6.1 EN QUÉ CONSISTEN LOS NÚMEROS COMPLEJOS

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1 TEMA NÚMEROS COMPLEJOS. EN QUÉ CONSISTEN LOS NÚMEROS COMPLEJOS DEFINICIONES Al resolver ecuacones del tpo : x + = 0 x = ± que no tene solucón en los números reales. Los números complejos nacen del deseo de dar valdez a estas expresones. Para ello es necesaro admtr como número váldo a y a todos los que se obtengan al operar con él como s se tratara de un número más. Undad magnara: Se llama así al nuevo número. Y se desgna por la letra = = - (El nombre vene de magnaro) Números complejos: Son las expresones: a + b, donde a y b son números reales. Componentes: La expresón a + b, se llama forma bnómca de un número complejo porque tene dos componentes: a = Parte real b = Parte magnara. Igualdad: Dos números complejos son guales sólo cuando tenen la msma componente real y la msma componente magnara. El conjunto de todos los números complejos se desgna por C. C = {a + b / a, b R} Los números reales son complejos: R C: Los reales son números complejos cuya parte magnara es cero: a + 0 = a Números magnaros: Son los números complejos cuya componente magnara no es cero. Por tanto, un número complejo o es real o es magnaro. Números magnaros puros: son los magnaros cuya parte real es cero: 0 + b = b Opuesto de un número complejo z = a + b : -z = -a b Conjugado de un número complejo z = a + b : z = a - b REPRESENTACIÓN GRÁFICA Las sucesvas categorías de números (naturales, enteros, raconales,...) se pueden representar sobre la recta. Los reales la llenan por completo, de modo que a cada número real le corresponde un punto en la recta y cada punto, un número real. Por eso hablamos de recta real.

2 Para representar los números complejos tenemos que salr de la recta y llenar el plano, pasando así de la recta real al plano complejo. Los números complejos se representan en unos ejes cartesanos. El eje X se llama eje real y el Y, eje magnaro. El número complejo a + b se representa medante el punto (a,b) que se llama afjo, o medante un vector de orgen (0,0) y extremo (a,b). Los afjos de los números reales se stúan sobre el eje real y los magnaros puros, sobre el eje magnaro. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Cualquer ecuacón de segundo grado con coefcentes reales que no tenga solucón real tene dos solucones magnaras que son números complejos conjugados.. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA Las operacones con los números complejos en forma bnómca se realzan sguendo las reglas de las operacones de los números reales y tenendo en cuenta que = -. SUMA: La suma de dos números complejos es otro número complejo cuya parte real es la suma de las partes reales y cuya parte magnara es la suma de las partes magnaras. z + z = (a + b) + (a + b ) = a + b + a + b = (a + a ) + (b+b ) RESTA: La resta de dos números complejos es otro número complejo cuya parte real es la resta de las partes reales y cuya parte magnara es la resta de las partes magnaras. z - z = (a + b) - (a + b ) = a + b - a - b = (a - a ) + (b-b ) MULTIPLICACIÓN z.z = (a + b).(a + b ) = a.a + a.b + ba + b.b = a.a + a.b + a.b b.b = = (a.a - b.b ) + (a.b + a.b) Nota: S multplcamos un número complejo por su conjugado obtenemos un número real: z.z = (a + b).(a b) = a (b) = a b. = a + b DIVISIÓN: Multplcamos y dvdmos por el conjugado del denomnador. z z' a = a' + + b b' (a + b).(a' b') = (a' + b')(a' b') (a.a' + b.b') + (b.a' a.b') = a' + b' a.a' + b.b' ba' a.b' = + a' + b' a' + b' POTENCIAS DE : 0 = = = - = - =... n se dvde n entre cuatro y nos quedamos con el resto (0,,,) n = r

