N Ú M E R O S C O M P L E J O S

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1 N Ú M E R O S C O M P L E J O S. N Ú M E R O S C O M P L E J O S E N F O R M A B I N Ó M I C A Al intentar resolver la ecuación x 6x 0, obtenemos como soluciones + y que carecen de sentido porque no es un número real. Los número complejos surgen de la necesidad de intentar dar validez a estas expresiones. Para eso hace falta admitir cómo válidos y todos los números que se obtengan de él cuando se opera como si de un número más se tratara. Introduzcamos, entonces la siguiente terminología: Unidad imaginaria: Se llama así al nuevo número que se designa por la letra i. De este modo podremos expresar todas las raíces negativas utilizando este número, por ejemplo: 7= 7 = 7 i Observa que de i, se deduce que: i. o 4= 4 = i Números complejos en forma binómica: Son todas aquellas expresiones de la forma a bi, donde a y b son números reales. A a se le denomina parte real y a b parte imaginaria. Y dos números complejos serán iguales cuando tengan la misma parte real y la misma parte imaginaria. De esta forma las soluciones de la ecuación x² - 6x+=0 serán +i y -i. El conjunto de los números complejos se denota por C= {a+bi / a, b R}. Todo número real es complejo, esto es R C, ya que todo número real se puede expresar como un número complejo de parte imaginaria cero 0i. Ejemplo: Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 6x ± ± 64 6 ± 8 6 ± 8i ìx x Þ í îx 4i 4i b) x 4 x 4 0 ± 4 ( 4) ± 5 ± 5 ìï x ìx x í í x 4 4, x² Þ Þ ïî îx i, x i Matemáticas I Tema 6. Números Complejos -

2 Números complejos imaginarios puros son aquellos con parte real nula: i 0 i. Utilizaremos habitualmente la letra z para designar a los números complejos. Dado z a bi un número complejo en forma binómica, se define el contrario de z como z a bi y el conjugado de z como z=a bi. Ejemplos: a ) z=+ i { z= i z= i b ) z= +i { z= i z= i c ) z= 5i { z=5i z=5 i. R E P R E S E N T A C I Ó N G R Á F I C A D E N Ú M E R O S C O M P L E J O S Los sucesivos conjuntos de números (naturales, enteros,...) se pueden representar sobre la recta llamada recta real que la llenan por completo. Para representar los números complejos tenemos que salir de la recta y llenar el plano, pasando así de la recta real al plano complejo. Los números complejos se representarán sobre los ejes cartesianos, de manera que al número complejo z a bi le corresponderá el punto del plano (a,b) que se denomina afijo del número complejo z y se suele representar mediante un vector de origen (0,0) y extremo (a,b). Al eje X se le denomina eje real y al eje Y eje imaginario ya que los números reales se situarán sobre el eje X y los imaginarios puros sobre el eje Y.. O P E R A C I O N E S C O N C O M P L E J O S E N F O R M A B I N Ó M I C A Suma, resta y multiplicación: La suma, resta y multiplicación de números complejos no representan ningún problema, ya que se realizan siguiendo las reglas de las operaciones de números reales y teniendo en cuenta que i. Matemáticas I Tema 6. Números Complejos -

3 Ejemplos: a) (+ i )+(5 6 i )=(+ 5)+( 6) i=8 4 i b) (6 5 i) ( 4+7 i )=(6 ( 4))+( 5 7) i=0 i c) d) (+4 i) ( 5 i)= ( 5 i )+4 i ( 5i )=6 5 i+8 i 0i = 6 5 i+8i+0=6 7 i (4 i ) ( i)=4 4 i i+ i =4 4 i 6 i = =( 4 )+( 4 6) i e) (5+i ) (5 i )=5 9i =5+9=4 Observa que el producto de un número complejo por su conjugado da siempre un número real: a bi a bi a b Inverso de un número complejo. División: Dado un número complejo z se define el inverso del número complejo como el número z. En la práctica, se tiende a transformar esta expresión en una equivalente, multiplicando numerador y denominador por su conjugado. Por ejemplo: Dado z 4i, su inverso será: manera:. Transformamos esta expresión de la siguiente 4i 4i 4i 4i 4 i 4i 4i 4i Por tanto, la división de dos números complejos se realizará multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este último, consiguiendo de este modo que el denominador quede un número real. Ejemplo: 5 i 4+i = 5 i 4+i 4 i 4 i = 0 0i i+6i = 0 0i i 6 = 4 i = i= i 4. N Ú M E R O S C O M P L E J O S E N F O R M A P O L A R Módulo y argumento de un número complejo: El módulo del número complejo z, es la longitud del vector que representa dicho número. Se representa por z =r. El argumento del número complejo z es el ángulo que forma el vector que representa dicho número con la parte positiva del eje real. Se representa por arg(z )=α. Matemáticas I Tema 6. Números Complejos -

