EL NÚMERO COMPLEJO. Los números complejos. Distintas expresiones del número complejo. Operaciones con números complejos.

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1 EL NÚMERO COMPLEJO. Los números complejos. Distintas expresiones del número complejo. Operaciones con números complejos. 1. Introducción Los números complejos o imaginarios nacen de la necesidad de resolver ecuaciones cúbicas generales como ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 o cuadráticas como x = 0. Cardano es el primero en manipular 1 como si fuera un número, y Euler propuso el símbolo i para denotarlo. A principios del siglo XIX empieza a aceptarse su existencia y, de hecho, su estudio ha dado lugar a toda una teoría de variable compleja, que ha encontrado importantes aplicaciones, tanto en la propia matemática como en otras ciencias. Veremos su definición, representación gráfica y operaciones a realizar con ellos. 2. Definición y operaciones aritméticas Definición 1 : Si a y b son dos números reales cualesquiera, z = a + bi recibe el nombre de número complejo o imaginario. A a se llama la parte real y a b la parte imaginaria. En este caso, Re(z) denotará la parte real del complejo z e Im(z) la parte imaginaria. Denotaremos por C al conjunto formado por todos los números complejos. Si establecemos en el plano un sistema de coordenadas cartesianas OXY, hay una correspondencia biunívoca entre el plano y C: z = a + bi P z (a, b) P lano El punto se suele denominar afijo del número complejo z = a + bi Podemos representar gráficamente los números complejos como puntos de un plano, de la siguiente forma: I.T.I. Mecánica 1 F. Matemáticos Curso 2006/07

2 Pasamos a definir las opearaciones aritméticas con números complejos: a) Suma: Si z = a+bi y w = c+di son dos números complejos, se define z+w = (a+c)+(b+d)i. Luego, la suma equivale a sumar las partes real e imaginaria de cada complejo. Ejemplo 2 Si z = 1+3i y w = 2 4i, entonces z+w = ( 1+2)+(3 4)i = 1 i. b) Producto: Para multiplicar z = a + bi por w = c + di, haremos el cálculo z w = (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 Para tener definido completamente el producto z w, necesitamos establecer el valor de i 2. Pero, si recordamos el origen histórico de i como 1, no cabe duda de que debemos tomar i 2 = 1. Con esta definición de i 2, el producto z w adopta la forma final z w = (ac bd) + (ad + bc)i c) División: Para ello, necesitamos introducir el concepto de conjugado de un complejo. Dado z = a + bi, se llama conjugado de z al complejo z = a bi. Propiedades obvias de la conjugación son: (a) z + w = z + w. (b) z w = z w I.T.I. Mecánica 2 F. Matemáticos Curso 2006/07

3 (c) z z = a 2 + b 2 si z = a + bi Volviendo al problema de calcular el cociente de números complejos, supongamos que z = a + bi y w = c + di, siendo c y d no nulos simultáneamente. Para calcular z, vamos a multiplicar numerador y denominador por w: w z w = z w (a + bi)(c di) ac + bd ( bc ad ) = = w w c 2 + d 2 c 2 + d + i 2 c 2 + d 2 Ejemplo 3 Calcular 1 + 2i 2 + 3i : 1 + 2i 2 + 3i = (1 + 2i)(2 3i) (2 + 3i)(2 3i) = (4 3)i = 8 + i 13 = i Propiedades La suma y el producto de números complejos tienen todas las propiedades características de los números: I) Suma: Commutativa: z + w = w + z Asociativa: z + (w + u) = (z + w) + u Elemento nulo: 0 = 0 + 0i porque z + 0 = z, z C Elemento opuesto: z porque para cualquier z = a + bi, el complejo z = a bi, verifica que sumado con z da como resultado 0 (todo complejo posee opuesto). II) Producto: Commutativa: z w = w z Asociativa: z (w u) = (z w) u Elemento unidad: 1 = 1 + 0i porque z 1 = z, z C Elemento inverso z 1 : Para cada z no nulo, existe z 1 se denomina el inverso de z porque z z 1 = 1. III) El producto es distributivo respecto de la suma: z (w + u) = z w + z u Un conjunto con dos operaciones que verifican estas propiedades se llama cuerpo commutativo (lo son Q, R y C). En definitiva, podemos manipular los números complejos con la misma naturalidad con que lo hacemos con los números racionales o reales. I.T.I. Mecánica 3 F. Matemáticos Curso 2006/07