3 PROPIEDADES La suma de números complejos cumple las propedades asocatva y conmutatva. El 0 es el elemento neutro de la suma. Todos los números complejos tenen un opuesto. La multplcacón de número complejo es, tambén, asocatva y conmutatva. El es el elemento neutro del producto Todos los números complejos, a + b, salvo el 0, tenen un nverso: /(a + b) Además, la multplcacón es dstrbutva respecto de la suma. Con todas estas propedades nos dcen que podemos operar con los complejos de la msma forma que con los reales.. NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR MÓDULO Y ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO Módulo de un número complejo z es la longtud del vector medante el que dcho número se representa. Se desgna por r = z Argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real postvo. Se desgna: α = arg (z) (0º α 0º) Número complejo en forma polar: z = r α PASO DE FORMA BINÓMICA A FORMA POLAR r = + a + b b arctag z = a + b a α = 90º 70º s a s a s a 0 = 0 = 0 (Tenendo en cuenta el cuadrante) y b > 0 y b < 0 PASO DE FORMA POLAR A FORMA BINÓMICA z = r α a = r cosα z = r cosα + r sen α. b = r sen α

4 . OPERACIONES CON COMPLEJOS EN FORMA POLAR PRODUCTO: Al multplcar dos números complejos en forma polar obtenemos otro número complejo en forma polar de módulo el producto de los módulos y de argumento la suma de los argumentos (reducéndola a un ángulo entre 0º y 0º) r α. r α = (rcosα + rsenα).(r cosα +r senα ) = (rcosα.r cosα - rsenα.r senα ) + (rcosα.r senα + rsenα.r cosα ) = rr (cosα.cosα -senα.senα ) + rr.(cosα.senα + senα.cosα ) = rr cos(α + α ) + rr.sen (α + α ) = rr α + α POTENCIA: La potenca n-ésma de un número complejo en forma polar es otro número complejo en forma polar de módulo la potenca n-ésma del módulo y por argumento el argumento multplcado por n. (r α ) n = r α...r α = (r...r) α α = (r n ) nα COCIENTE: El cocente de dos números complejos en forma polar es otro número complejo de módulo el cocente de los módulos y por argumento la resta de los rα r argumentos: = r' r' α' α α' FÓRMULA DE MOIVRE Aplcando las propedades de la potenca de un número complejo, se obtene la sguente fórmula, llamada fórmula de Movre: (cos α + senα ) n = cos nα + sen nα que es útl en trgonometría, pues permte hallar cos nα y sen nα en funcón de cosα y sen α. RADICALES n ( r ) α 0º 0,,..., n - n r = + = α n Dando los valores de obtenemos la n raíces de dcho número complejo. Para n >, los afjos de estas n raíces son los vértces de un n-ágono regular con centro en el orgen.

5 EJERCICIO : Calcula y representa gráfcamente la solucón que obtengas: a) b) c) 0 d) 9 Solucón: a) b) c) 0 d)

6 PASAR DE BINÓMICA A POLAR Y VICEVERSA. OPUESTO Y CONJUGADO EJERCICIO : Dado el número complejo z : a Represéntalo gráfcamente y exprésalo en forma polar. b Obtén su opuesto y su conjugado. Solucón: a Forma polar: z tg Por tanto: z 0 0 (pues está en el.º cuadrante) b) Opuesto z Conjugado z EJERCICIO a) Expresa en forma bnómca el número complejo z y represéntalo gráfcamente. b Obtén el opuesto y el conjugado de z. Solucón: a) z cos sen b) Opuesto z Conjugado z EJERCICIO : Halla el módulo y el argumento de Solucón: Expresamos y en forma polar: tg (pues está en el º cuadrante) tg er (pues está en el cuadrante) Por tanto: Módulo y Argumento 0.

7 OPERACIONES EN FORMA POLAR EJERCICIO : Una de las raíces octavas de un número complejo, z, es. Halla el valor de z. Solucón: S es una raíz octava de z, entonces: z 8 Expresamos en forma polar: tg 8 (pues está en el.º cuadrante) Por tanto: z EJERCICIO : El producto de dos números complejos es números es z, halla el otro número..sabendo que uno de los 7 Solucón: Llamamos w al número buscado. Entonces, tenemos que: Expresamos z en forma polar: z z w z 7 tg Luego z y,por tanto: (pues está en el prmer cuadrante) cos sen w 0 Es decr: w 0 EJERCICIO 7 : Calcula e nterpreta gráfcamente las solucones: 7 Solucón: Expresamos 7 en forma polar: Así: con 0,, Las tres raíces son: Los afjos de las tres raíces cúbcas ocupan los vértces de un trángulo equlátero. EJERCICIO 8 : Halla e nterpreta gráfcamente las solucones. Solucón: 0,,,, Las cnco races son:

8 Los afjos de las raíces quntas ocupan los vértces de un pentágono regular. EJERCICIO 9 : Halla un número complejo, z, sabendo que una de sus raíces quntas es. Solucón: z Expresamos en forma polar: tg Por tanto: z 8 (pues está en el.º cuadrante) cos sen Es decr: z EJERCICIO 0 : Calcula: 8 Solucón: 8 8 0,,, Las cuatro raíces son: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EN FORMA COMPLEJA EJERCICIO : Resuelve las ecuacones: a) z z 0 b) z 8 0 c) x x 0 d) z 0 Solucón: a) z 0 z 0 z Hay dos solucones: z z b) z 8 0 z 8 z 8 8 0,, 80 c) x 0 x 0 x Hay dos solucones: z z d) z 0 z z z 0,, Las tres raíces son:

9 COMPLEJOS EJERCICIO : Calcula en forma bnómca y representa gráfcamente la solucón: a) 0 7 b) c) 7 d) e) 0 f) 7 EJERCICIO : a Representa gráfcamente el número z y halla su opuesto y su conjugado. b Expresa en forma polar z. EJERCICIO : Consdera el número complejo z. a Represéntalo gráfcamente y escrbe su opuesto y su conjugado. b Expresa z en forma polar. EJERCICIO : a) Expresa en forma bnómca el número complejo z 0 b Escrbe el opuesto y el conjugado de z. y represéntalo gráfcamente. EJERCICIO : Calcula el valor de z, sabendo que z. EJERCICIO : Calcula la cuarta potenca del número complejo z. EJERCICIO 7 : Halla las raíces cuartas de y represéntalas gráfcamente. Qué fgura obtenes s unes los afjos de las raíces obtendas? EJERCICIO 8 : Re presen ta gráfcamente los resultados de hallar. Qué fgura obtenemos al unr los afjos de las raíces obtendas? EJERCICIO 9 : Halla las raíces sextas de e nterpreta gráfcamente los resultados obtendos. EJERCICIO 0 : Resuelve las sguentes ecuacones: a) z 7z 0 b) x 8 0 c) z 0 EJERCICIO : Representa z, su opuesto y su conjugado, y exprésalos en forma polar. EJERCICIO : Calcula z 8, sabendo que z. EJERCICIO : Halla los números complejos, z, que cumplen la sguente gualdad: z 0

10 EJERCICIO : Calcula: 8 EJERCICIO : Halla un número complejo, z, sabendo que una de sus raíces quntas es. EJERCICIO a) Dado el número complejo z los tres números. b) Escrbe z, z y z en forma polar., escrbe su opuesto y su conjugado, y representa EJERCICIO 7 : Escrbe el opuesto y el conjugado de z. Escrbe los tres números en forma polar y represéntalos. EJERCICIO 8 a) Escrbe en forma bnómca z 0 b) Halla su opuesto y su conjugado en forma bnómca c ) Re presen ta z, z y z. y polar. EJERCICIO 9 a) Expresa en forma polar z. b) Escrbe en forma bnómca y en forma polar el opuesto y el conjugado de z. c) Representa z, z y z. EJERCICIO 0 : Calcula: a) b) 8 f) g) 7 7 d) 8 7 c) h) ) e) 0 j) EJERCICIO : Calcular x para que x 9 sea un número magnaro puro. EJERCICIO : El número complejo de módulo y argumento 0º es el producto de dos número complejos, uno de los cuales es el número. D cuál es el otro y exprésalo en forma bnómca. EJERCICIO : El producto de un número complejo de argumento 0º por otro de módulo nos da como resultado el número complejo +. Halla el módulo del prmero y el argumento del segundo. EJERCICIO : Halla dos números complejos conjugados cuyo cocente sea un magnaro puro y su dferenca sea. EJERCICIO : Un cuadrado con centro en el orgen de coordenadas tene uno de sus vértces en el punto A(,). Calcular los demás vértces. EJERCICIO : Calcular dos números complejos cuya suma es un número real, su dferenca tene por parte real y su producto vale +