4 Por lo tanto, un número complejo z, en forma polar, se expresará de la forma z=r α. Paso de forma binómica a forma polar: Por el teorema de Pitágoras tenemos que: r =a +b r =+ a +b Además, tg α= b a α= arctg ( b a) Ejemplos: ) z = + i Módulo: z =+ ( ) +( ) =+ 4+ =+ 6=4 Argumento : tg α= = α=0º o α=00º Como z está en el º cuadrante, el argumento que tenemos que elegir es 0º Entonces z =4 0º ) z =i Módulo: z =+ (0) +() =+ 0+=+ = Argumento : tg α= 0, que no existe, por tanto α=90 º o α=70º Como z está sobre la parte positiva del eje imaginario, el argumento es 90º Entonces z = 90º ) z = Módulo: z =+ ( ) +(0) =+ 4+0=+ 4= Matemáticas I Tema 6. Números Complejos - 4

5 Argumento : tg α= 0 =0 α=0º o α=80º Como z está sobre la parte negativa del eje real, el argumento es 80º. Entonces z = 80 º Paso de forma polar a forma binómica: Teniendo en cuenta las relaciones trigonométricas en el triángulo rectángulo, obtenemos que: r a cos Þ a r cosα r b sen Þ b r senα Según estas relaciones, el número complejo z=a+bi, se puede expresar: que se denomina forma trigonométrica del número complejo. Ejemplos: ) z =5 5 º En forma trigonométrica: z =5 (cos 5º+i sen5 º) ) z =4 0 º En forma trigonométrica: z =4 (cos 0º +i sen 0º) Matemáticas I Tema 6. Números Complejos - 5

6 ) z = 70º En forma trigonométrica: z = (cos 70º+i sen70º) 4. O P E R A C I O N E S C O N C O M P L E J O S E N F O R M A P O L A R Suma y resta: La suma y la resta de números complejos en forma polar no presenta ninguna ventaja de cálculo frente a la forma binómica, simplemente complica los mismos. Producto: Dados dos números complejos en forma polar, z=r α y z'=r ' β, el producto es otro número complejo en forma polar que tiene de módulo el producto de los módulos y de argumento, la suma de los argumentos. Es decir: z z'=r r ' α+ β Cocient e : Dados dos números complejos en forma polar, z=r α y z r, el cociente es otro número complejo en forma polar que tiene de módulo el cociente de los módulos y de argumento, la diferencia de los argumentos. Esto es z z ' =( r r ' ) α β Ejemplo: Si z =5 5 º y z =4 0 º, z z = 0 5º+0º = 0 5º, y z z = ( 5 4 ) 5 º 0 º= ( 5 4 ) 5º Potencia: Dado z=r α un complejo en forma polar, la potencia n-ésima z n es otro número complejo en forma polar que tiene de módulo el módulo de z elevado a n y de argumento, el argumento de z multiplicado por n. Esto es z n n =r n α. Matemáticas I Tema 6. Números Complejos - 6

