Cálculo:Notas de preliminares

Transcripción

1 Cálculo:Notas de preliminares Antonio Garvín Curso 04/05 1 Recordando cosas Recordaremos los conjuntos con los que vamos a trabajar, en especial R y R n. A fin de cuentas el cálculo trata basicamente de los números (y las funciones) reales. N, Z, Q, R, C(R, R 3, R 4,, R n ) Las propiedades más importantes sobre desigualdades, el concepto de valor absoluto y la noción de distancia son puntos básicos de partida. En los ejercicios haremos intervenir desigualdades y la notación de intervalos. Algunos conceptos geométricos básicos pueden aparecer en los ejercicios entre ellos: rectas, circunferencias y parábolas. 1.1 Desigualdades: Recordemos las principales propiedades de las desigualdades a b a + c b + c a b, c d a + c b + d a b y c > 0 ac bc a b y c < 0 bc ac 0 < a b 0 < 1 b 1 a Podrias poner ejemplos numéricos para cada una de estas propiedades? 1

2 1. Intervalos: Recordemos también la notación de intervalos [a, b], (a, b], [a, b), (a, b) (, a], (, a), [a, ), (a, ) Los cuatro primeros corresponden a lo que se denominan intervalos acotados y los siguientes no acotados. Se denominan cerrados o abiertos según que entren o no los extremos. Así por ejemplo el primero es cerrado, el segundo es abierto a la izquierda y cerrado a la derecha, etc. Graficamente se suele indicar con un hueco que el extremo no está y con un punto que sí lo está. Se definen mediante desigualdades, así por ejemplo se tiene [a, b] = {x R/a x b} a b (a, b] = {x R/a < x b} a b Podrías definir los demas y dar su representación gráfica? 1.3 Valor absoluto y distancia En R a partir de la noción de valor absoluto( o valor sin signo) de un número se puede definir la distancia entre dos números. Estas son las definiciones: x = { x si x 0 x si x 0 d(x, y) = x y y estas las propiedades que cumplen: a + b a + b ab = a b a = a a b b a b En R introducimos coordenadas y definimos también la distancia entre puntos. Consideraciones elementales que hacen uso del teorema de pitágoras nos llevan a definir la distancia entre dos puntos d((x 1, y 1 ), (x, y )) = (x x 1 ) + (y y 1 ) Esto nos permite introducir conceptos métricos como el de lugar geométrico.

3 En general C (a,b),r, la circunferencia de centro el punto (a, b) y de radio R viene dada por la ecuación (x a) + (y b) = R La circunferencia es un tipo particular de elipse, aquella que tiene los semiejes iguales. En general la elipse centrada en el origen de semiejes a y b, colocados en el eje horizontal (y = 0) y vertical (x = 0) respectivamente, tiene por ecuación x a + y b = 1 La elipse también se puede definir como el conjunto formado por aquellos puntos tales que la suma de distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante. Para la elipse de la ecuación anterior los focos son los puntos ( c, 0) y (c, 0), siendo c + b = a. Si para los dos focos anteriores consideramos en lugar de la suma, la resta, es decir el conjunto de puntos cuya diferencia sea constante, tenemos la hipérbola. La ecuación resultante es x a y b = 1 donde ahora la relación que se cumple es a + b = c. La parábola aparece cuando se considera un punto y una recta. Es el conjunto formado por los puntos que distan igual de un punto (el foco) y una recta (la recta focal). Por ejemplo si tomamos como foco el punto (0, c ) y como recta focal y = c, para que el vértice esté en el origen la ecuación correspondiente sería x cy = 0 Las circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas aparecen como intersección de un cono con un plano, y por ello se las denomina cónicas. Otros conjuntos de puntos del plano, más sencillos que los anteriores, pero no por ello menos importantes, que aparecen muy a menudo en la práctica son las rectas. Las oblicuas y = mx + n, las horizontales y = a y las verticales x = a. Por dos puntos pasa una única recta, luego dos puntos caracterizan a una recta. Una recta también queda caracterizada por una inclinación (la pendiente) y un punto. Intuitivamente la pendiente nos indica cuanto se levanta (o baja) la recta sobre el eje vertical cuando avanzamos una unidad en el horizontal. Si por ejemplo tenemos que pasa por los puntos de coordenadas (a, b), (c, d) la pendiente sería m = d b. Con pendiente 1 c a y 1 tenemos las rectas y = x y y = x que son respectivamente, las 3

4 bisectrices del primer-tercer cuadrante y del segundo-cuarto cuadrante. La ecuación punto (el (a, b)) pendiente (m), es de la forma 1.4 Funciones y a = m(x b) Hemos de recordar el concepto de función real de variable real, de dominio y de grafo. Cómo se definen estos conceptos? Cuidado con el dominio! La división por cero y las raices cuadradas de números negativos, no existen. Hay que tener cuidado con los convenios. Para que dos funciones f y g las consideremos iguales no solo deben venir definidas por la misma regla f(x) = g(x), sino que además deben tener igual dominio. En general sino se especifica se sobreentiende que el dominio es el máximo posible. Cúales son los dominios de las siguientes funciones? x, x 3 + x x + 1, x 1 x 1, x + 1, x 16 x + 1, x + x, x 4 F (x) = 1 x + x 6, G(x) = { x si x < x si x < 3 Recordemos las operaciones entre funciones y algunos tipos de funciones. Las funciones se pueden sumar y restar, multiplicar y dividir. En esto coinciden con los números, pero además se pueden componer. Las funciones pueden ser inyectivas, sobreyectivas, monótonas (crecientes, decrecientes, estrictamente), pares, impares, etc. Repasaremos las funciones elementales, las polinómicas, las racionales, las potenciales, las trigonométricas, las exponenciales y sus inversas haciendo algunas representaciones gráficas. En este punto se recordarán los resultados relativos a la primera y segunda derivada para la representación gráfica. Las polinómicas de grado 0 (constantes) tienen por gráfica rectas horizontales. Las de grado 1 rectas (oblicuas), y las de grado parábolas. Las racionales son cociente de polinómicas p(x) Qué representación q(x) gráfica tienen las funciones siguientes? P 1 (x) = x(x 1)(x ), P (x) = x (x + ) Las funciones de la forma f(x) = x α con α R se denominan potenciales y son en cierto sentido una generalización de las monómicas. No hay que 4

