INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN BLOQUE 1

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1 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN BLOQUE En el Aula Vrtual se encuentra dsponble: Materal nteractvo con teoría y ejerccos resueltos. Para acceder a ello deberá pulsar sobre los sguentes enlaces una vez dentro de la asgnatura Pagna Prncpal >Apuntes>. Números Complejos Materal en pdf con el sguente contendo: - Repaso de números complejos a nvel de bachllerato - Apuntes de teoría - Ejerccos resueltos - Problemas de examen resueltos Para acceder a ellos se deberá pulsar sobre los sguentes enlaces una vez dentro de la asgnatura: Pagna Prncpal >Recursos Por Temas>Números Complejos Antes de realzar estos ejerccos debes leer y comprender los sguentes apartados: Necesdad de amplar el conjunto de los números reales. Defncón del conjunto de números complejos C. Forma bnómca de un número complejo. Representacón gráfca de números complejos. Interpretacón geométrca de la suma. Conjugado de un número complejo. Módulo y argumento de un número complejo. Prmeras defncones. Operacones. Representar gráfcamente la regón del plano donde se encuentran los afjos de los sguentes conjuntos de números complejos Solucón: (a) { z C / Imz> 0} (b){ z C / < z< } (c){ z C / 0 Rez } C (e) { z C / Re( z ) = } (d) { z / 0 Imz Rez} Profesora: Elena Álvarez Sáz

2 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN BLOQUE (a) Semplano superor b) El conjunto de los números complejos no es cuerpo totalmente ordenado. c) d) e) Demostrar las sguentes propedades: z Solucón: = z z w z w = z+ z= Re( z) z z= Im( z) z= a+ b z= a b z= a b= a+ b = + entonces + = ( + ) + ( ) = = Re S z a b z z a b a b a z Profesora: Elena Álvarez Sáz

3 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN BLOQUE = + entonces = ( + ) ( ) = = Im S z a b z z a b a b b z Localzar vectoralmente los números z + z y z z cuando (a) z z z= + z= = = (b) ( ) Solucón: (a) z = z = + (b) z 5 5 = 8 z = Dado los números complejos z= +, w= +, s= realzar las sguentes operacones: z w s + szw 5 (a) Im( ) 0 (b) zw s z (c) s + s + s + s (d) s + s + s s (e) zw z w Solucón: 7 6 (a) (d) - (e) 0 (b)( 0 ) ( 5) + (c) 0 5 Verfcar cada una de las sguentes dentdades (a) zz z z z z = (b) = z z (c) z = z 6 Verfcar cada una de las sguentes dentdades (a) arg( z z ) = arg( z ) + arg( z ) (b) arg arg( z ) arg( z ) z = z Profesora: Elena Álvarez Sáz

4 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN BLOQUE 7 ϕ Resolver la ecuacón e = para ϕ ( < ϕ ) Solucón: ϕ= 8 Calcular (a) 00 (b) ( 6) / (c) ( + ) 0 Solucón: + + (c) ( + ) (a) (b) ( ), ( ), ( ), ( ) 9 Qué número complejo está más cerca del orgen: -+ ó +? Solucón: -+ 0 Qué puntos del plano complejo están a una dstanca de dos undades del orgen? y del punto +? Solucón: { z C / z = },{ z C / z ( + ) = } Representa el conjunto de puntos determnado por las condcones: (a) z + = (b) z+ (c) z Solucón: (a) Crcunferenca de centro (, -) y rado (b) Círculo de centro (0, -) y rado junto con la crcunferenca de centro (0, -) y rado (c) Todos los números complejos menos los que se encuentran en el círculo de centro (0, ) y rado. Profesora: Elena Álvarez Sáz

5 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN BLOQUE Descrbe geométrcamente en el plano complejo las regones cuyos puntos satsfacen las sguentes ecuacones: (a) Re( z ) < (b) ( z) (e) z > () Solucón: z z+ (f) z 0< Re < (c) Im = 0 z z+ z= z (g) z z z z (j) z + z+ (k) (d) z z= = (h) ( ) Im z < z z+ (l) z( z+ ) = (a) y - - O x - b) y - - O x - c) Las rectas x=0, y=0 d) y=/ e) f) y - - O x Profesora: Elena Álvarez Sáz 5

