MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II 2º BACHILLERATO

Transcripción

1 LÍMITES: OPERACIONES CON INFINITOS LÍMITES: RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES DEL TIPO 1 Estas indeterminaciones están relacionadas con el número e se calculan de la siguiente forma: 1

2 DOMINIO E IMAGEN DE UNA FUNCIÓN. Dominio de una función f (Dom (f)): conjunto de valores para los cuales está definida la función. Imagen de una función (Im (f)): conjunto de valores que toma la función. El cálculo gráfico del dominio de una función se realiza a partir de la gráfica buscando sobre el eje horizontal los valores de x tales que la recta vertical que pasa por x corta a la gráfica de la función. El cálculo de la imagen de una función se realiza a partir de la gráfica buscando sobre el eje vertical los valores de y tales que la recta horizontal que pasa por y corta a la gráfica de la función.

3 Cálculo algebraico del dominio de una función: a partir de la fórmula que describe una función podemos encontrar el dominio de la misma: El dominio de funciones polinómicas son todos los números reales. El dominio de funciones racionales son todos los números reales que hacen el denominador distinto de cero. Ejemplo: En una fracción algebraica el denominador no puede ser cero 1 en el punto x = 0 no existe la función, por tanto: D {0} x El dominio de las funciones irracionales de índice impar son todos los números reales. El dominio de las funciones irracionales de índice par son todos los números reales que hacen el radicando mayor o igual que cero. Ejemplo: En una raíz de índice par el radicando no puede ser negativo. x si x < 0 no existe la función, por tanto: D [ 0, ) El dominio de las funciones logarítmicas son todos los números que hacen mayor que cero la expresión de la que se calcula el logaritmo. Ejemplo: El argumento de un logaritmo no puede ser un número negativo o cero. Lx si x = 0 ó x < 0 no existe la función, por tanto: D ( 0, ) El dominio de las funciones exponenciales son todos los números reales. CONTINUIDAD EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO. Idea intuitiva de la continuidad una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. Definición de continuidad: Una función es continua en un punto cuando existe el límite en ese punto y coincide con el valor de la función en ese punto. 3

4 Propiedades de las funciones continuas: Cuando una función no es continua en un punto se dice que es discontinua en ese punto. Continuidad lateral. Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por la derecha en él y coincide con el valor de la función en ese punto. lim xc f ( c) Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor de la función en ese punto. lim xc f ( c) Continuidad en un intervalo: - Una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en cada uno de sus puntos. - Una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] si lo es en todos sus puntos y además es continua por la derecha de a y por la izquierda de b. Discontinuidades. Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo. lim f ( c) xc x 1 x 1 Ejemplo: x 1 3 x 1 x 1 ( x 1)( x 1) lim lim lim x 1 x1 x 1 x1 ( x 1) x1 pero f(1) = 3 La función f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = 1 (Una función que tenga límite en un punto se puede completar para que sea continua en él. Si tomamos f(1) = f(x) es continua. ) 4

5 Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando existen los límites laterales en él y son distintos. lim lim xc xc El valor lim lim se llama salto de la función en ese punto. El salto de la xc xc función puede ser finito o infinito. Ejemplo: 1 x 0 0 x 0 1 x 0 f(x) es discontinua en x = 0. lim 1 x0 lim 1 es una discontinuidad inevitable. x0 Salto = lim lim 1 ( 1) x0 x0 - Cuando uno o los dos límites laterales son, la discontinuidad es de salto infinito. 7. Teorema del máximo mínimo. Teorema de Weierstrass. Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], tiene un máximo y un mínimo en dicho intervalo. Consecuencias: 1) Una función continua en [a, b] está acotada en dicho intervalo. ) Si una función es constante en un intervalo [a, b] el máximo y el mínimo coinciden. Y al revés, si el máximo y el mínimo de una función coinciden, entonces la función es constante. 8. Teorema de las raíces. Teorema de Bolzano. Si una función es continua en un intervalo [a, b] y toma valores de signo opuesto en los extremos, entonces existe al menos un punto c del intervalo en el que f(c) = 0. (donde el punto c será el punto donde la función corta al eje X) 5