Matemáticas I Ejercicios resueltos. Tema 6: Números Complejos

Transcripción

1 Matemáticas I Ejercicios resueltos. Tema : Números Complejos 1. Calcula: ( + i)( i) (1 i)( i) c) i ( i)5i + i( 1 + i) (5 i) d) ( i)( + i) ( i) (+i)( i) (1 i)( i) i+i ( i i ) +i ( 1 5i) +1+i+5i 5 + i + i( 1 + i) (5 i) i 5 + i + i c) i ( i)5i i (0i + 5) 5 i d) ( i)( + i) ( i) (1 i 9) 18 + i. Calcula en forma binómica: 1 + i c) 1 + i i + i i 1 + i 5i d) + 5i (1 i) + i i 1 + i i 5i + i c) 1 + i i + i 1 + i i (1 + i)( + i) ( i)( + i) + i + 9i ( 5i)( i) ( + i)( i) 10i 10 i 8 i 0i 10 (i) (1 + i)( + i) i)(1 i) +( ( i)( + i) (1 + i)(1 i) i i + i 1 + 9i i i 5 d) + 5i i i (1 i) ( + 5i)(1 i) i i + 5i + 5 i (7 + i)( + i) ( i)( + i) 1 + 1i + 9i i 1. Dado el número complejo z 1 + i prueba que: 1 + z + z 0 1 z z Hay dos posibilidades para este apartado; resolver la ecuación o sustituir cada complejo por su valor en forma binómica, para posteriormente comprobar la igualdad. Nos centraremos en la segunda, que

2 es la que realmente nos interesa para practicar las operaciones con complejos en forma binómica. Como z ( 1 + i) 1 ( 1 + i) 1 (1 i ) 1 i 1 + z + z z i. Calcula x para que + xi 1 xi 1 + i 0. ( 1 i) ( 1 + i)( 1 i) i 1 + R y para que xi + i sea imaginario puro. Calcularemos z + xi para luego igualar la parte imaginaria a 0. 1 xi ( + x)(1 + xi) + xi + xi x z x + xi x (1 xi)(1 + xi) 1 + x 1 + x 1 + x + x 1 + x i. x Igualamos Im(z) 0, de donde 0 x 0 x x Si w xi, basta resolver Re(w) 0. + i xi ( xi)( i) + i ( + i)( i) Re(w) 0 1 x 5 1 9i 8xi x x 0 x. 1 x x i. 5 1 i z 5. Calcula m y n para que se verifique la igualdad: ( + mi) + (n + 5i) 7 i + n + (m + 5)i 7 i + n 7 y m + 5 n 5 y m 7.. Dados los complejos: z 1 70 o, z 10 o y z 15 o, calcula: z 1 z d) z 1 z z z z e) z1 c) z f) z z 1 z 1 z 70 o 10 o 8 90 o 8 0 o. z z 10 o 15 o 1 5 o 1 75 o. c) z z 1 10o 70 o 150 o 10 o. d) z 1 z z 70o 15o 10 o o e) z 1 ( 70 o ) 8 70 o o 8 90 o. ( ) 585 o 10 o ( ) 5 o f) z ( 15 o) o o o +0 o o. ( ). 105 o 7. Calcula y representa gráficamente el resultado: ( 1 i + i ) 1 + i i

3 ( ) 1 i + i ( ) 15 o 0 o [( ) ] 15 o 0 o [( ) ] 85 o ( ) 8 85 o ( ) 855 o 15 o. 1 + i i 5 o 5,5 5 5 o (,5 o ) 5 71,5 5 71,5o + 0 o k, k 0, 1, 8. Representa los polígonos regulares que tienen por vértices los afijos de las siguientes raíces: 5 i 1 c) + i 5 i o 1 90 o o 5 k, k 0, 1,, y 5 i z o z o z 1 1 o z 1 o z 1 0 o c) o o + 0 o k, k 0, 1,,, y 5, 1 + i 0 o o k, k 0, 1, y, + i z o z o z o z 1 10 o z 1 70 o z o z 0 7,5 o z 1 97, 5 o z 187,5 o z 77,5 o 9. Halla los números complejos z y w que verifican cada uno de estos sistemas de ecuaciones: { { z + w 1 + i z + w + i z w + i iz + w 5 + 5i { z + w 1 + i z w + i E 1 +E z + i z + i