4 3. Módulo y argumento Definición 4 : Si z = a+bi, se llama módulo de z, y se denota por z, al módulo del vector de posición OP z. Por tanto, z = + a 2 + b 2. Usaremos las siguiente propiedades del módulo: (a) z w = z w. (b) z + w z + w. (c) z z = z 2. Definición 5 : Si z 0, se llama argumento de z al ángulo que forman el vector de posición OP z con el semieje real positivo. Por tanto, si α es un argumento de z, también lo es α + 2πn, cualquiera que sea el entero n. Usualmente, el conjunto formado por todos los argumentos de z se denota por arg(z). Con la ayuda de la figura anterior, es fácil deducir las relaciones siguientes: a = z cos α; b = z sen α siendo α un argumento de z. I.T.I. Mecánica 4 F. Matemáticos Curso 2006/07

5 De estas relaciones se deduce la siguiente forma de expresar el número complejo z: z = z (cos α + i sen α). Se llama la forma trigonométrica del número complejo z, mientras que z = a + bi se llama la forma binómica. Otra forma posible de expresar un complejo es la llamada forma polar: z = ρ α donde ρ es el módulo de z y α el argumento. Las formas trigonométrica y polar son especialmente útiles en cálculos de productos y cocientes, como veremos seguidamente. Producto y cociente de complejos en forma trigonométrica y polar. Estudiemos en primer lugar, el producto de dos complejos (ya visto en forma binómica) en forma trigonométrica y polar, y comentaremos su interpretación geométrica. Sean z y w dos complejos, y α y β argumentos de z y w, respectivamente. Podemos expresarlos en forma trigonométrica z = z (cos α + i sen α), w = w (cos β + i sen β). Calculando su producto, tenemos que z w = z w [ (cos α cos β sen α sen β) + i(sen α cos β + cos α sen β) ] = = z w [ cos(α + β) + i sen(α + β) ] = ( z w ) α+β Por tanto, el producto de dos complejos es otro complejo que tiene por módulo el producto de sus módulos y por argumento la suma de sus argumentos. De forma análoga, multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador, se demuestra que el cociente de dos complejos es otro complejo, que tiene por módulo el cociente de los módulos y por argumento la diferencia de los argumentos. z ( z ) w = w α β Interpretación geométrica del producto de dos complejos. Ecuaciones de giro Pasemos a ver la interpretación geométrica del producto de dos complejos. Según la definición que hemos dado de producto de dos complejos en forma polar, observamos que I.T.I. Mecánica 5 F. Matemáticos Curso 2006/07

6 si multiplicamos el complejo ρ α por el 1 β, obtenemos otro complejo que es el ρ α+β, lo que equivale a efectuar un giro de centro el origen y ángulo β del afijo del complejo ρ α en el sentido contrario a las agujas del reloj. Las coordenadas del afijo después de girarlo serán: x = x cos β y sen β y = x sen β + y cos β Como casos particulares podemos considerar los giros de ángulo π 2, π y 3 π 2 que equivaldrían a multiplicar el complejo x + iy por i, 1 y i, respectivamente. Ejemplo 6 Girar, con centro el origen y en sentido contrarreloj, el vector OP un ángulo de 30 grados, siendo P (2, 1). Es decir, no piden multiplicar el complejo de módulo OP y argumento α = arctg 1 por 2 el 1 π. Llamándoles z y w respectivamente tenemos que 6 z w = (2 + i) (cos π 6 + i sen π 6 ) = 1 2 [(2 3 1) + i( 3 + 2)] o aplicando las ecuaciones de giro el resultado será (2 cos π 6 sen π 6, 2 sen π 6 + cos π 6 ) = 1 2 [(2 3 1) + i( 3 + 2)] 4. Potencia compleja Definición 7 : Dado z 0 un número complejo expresado en forma trigonométrica z = z (cos α + i sen α) y n un número entero, tenemos que: z n = z n (cos nα + i sen nα) que recibe el nombre de fórmula de Moivre. Ejemplo 8 Calcular (1 + i) 6. Ponemos z = 1+i y calculamos z y arg(z). z = = 2 y arg(z) = π 4 +2πn. Usando la fórmula de De Moivre, obtenemos (1 + i) 6 = ( 2) 6 (cos 6π 4 + i sen 6π 4 ) = 8(cos 3π 2 + i sen 3π 2 ) = 8(0 i) = 8i I.T.I. Mecánica 6 F. Matemáticos Curso 2006/07

