3 raíces reales. Sepáralas en tres intervalos que contengan una raíz. 11º) Calcula las tres soluciones de la ecuación con dos cifras decimales eactas. 1º) Utiliza el teorema de Bolzano para probar que las gráficas de f()ln, g()e se cortan en algún punto y localízalo dando un intervalo que lo contenga. 7/7 IBR-IES LA NÍA