4 { z + w 1 + i z w + i { z + w + i iz + w 5 + 5i E 1 E w i w 1 i E 1 E z iz 8 9i (1 i)z 10 10i 8 9i ( 8 9i)(1 + i) 8 1i 9i + 18 z 1 i (1 i)(1 + i) 1 + Sustituyendo en E 1, w + i + 5i i w i 10 5i 5 5i 10. Expresa en forma polar z, su opuesto z, y su conjugado z en cada uno de estos casos: z 1 i z i c) z + i z 1 i 00 o z 10 o y z 0 o. z i 5 o, z 5 o y z 15 o. c) z + i 150 o, z 0 o y z 10 o. 11. Calcula pasando a forma polar: 8 d) i (1 i) 5 i e) + i c) 1 i f) (1 + 5i) 5 8 (1 i) 8 0o 5 ( 5 o) 8 0o 5 0 o ( 5 o ) 5 o 5 o 180 o 180 o + 0 o k 0 o +0 o k, con k 0, 1,,, y 5. c) 1 i 15 o 15 o + 0 o k, con k 0 y 1. d) i 1 70 o 1 70 o + 0 o 1 k 90 o +10 o k, con k 0, 1 y. i e) + i ( ) ( ) 15 o 15 o 15 o 15 o 180 o 180o + 0 o k 90 o +180 o k, k 0, 1. f) (1 + 5i) 5 ( 5,91 o) 5 5 5,91 o 9,55 o

5 1. Calcula x para que el número complejo que obtenemos al dividir x + i esté representado en la bisectriz i del primer cuadrante. Sabemos que todo número complejo que está representado en la bisectriz del primer cuadrante es de la z a + ai, es decir, Re(z) Im(z). x + i i (x + i)( + i) ( i)( + i) x + xi + 8i x 5 + x i Si ahora imponemos la condición Re(z) Im(z), entonces: x 5 x x x + 8 x1 1. Calcula cos 75 o y sen 75 o mediante el producto 1 0 o 1 5 o. Sabemos que 1 75 o 1 (cos 75 + i sen 75) cos 75 o + i sen 75 o. Por otro lado, 1 0 o 1 5 o 1 75 o. Podemos entonces tomar cos 75 o Re(1 75 o) y sen 5 o Im(75 o ). ( ) ( 1 0 o 1 5 o (cos 0 o + i sen 0 o ) (cos 5 o + i sen 5 o ) + 1 ) i + i ( + + ) i cos 75 o y sen 75 o + 1. Expresa cos α y sen α en función de sen α y cos α utilizando la fórmula de Moivre. Ten en cuenta que: (a + a + a b + ab + b. Sabemos que (1 α ) 1 α cos α + i sen α. Por otro lado (1 α ) (cos α + i sen α) y (cos α + i sen α) cos α + cos α i sen α + cos α (i) sen α + (i) sen α cos α + ( cos α sen α)i cos α sen α i sen α Basta ahora tomar la parte real por un lado para cos α y la parte imaginaria para sen α. Es decir, cos α cos α cos α sen α sen α cos α sen α sen α 15. Qué condición debe cumplir un número complejo z a + bi para que z 1 z? Por un lado z a bi y por otro 1 z a bi a + b a a + b y b b a + b. De ambas igualdades obtenemos que a + b 1. b a i. Igualamos y a a + b a + b 1. Un pentágono regular con centro en el origen de coordenadas tiene uno de sus vértices en el punto (, ). Halla los otros vértices y la longitud de su lado. Sabemos que (, ) es el afijo de una de las raíces quintas de un número complejo que no conocemos. Si z (, ), entonces z y por otro lado, Arg(z) arctan arctan 1 5 o. Ángulo al que hubiéramos llegado si hubiéramos caído en que el afijo está en la bisectriz del primer cuadrante. Luego z 5 o, así que, como es una raíz quinta de un complejo w que no conocemos, basta

