Números Complejos Matemáticas Básicas 2004

Transcripción

1 Números Complejos Matemáticas Básicas de Octubre de 2004

2 Los números complejos de la forma (a, 0) Si hacemos corresponder a cada número real a, el número complejo (a, 0), tenemos una relación biunívoca. Es decir, por cada número real a hay un número complejo de la forma (a, 0) y por cada número complejo de la forma (a, 0) hay un número real a. Además la suma y el producto conservan esta relación. Ahora tiene sentido la parte real de un número complejo. En C podemos hablar de números reales (los que tienen su parte imaginaria nula) y de números imaginarios (aquellos cuya parte imaginaria no es nula). Se llaman números imaginarios puros a los que tienen nula la parte real, los de la forma (0, b).

3 Representación gráfica Sobre el eje horizontal (eje real) representamos la parte real y sobre el eje vertical (eje imaginario) la parte imaginaria. Se llama afijo de un número complejo al punto del plano con el que se corresponde en su representación gráfica. Representación binómica El número complejo (a, b) lo podemos representar en forma binómica como a + bi.

4 Conjugado de un número complejo El conjugado del número complejo z = (a, b) es otro número complejo z = (a, b). En forma binómica, el conjugado de z = a + bi es z = a bi. Inverso de un número complejo Sea z=(a,b) y consideramos z = ( ) a b, a 2 +b 2 a 2 +b. Si calculamos 2 z z tenemos: ( ) a z z 2 + b 2 ab ab =, = (1, 0) a 2 + b2 a 2 + b 2 es decir z es el inverso de z.

5 División de números complejos Sean z = (a, b) y z = (c, d), y queremos calcular su cociente. Utilizando que z = z 1 tendremos que dividir dos números z z complejos es multiplicar uno por el inverso del otro.

6 Módulo y argumento. Argumento principal Se llama módulo de un número complejo z = (a, b) a la distancia del origen de coordenadas al afijo de dicho número. Es decir, el módulo de z es a 2 + b 2, y se representa por z. Argumento Se llama argumento de un número complejo al ángulo que forma el semieje real con el segmento que une el origen de coordenadas y el afijo del número. Se representa por arg(z) o simplemente por α.

7 Es evidente que si α es un argumento de un número complejo z, entonces también lo es α + 2kπ. Es decir que un número complejo tiene infinitos argumentos. Argumento principal Se llama argumento principal de un número complejo al único argumento de éste que está en el intervalo ( π, π].

8 Cálculo del argumento Dado un número complejo z = (a, b) es muy fácil calcular su módulo, pero no lo es tanto calcular su argumento. Para calcular α debemos calcular arctan ( ) b a y observar el cuadrante al que pertenece z para saber así cual es el ángulo α.

9 Forma trigonométrica Ya sabemos calcular el módulo y el argumento de un número complejo conociendo a y b. Ahora vamos a hacer lo contrario, a partir del módulo y el argumento vamos a calcular a y b. a = z cos(α) b = z sin(α) Dado un número complejo z, se llama forma trigonométrica a z (cos(α) + i sin(α) = a + i b.

10 Forma módulo-argumental o polar Un número complejo z del que conocemos su módulo z y su argumento α lo podemos escribir como z α, a esta forma se le llama forma módulo-argumental o polar.

11 Producto de complejos en forma polar. Inverso de un complejo. Cociente en forma polar Sean z = z α y w = w β, entonces: z w = ( z w ) (α+β) ( ) 1 1 z = z α ( ) z z w = w (α β) z n = ( z n ) n α

12 Fórmula de Euler e i α = cos(α) + i sin(α) Fórmula de Moivre (cos(α) + i sin(α)) n = cos(n α) + i sin(n α)