6 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN BLOQUE g) Se trata de la medatrz del segmento PQ sendo P el afjo de z y Q el afjo de z. h) La regón comprendda entre las dos ramas de la hpérbola xy=. ) El exteror de la crcunferenca de centro (-5, 0) y rado j) Exteror de la elpse de centro (0,0) y semeje a= y b=, es decr, de la elpse k) La ecuacón: z z+ = es una hpérbola de focos F=, G=-. La regón comprendda entre las dos ramas de la hpérbola es: z z+ < El resto de puntos serán los que cumplan: x y + = ( ) Profesora: Elena Álvarez Sáz 6

7 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN BLOQUE z z+ > z z+ > z z+ < La regón z z+ > es de las dos zonas sombreadas en el gráfco sguente en la que se encuentra el punto P La regón z z+ < es de las dos zonas sombreadas en el gráfco sguente en la que se encuentra el punto P l) Los puntos reales y - Profesora: Elena Álvarez Sáz 7

8 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN BLOQUE Representa en el plano el conjunto A B C D : { C / } B z C z ( z) A= z z = C= z C / z { / arg 0} = = < < D= z C / z+ Solucón: Profesora: Elena Álvarez Sáz 8

9 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN BLOQUE Antes de realzar estos ejerccos debes leer y comprender los sguentes apartados: Interpretacón geométrca de la suma y el producto. Módulo y el argumento de un número complejo. La fórmula de Movre. Raíces enésmas de un número complejo y su representacón gráfca. La forma exponencal de un número complejo. La funcón exponencal compleja y sus propedades. Defncón de logartmo complejo. La fórmula de Euler. Cómo calcular una potenca con base y exponente números complejos. Interpretacón geométrca de la suma y el producto Elge tres puntos no alneados en el plano y consdera el trángulo de vértces los tres puntos. Calcula el transformado de este trángulo por la aplcacón f( z) z ( ) = + + sobre cada uno de sus vértces. Haz la representacón gráfca e ndca que transformacones (dlatacón, contraccón, rotacón, traslacón) has realzado. Solucón: Dlatacón () +Traslacón (+) Profesora: Elena Álvarez Sáz 9

10 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN BLOQUE 5 Consdera el rectángulo de vértces 0,, +,. Calcula el transformado de este rectángulo por la aplcacón f( z) ( ) = + z+ sobre cada uno de sus vértces. Haz la representacón gráfca e ndca que transformacones (dlatacón, contraccón, rotacón, traslacón) has realzado. Solucón: Gro ( / ) +Dlatacón ( ) +Traslacón () 6 Demostrar que s los puntos z, z, z son los vértces de un trángulo equlátero, entonces: + + = + + z z z z z z z z z Potencas. Raíces enésmas. 7 Escrbr en forma bnómca: Solucón: 9 8 Calcula en funcón de sen( ϕ ) y cos( ϕ ) (a) sen( ϕ ) (b) cos( ϕ ) (c) sen( ϕ ) (d) cos( ϕ ) Solucón: cos( ϕ) = cos ϕ senϕ sen( ϕ) = senϕ cosϕ ( ϕ) = ϕ ϕ ϕ+ ϕ sen( ) = cos sen cos sen cos cos 6 cos sen sen ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Profesora: Elena Álvarez Sáz 0

11 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN BLOQUE 9 Es certo que la parte real dew 5 + = es mayor que -0.5? + Solucón: Falso 0 Encontrar todas las solucones de la ecuacón z = z y representar tres de ellas. Cuántas hay? Solucón: Hay solucones dstntas (además de la trval) que se obtenen para los valores de k sguentes: Calcular: (a) z 0 k= 0 : z = k= : z = e k= : z = e 6 ( + )( ) = (b) + ( ) Escrbe en forma bnómca y exponencal el resultado. Solucón: (a) k 6 k + 6 z = = e k= 0,,,,,5 k (b) + *0* cos wo = e = e = + sen + 9 cos w = e = e = + sen w = e = e = e = e = = e = cos + sen Fallos habtuales: Consderar que ( )( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) + = ( + )( ) = + + ( ) En el conjunto de los números complejos hay n raíces n-ésmas de cualquer número complejo no nulo. En el caso de que se esté calculando: Profesora: Elena Álvarez Sáz