6 con hacer w z o 5 o. Sabemos que los ángulos de las raíces quintas se diferencian en 0 o 7 o. El resto de ángulos serán α k 5 o + 7 o k, con k 1,,,. Los otros vértices son los afijos 5 de 5 o, 117 o, 189 o, 1 o y o. La longitud del lado resulta de restar las coordenadas de dos afijos consecutivos y calcular el módulo del vector resultante. 17. Calcula el inverso de los números complejos siguientes y representa gráficamente el resultado que obtengas: π/ i c) 1 + i Qué relación existe entre el módulo y el argumento de un número complejo y de su inverso? 1 π/ 1 0o 0 o 1 i 1 0 o 90 o c) i ( ) 1 ) ( 1 1 0o 15 o 0 o. 90 o. ( 1 ) 15 o. La relación de sus módulos es que son inversos y entre los argumentos, que son opuestos. 18. Hallar dos números complejos z 1 y z sabiendo que su cociente es, sus argumentos suman 0 o y la suma de sus módulos suman 15. Si z 1 r α y z r β, entonces r α r β 0 o, r + r 15 y α + β 0 o. De la primera igualdad { podemos deducir que r r + r { 15 α + β 0 y que α β 0 o o. Resolvemos los sistemas r y r α β 0 o r { r + r 15 r r { r + r 15 r r 5r 15 r y r 1 { α + β 0 o α β 0 o E +E 1 α 0 o α 0 o y β 0 o 19. Hallar dos complejos z 1 y z sabiendo que su producto es 7i y uno de ellos es el cuadrado del otro. De nuevo, si z 1 r α y z r β, r α r β 7 90 o y como z z1, por ejemplo, r β (r α) de { r donde r β α. Además, de r α r β 7 90 o tenemos: { { { r r 7 r α + β 90 o 7 r α 90 o α 0 o z 1 0 o y z 9 0 o 0. El número complejo 0 o es vértice de un pentágono regular. Halla los otros vértices y el número complejo cuyas raíces quintas son esos vértices. (Recuerda que el producto de 1 α produce un giro α). Como el ejercicio Representa los números complejos que verifican: z z z + z c) z z En todos los casos z a + bi, z a bi y z a bi.

7 z z a bi a bi a 0 a 0 z bi con b R. Son todos los complejos cuyos afijos se encuentran en el eje de ordenadas (eje OY ). z + z a + bi + (a bi) a a ± a ±. Son todos los complejos cuyos afijos se encuentran en las rectas x y x. c) z z bi b ± b ±. Son todos los complejos cuyos afijos están las rectas y 1 e y 1.. Si z r α, qué relación tienen con z los números r α+180 o y r 0 o α? r α y r α+180 o son complejos opuestos, es decir, r α+180 o z. Por otro lado, r α y r 0 o α son complejos conjugados, es decir, r 0 o α z.. Representa gráficamente las igualdades siguientes. Qué figura se determina en cada caso? z (1 + i) 5 z (5 + i) En ambos casos, z a + bi. z (1 + i) a 1 + (b + 1)i y z (1 + i) 5 implica que (a 1) + (b 1) 5 que es la ecuación de una circunferencia de centro C(1, 1) y radio r 5. En este caso, nos sale una circunferencia de centro C(5, ) y radio r.. Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 1 + i y 1 i. La ecuación cumplirá [z (1 + i)][z (1 i)] 0 z z + 0. Comprobemos que realmente las soluciones de esta ecuación son z 1 + i y z 1 i. z ( ) ± ( ) 1 1 ± i 1 ± i z 1 + i z 1 i