5 confundirlas con las exponenciales que son de la forma f(x) = α x. Cúal es la representación gráfica de las siguientes? f 1 (x) = 3 x 7 = x 7/3, f (x) = x = x 1/, f 3 (x) = x. Las funciones exponenciales y las trigonométricas nos sirven de excusa para recordar las principales propiedades relativas a exponenciales y logaritmos así como a senos, cosenos y tangentes. 1. a r a s = a r+s. 3. (a r ) s = a rs 4. a r a s = ar s n a m = a m n 5. a x > 0 x R 6. a x = 1 a x En general las exponenciales tienen un comportamiento diferente si la base es mayor o menor que 1. Por ejemplo podemos pensar en y 1/ f(x) = x : lim f(x) = 0, f( ) = 1/4, f( 1) = 1/, f(0) = 1, x f(1/) =, f(1) =, f() = 4, lim x f(x) = g(x) = (1/) x : lim g(x) =, g( ) = 4, g( 1) =, g(0) = 1, x g(1/) = /, g(1) = 1/, g() = 1/4, lim x g(x) = 0 Las logarítmicas son las inversas de las exponenciales Dicho en otros términos se tiene x = log a x y = a x log a (a x ) = x a log a y = y 1. log a (rs) = log a r + log a s. log a ( r s ) = log a r log a s 3. log a ((r) s ) = s log a r Al igual que las exponenciales los casos a > 1 (pensar en ) y a < 1 presentan comportamientos diferentes. 5

6 Recordar que por convenio cuando escribamos log queremos indicar el logaritmo natural, esto es el logaritmo de base el número e. Así log e = 1. En cuanto a las funciones trigonométricas, recordar que se definen a partir de las razones trigonométricas de ángulos medidos en radianes. Por cierto, qué es un radian y que equivalencia existe entre grados y radianes? Nunca está de más, ya que se definen a partir de razones de ángulos, recordar resultados relativos a razones trigonométricas, entre ellos tenemos, sobre un triángulo, el teorema de los senos sen α A = sen β B = sen γ C y el del coseno (que generaliza al de Pitágoras cuando γ es recto) C = A + B AB cos γ β C A α γ B Tenemos asimismo la identidad fundamental sen x + cos x = 1 que es inmediata si se piensa que el seno y el coseno de un ángulo son respectivamente la segunda y primera coordenada del único punto de la circunferencia unidad que se obtiene al recorrer ese ángulo (en el sentido habitual). Esta identidad junto con las del seno y coseno de la suma sen (x + y) = sen x cos y + cos x sen y cos(x + y) = cos x cos y sen x sen y y las definiciones de cosecante, secante y cotangente cosec x = 1 sen x sec x = 1 cos x, cotag x = 1 tag x nos permiten obtener muchas más, entre otras 1 + tag x = sec x, sen x = sen x cos x, cos x 1 + cos x = ±, 6

7 Recordemos que por consideraciones elementales, podemos siempre reducirnos al primer cuadrante, incluso a ángulos entre 0 y π 4 sen (x + kπ) = sen x, sen ( x) = sen x, cos(x + π/) = sen x, cos(x + π) = cos x, Las inversas (locales)en el sentido de la composición, se denominan arcos. Así tenemos arcosenos, arcocosenos, arcotangentes, etc. arcsen = ( sen ) 1, arccos = (cos) 1 No confundamos las inversas en el sentido de la composición, con las inversas en el sentido del producto. Esto es, f 1 con 1. Por ejemplo si f = sen, f f 1 = arcsen y 1 f = cosec. Vamos a detenernos un poco para definir un concepto nuevo, las funciones hiperbólicas y sus inversas. Introducir conceptos nuevos entre los ya conocidos nos sirve para que no sea todo un simple recordatorio y motivar nuestra curiosidad. Esta forma de actuar, intercalar cosas nuevas entre conceptos ya adquiridos previamente, presidirá estos instantes iniciales. Así que tenemos que estar atentos. Las hiperbólicas se definen en analogía con las trigonométricas. Esto quedará más claro cuando veamos los complejos. De todas formas a partir del seno y coseno hiperbólico la analogía es completa. Así por ejemplo la tangente hiperbólica es el cociente del seno y el coseno hiperbólico, etc. Ahí va la definición del seno y coseno hiperbólico. senh x = ex e x cosh x = ex + e x La identidad fundamental es tagh x = senh x cosh x cosh x senh x = 1 Podemos demostrarla a partir de la definición? Las inversas se denominan argumentos. Así tenemos argsenh, argcosh, argtagh, 7