12 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN BLOQUE z = z k= 0,, arg( z ) + k Para k=0 se tene que una raíz es z pero hay dos más (las correspondentes a k= y a k=). De qué número es raíz cúbca +? De qué número es raíz décma? Solucón: Potencas complejas. Logartmo complejo. Calcular: (a) z (d) z + = log = + (b) z = (c) z= ( + ) (e) log + + Solucón: (a) (b) z (c) e (e) z = log = + k k Z + κ + κ + κ e ( + ) e e = = = = + multplcando ( )( + ) ln + por el conjugado κ cos ln sen ln + κ + + con k Z (d) e con k Z ( k)( k) ( k) ( k) ( ln 8) + ( + k ) ln ln ln ln k, k Z Demostrar que los afjos de los valores de ( ) están en la msma línea recta 5 De entre todas las raíces n-ésmas del complejo +. Hay alguna raíz cuyo logartmo prncpal sea real? Solucón: No exste Profesora: Elena Álvarez Sáz

13 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN BLOQUE 6 ω Dado a+ b= log ω sendo ω tal que + es real y el módulo de ω es la undad. Hallar a + b. Observacón: Puede ser nteresante consderar la expresón de ω de la forma: al tener módulo uno quedará perfectamente determnado s se conoce arg( ) ω = t. t ω= e = cost+ sent ya que 7 (a) Escrbr el valor de cos( x ) en funcón de sen ( x ) y cos( x ) (b) Calcular el valor prncpal del complejo z=a+b donde A ( ) x= argumento +. = ( ), B cos( x) = sendo = (b) z= A+ B= e Solucón: (a) cos( x) cos x cos( x) sen ( x) Profesora: Elena Álvarez Sáz

14 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN BLOQUE Antes de realzar estos ejerccos debes leer y comprender los sguentes apartados: Extensón al plano complejo de las funcones trgonométrcas e hperbólcas. Polnomos en C : Raíz de un polnomo, coefcente de un polnomo, factorzacón, regla de Ruffn. Regón acotada en C Propedades del módulo. Desgualdad trangular y desgualdad trangular nversa. Funcones trgonométrca y funcones hperbólcas 8 Calcular la parte real y la parte magnara del número complejo z= sen + Es la parte real mayor que? Justfcar la respuesta. Solucón: e + e 9 Determnar todos los números z complejos que verfquen que senz= (b) g( z) (a) cot = Solucón: (a) z= + κ ln( ) k Z z= + κ ln( + ) k Z (b) log z= + k+, k Z 0 Calcular la parte real de w log( sen( ) ) =. Profesora: Elena Álvarez Sáz

15 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN BLOQUE e e Solucón: ln = Ln( Sh) Representar las gráfcas de las funcones Shx y Chx sendo x real. Solucón: En azul aparece la gráfca del coseno hperbólco y en rojo la del seno hperbólco. (a) Resolver la sguente ecuacón Sh( z) (b) Resolver la ecuacón: senz= sendo z C = sendo z C z= + k ± k Z Solucón: (b) ln( ) Polnomos Escrbr una ecuacón de segundo grado cuyas raíces sean + y -. Recuerda: S x, x son las raíces de una ecuacón de segundo grado ax + bx+ c= 0 entonces se cumple: x +x =(-b/a); x *x =(c/a). Solucón: x -x+8=0 z z + + = 0 Resolver ( ) Profesora: Elena Álvarez Sáz 5

16 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN BLOQUE Solucón: z=,, +, 5 Demostrar que s zo es una raíz compleja no real de un polnomo con coefcentes reales entonces su conjugada, z o, tambén es raíz del polnomo. p x = x x + 5x 7x 6 un polnomo de manera que b es una raíz. Factorzar el 6 Sea ( ) polnomo. Solucón:, -,, -. 7 Determnar a y b números reales para que ( ) Solucón: a=-, b= p x = x + x + ax+ b tenga como raíz +. Solucón: Conjuntos acotados 8 Comprobar que s z z entonces se cumple: z z z + z z z 9 Acotar, s es posble, el sguente conjunto: z A= / z C, z = z + z( ) Solucón: El conjunto A está acotado por estar contendo en el círculo undad centrado en el orgen. 0 5 Dbujar la regón del plano complejo defnda por la expresón A= z C / z. Calcular en forma bnómca y representar las raíces cúbcas de. Cuáles de estas raíces están en la regón A? Solucón: El conjunto A es el nteror de la crcunferenca de centro (0, -) y de son los números complejos: rado 5/. Las raíces cúbcas Profesora: Elena Álvarez Sáz 6

17 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN BLOQUE zo = + z = + z = Acotar el conjunto de números complejos sguente Solucón: Una cota puede ser: 6e ( z+ ) + e A= / z =, a = z az+ a Determnar s el A= { z / z+ = z + } C está acotado Solucón: No está acotado. Profesora: Elena Álvarez Sáz 7