7 La potencia n-ésima de un número complejo cualquiera de módulo uno, α es: ( α ) n = n n α = n α, que expresado en forma trigonométrica es la FÓRMULA DE MOIVRE: (cos i sen ) n (cos ( n ) i sen ( n )) Ejemplos: Dados los complejos z =4 60º y z = 0º : a) z z =4 60º 0º =(4 ) 60 º+0º = 70º b) z z 4 60º 0º 4 50º 4 0º c) (z ) 5 =(4 60º ) 5 5 =4 5 60º =04 00º =04(cos 00º +isen 00º) (z ) 5 =[4(cos 60º+isen 60º)] 5 =4 5 (cos60º+isen60º) 5 =04(cos5 60º+isen5 60º ) = 04(cos00 º+isen00 º) d) (z ) 4 =( 0º ) 4 4 = 4 0º =8 840º =8 0º Raíz n-ésima de un número complejo: En C una ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n soluciones, por lo tanto, la ecuación x n z 0 tiene n soluciones, pero justamente la solución de esta ecuación es, despejando, x n z que ha de tener n soluciones. En definitiva, la raíz n-ésima de un número complejo tiene exactamente n raíces. Calculemos, entonces, cuáles son estas raíces: Sea z=r α un número complejo en forma polar del que queremos calcular sus raíces y sea z i =R β una de sus raíces. Determinemos su módulo y argumento: Por ser z i una raíz, ha de cumplir: { (z i) n =z (R β ) n =r α R n n β =r α n z z i i,..., n R n =r R= n r (única) n β=α β= α n Pero β no está determinado de manera única ya que α tiene las mismas razones trigonométricas que α+60º k, k Z, y como tenemos n raíces, tomamos las n raíces distintas que nos da β que son las correspondientes a k =0,,,, n-. Entonces las raíces son: Matemáticas I Tema 6. Números Complejos - 7

8 Ejemplos: ) Calcular las raíces cúbicas de 8i. z= 8i=8 70º z i = z,i=,,.( raíces) R= 8= 70º +60º 0 k=0 β= =90º 70º +60º k β=, k= β k=0,, { = 70º+60º =0º 70º +60º k= β = =0º Entonces, las raíces son: z = 90 º, z = 0 º y z = 0º ) Calcular 5 i 4 : ( i) 4 0º 0º 4 480º 80º 80º 80º Entonces las raíces son: 5 6 º ; 5 08 º; 5 80º; 5 5º y 5 4 º Matemáticas I Tema 6. Números Complejos - 8

9 E J E R C I C I O S. Expresa en forma binómica los siguientes números complejos: a) 6 b) 00 c) 5 d) 5 e) 5 8 f) 64 g) 7 h) 5+. Para cada uno de los siguientes números complejos en forma binómica, calcula su contrario y su conjugado y represéntalos: a) 5 i b) i c) + i d) 5i e) 0 f). Resolver en el plano complejo las siguientes ecuaciones: a) x 4x 0 b) x x 5x 5 0 c) x 4 x Dados los complejos z i, z i, calcular: a) z z b) z z c) z z d) z e) z f) ( z z z ) 5. Efectúa las siguientes operaciones: 7 5i a) (6 5 i)+( i ) ( 5+6i )= f) i b) (+i )(4 i)= g) i( 4+i) = i c) 6i( +i)= h) +i i ( i) = d) (+i) = i) i +i + 5i i = e) +4i 4 i = j) (+i) +( i ) = i 6. Calcula el valor de b para que el producto ( 6 i)(4 +bi) sea: a) Un número imaginario puro. b) Un número real. 7. Calcula el valor de x para que el cociente 5+xi i sea: a) Un número imaginario puro. b) Un número real. 8. Escribe en las formas polar y trigonométrica los siguientes números complejos: Matemáticas I Tema 6. Números Complejos - 9

10 a) + i b) +i c) +i d) 5 i e) i f) 5 9. Escribe en forma binómica y trigonométrica los siguientes números complejos: a) 5 π 6 b) 5º c) 495º d) 40º e) 5 80º f) 4 90 º 0. Dados los complejos z =6 0º y z =4(cos 5º+isen 5º ), calcula: a) z z b) z z c) ( z z ) d) ( z ) 4.Efectúa las siguientes operaciones: 5 a) 90 º 80º = e) 5º b) 7 70º 80º = f) ( 5º ) 8 = c) 5 50º :5 70º = g) ( 45º ) 8 = d) 6 00º : ( = h) ) ( 60 º 0º ) 5 =. Dados los complejos z = i, z = +i, calcula en forma polar: a) z z b) z ( c) z d) ( z z z ) ). Calcula y representa: a) 8 80º b) º c) 5 55º d) i e) 4 4 i 4.Expresa en forma polar, efectúa la operación indicada y calcula las raíces: a) ( i )( +i) b) +i i c) 5 ( i +i) 5. Halla las raíces cuartas del número complejo z= 8 8 i. Matemáticas I Tema 6. Números Complejos - 0