x y = x x y = x
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- Blanca Calderón Montes
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1 FUNCIONES ELEMENTALES: Indice: Algebraicas Polinómicas Racionales Irracionales Trascendentes Exponencial Logarítmica Trigonométrica Trigonométricas recíprocas Algebraicas Funciones polinómicas: X f(x)= an xn + an 1 xn a1 x + a Dom (f) = IR Im (f) = Dependiendo de cada caso (o es una semirrecta o es IR) El grado de la función es el grado del polinomio = n Si n ð ð Se llama recta. Si n ðð Se llama parábola. x y = x x y = x y = x y = x2 1 (Recta) (Parábola) 1 1 1
2 Continuidad: Son siempre continuas. Límites en ± infinito: lim (f)(x) = ± " x +" lim (f)(x) = ± " x " Funciones racionales: an xn + an 1 xn a1 x + a X f(x)= bn xm + bm 1 xm b1 x + b Dom (f) = IR Im (f) = Variable Si m=1 y n ð 1 Se llama hipérbola. Ej. x 1/ / / /7 2
3 Funciones irracionales: X Dom (f): Si la raíz es de índice par, la raíz existe si el radicando es positivo. Si la raíz es de índice impar, la raíz existe cuando exista el radicando. Trascendentes Funciones exponenciales: X y= ax ( a ð ð, a > ) Dom (f) = IR Im (f) = IR+ f = (x1 + x2)= f (x1) f(x2) f (x1) f = (x1 x2)= f(x2) a > 1 creciente a < 1 decreciente Siempre pasan por el pto. (,1) lim 2x = + " x+" lim 2x = x " Límites en en infinito: 3
4 x y = 2x 2 1/4 1 1/ NOTA: Siempre pasan por el pto. (,1) Funciones logarítmicas: X loga x (a >, a ð 1) Dom (f) = IR + Im (f) = IR + La función logaritmo es la inversa de la función exponencial ax loga X ax x alogax = x loga ax X logax x loga (ax) = x Límites en el infinito: lim (log x) = + " x+" lim (log x) = " x " x 1/8 3 ¼ 2 4
5 ½ NOTA: Siempre pasan por el pto (1,) 8 3 Trigonométricas Función seno P x y = senx Sen x = OP Dom(f) = IR O Im(f) = [ 1,1] a. Es impar: Sen ( x) = senx b. Función periódica de periodo ð = 2ð; sen (x +2ðð c. Fórmulas de transformación: x ð ð x x xð ð x ð ð x a) sen( x) = sen x b) sen x = sen (x ð) c) sen x = sen (2ð x) d. Fórmulas de adición, ángulo doble y ángulo mitad: Seno de la suma de dos ángulos: sen ( + ) = sencos + cos sen Seno del ángulo doble: sen 2 = 2 sen cos Seno del ángulo mitad: sen /2 = ± 5
6 e. Ceros de la función seno sen x x = + kð; x = kð / k e Z f. Signo: sen x " si x e I, x e II sen x ð si x e III, x e IV Continuidad: " x e R Límites en el infinito: lim sen x = " x+" lim sen x = " x " 1 2ð ð ð 2ð 1 = 2ð Coseno X y = cos x O P Dominio (f): IR Cos x = OP Im (f): [ 1,1] Relacción fundamental: sen2 x + cos2 x = 1 6
7 Es una función par: cos ( x) = cos x Función periódica de periodo ð= 2ðð cos (x + 2ð ) = cos x Fórmulas de trasformación: x ð x x x ð x 2ð x a) cos x = cos (ð x) b) cos x = cos (x ð) c) cos x = cos (2ð x) Fórmulas de adición, ángulo doble y ángulo mitad: Coseno de la suma de dos ángulos: cos ( + ) = cos cos sen sen Coseno del ángulo doble: cos 2 = cos2 sen2 Coseno del ángulo mitad: cos /2 = ± Ceros de la función coseno: cos x =! x = ; x = Signo cos x " si x e I, x e IV cos x ð si x e II, x e III Continuidad: " x e IR Limites en el infinito: lim cos x = " x +" lim cos x = " x " 7
8 x ð/6 ð/4 ð/3 ð/2 ð 3ððð 2ð ð/3 ð/2 ð cos x 1 /2 /2 1/2 1 1 ½ 1 2ð ð ð 2ð 8
9 Función tangente: P f. IR IR X f(x) = tg x = Dom (f) = IR = IR Im (f) = IR O tg x = OP Función impar: tg ( x) = tg x Función periódica de periodo ð = ð Fórmulas de transformación: x ð x x x ð x 2ð x a) tg x = tg (ð x) b) tg x= tg (x ð) c) tg x= tg (2ð x) Fórmulas de adición, ángulo doble y ángulo mitad: tg ( + ) = Tangente de la suma de dos ángulos: tg 2 = Coseno del ángulo doble: tg /2 = Coseno del ángulo mitad: Ceros de la función tangente tg x =! sen x = ; x = kð / k e IR Signo: tg x " si x e I, x e III 9
10 tg x ð si x e II, x e IV Continuidad: No está definida para x = ð/2 + kð / k e IR lim tg x = " x+" lim tg x = " x " Límites en el infinito: 2ð ð ð 2ð Función cosecante X y = 1/senx Dom (f) = IR Im (f) = IR Función secante X y = 1/cosx Dom (f) = IR Im (f) = IR Función cotangente X y = 1/tg x ó y = 1/sen x/cos x Dom (f) = IR Im (f) = IR Funciónes trigonométricas recíprocas: Función arcoseno: 1
11 Si consideramos: f: IR [ 1,1] X sen x Queremos calcular otra de tal forma que para cada x su imagen sea y con sen y = x. Por ejemplo si x=1/2, y valdría: (hay infinitos) g no sería función Para que g sea una función cogeremos un intervalo de tal forma que x posea una sola imagen: Valdrían intervalos como: [ð/2, 3ð/2] ó [3ð/2, ð/2] entre otros. g(x) = arcsen x Dom (arcsen) = [ 1,1] Im (arcsen) = ( ð/2, ð/2) Función impar: arcsen ( x)= arcsen x Cortes con los ejes: Con OX! (,) Con OY! (,) Continuidad: Función continua " x / x e [ 1,1] x 1 /2 1/2 11
12 1/2 /2 1 y= arcsenx ð/2 ð/2 ð/6 ð/6 ð/3 ð/2 ð/2 1 1 ð/2 Funciones arcocosenos f: IR [ 1,1] X y = cos x Buscamos g / [ 1, 1] IR X y / cos = x g [ 1,1] [,ð) X g(x) Dom (g) = [ 1,1] Im (g) = [,ð] 12
13 Función par: arccos( x) = arccos x Cortes con los ejes: Con OX: arco coseno x =! y = ð/2 (, ð/2) Con OY: arco coseno y=! x = 1 (1,) Continuidad: x es continua " x / x e [ 1,1] x 1 /2 1/2 1/2 /2 y = arccosx ð 5ð/6 2ð/3 ð/2 ð/3 ð/6 2ð ð/2 1 1 Función arcotangente 13
14 X y = tg x Queremos g / IR IR X y /tg y = x g: IR [ ððð, ðððð X g(x) = y /tg y = x g(x) = arctg x Dom(arctg) = IR Im (arctg) = [ ð/2, ð/2] Cortes con los ejes: Con OX y OY = (,) Es una función impar: arctg( x) = arctg(x) Continuidad: Continua " x / x e [ ð/2,ððð] x 1/ 1/ y = cotg x ðð/3 14
15 ðð/6 ð/6 ð/3 ð/3 1 1 ð/3 Funciones elementales
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