7 Ejemplo 9 Calcular (1 + 3i) 4. Hacemos z = 1 + 3i y calculamos módulo y argumento: z = = 2 y tagα = 3 = 3, por lo que α = π + 2πn. Usando la fórmula de De Moivre, obtenemos 1 3 (1 + 3i) 4 = 2 4 (cos( 4π 3 ) + i sen( 4π 3 )) = 1 16 (cos(4π 3 ) i sen(4π 3 )) Teniendo en cuenta que 4π 3 = π 3 + π y por tanto, cos 4π 3 = cos π 3 = 1 2 y sen 4π 3 = sen π = 3, tenemos que 3 2 (1 + 3i) 4 = ( i) 5. Raíces complejas Veremos que todo número complejo no nulo posee n raíces de índice n. Definición 10 : Dado z un complejo no nulo de argumento φ y un número natural n > 1, se define n z = n z ( φ n + 2π n k) siendo k = 0, 1,..., n 1, y da lugar a n soluciones distintas. Ejemplo 11 Calcular 3 i. Como i tiene módulo 1 y argumento π, tenemos que: 2 siendo k = 0, 1, 2. 3 i = 3 1 π 6 + 2π 3 k entonces las raíces son: ω 0 = 1 π 6, ω 1 = 1 5π 6 Expresándolas en forma binómica: y ω 2 = 1 9π 6 = 1 3π. 2 ω 0 = cos π 6 + i sen π 6 = i ω 1 = cos 5π 6 + i sen 5π 6 = i ω 2 = cos 3π 2 + i sen 3π 2 = i I.T.I. Mecánica 7 F. Matemáticos Curso 2006/07

8 6. Exponencial y logaritmo complejos La exponencial compleja Vamos a definir e z de forma que se verifique la regla de la suma de exponentes e z e w = e z+w. Si z = a + bi, entonces e z = e a+bi = e a e bi. Por tanto, sólo se necesita definir la exponencial de exponente imaginario puro e bi. Definición 12 : Se define para todo b real. e bi = cos b + i sen b Luego la forma final de e z es: e z = e a (cos b + i sen b) siendo z = a + bi Hasta el momento, hemos visto tres formas de expresar un número complejo: binómica, trigonométrica y polar. La exponencial compleja nos ofrece una nueva forma. Si z es un complejo no nulo con módulo z y argumento α, entonces z = z (cos α + i sen α) = z e αi que se llama forma exponencial del número complejo z. El logaritmo complejo Veremos que todo complejo no nulo posee infinitos logaritmos. Definición 13 : Sea z 0 con argumento α,se define siendo n un entero arbitrario. Ejemplo 14 Calcular log( 1). logz = log z +(α + 2πn)i El complejo 1 + 0i tiene módulo 1 y argumento π + 2πn. Entonces log( 1) = log1 + (π + 2πn)i = (2n + 1)πi, n Z Terminaremos el tema señalando que se puede definir una potencia compleja con base y exponente arbitrarios. Si z es un complejo no nulo, se define z w = e w logz. I.T.I. Mecánica 8 F. Matemáticos Curso 2006/07

9 7. Ejercicios 1. Dados los números complejos z = 2 + i y w = 3 2i, calcula z + w, z w, z y z w. 2. Dado el número complejo z = 1 i, escríbelo en forma polar, trigonométrica y exponencial. 3. La suma de dos complejos es 2 + 4i. La parte real del segundo es 2 y el cociente entre el primero y el segundo es imaginario puro, cuáles son los números complejos de los que hablamos?. 4. Qué relación debe existir entre a y b para que el cociente z+1 z 1 siendo z = a + bi?. sea imaginario puro, 5. Resolver la ecuación z 3 1 = Calcular (2 + i)(3 + i) y deduce que π 4 = arctan arctan Calcular en forma binómica 8 + 6i. 8. Usar la fórmula de De Moivre para determinar sen 3α y cos 3α en función de sen α y cos α. I.T.I. Mecánica 9 F. Matemáticos Curso 2006/07