CAPÍTULO 5 MÉTODO DE LA FUNCIÓN ELÍPTICA DE JACOBI

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1 CAPÍTULO 5: MÉTODO DE LA FUNCIÓN ELÍPTICA DE JACOBI 57 CAPÍTULO 5 MÉTODO DE LA FUNCIÓN ELÍPTICA DE JACOBI 5. Resumen Se busca solucón a las ecuacones acopladas que descrben los perfles de onda medante el método de la funcón elíptca Jacobana, el cual nos permte encontrar una solucón más general que en los casos anterores. Esta vez en térmnos de funcones elíptcas Jacobanas Snodales y Cnodales, ya que al usar este método se generalzan las funcones hperbólcas y trgonométrcas que fueron solucón de los métodos anterores. 5. Objetvo Partmos de la ecuacón dferencal (.5), la cual ncluye de forma ntegrada a las dos ecuacones acopladas, medante el uso de la proporcón de los modos normales y que han sdo resueltas por dos métodos dstntos en los capítulos anterores. Esta expresón que a contnuacón rescrbmos posee la forma: d ρ d 4 βρ ρ 0 η + + =. (5.) Se requere nuevamente resolver esta ecuacón dferencal a fn de encontrar una solucón más general medante el método de la funcón elíptca de Jacob, que se explcará a contnuacón y que tene la ventaja de nvolucrar tambén al módulo de las funcones elíptcas, que srve como un parámetro matemátco que puede conducr a los casos especales de funcones trgonométrcas e hperbólcas.

2 CAPÍTULO 5: MÉTODO DE LA FUNCIÓN ELÍPTICA DE JACOBI Generaldades sobre el método de la funcón elíptca de Jacob Este método se emplea con el fn de encontrar solucones a funcones de onda peródcas a ecuacones de evolucón no lneales. En este caso se emplean las funcones elíptcas Jacobanas Snodal y Cnodal o llamadas tambén funcones elíptcas sn y cn de Jacob (B). Tanto el método de la funcón sn como el de la funcón cn, consttuyen una generalzacón de los métodos de funcones tanh y sech respectvamente, sendo el prmero de estos métodos propuesto por Lu et al. [] y el segundo, propuesto posterormente por Fu et al. [], quen encontró además otros métodos que hacen uso de las funcones elíptcas Jacobanas dn y cs. El método que se usará para las ecuacones que nos nteresa resolver, busca encontrar solucones que representen ondas soltaras y se puede descrbr en este caso de la manera que a contnuacón descrbmos []: S es posble, se procede a ntegrar la ecuacón dferencal ordnara, obtenéndose una o más constantes de ntegracón. Se toma un Ansatz, lo cual corresponde a un polnomo en térmnos de las funcones sn : M U( η) = a sn ( kη m). (5.) = 0 Se toman las dervadas correspondentes de la funcón polnomal propuesta al prncpo, se susttuyen en la ecuacón dferencal que se propone resolver, quedando como polnomo de funcones sn. Esta ecuacón se puede escrbr para que se tengan coefcentes dependentes de las constantes a, multplcando cada uno a un sn ( kη / m) a una potenca específca. Estos coefcentes son gualados a cero, lo que lleva a un sstema de ecuacones algebracas que contene a las constantes: a, k, c, m y en caso de haberse llevado a cabo la ntegracón,

3 CAPÍTULO 5: MÉTODO DE LA FUNCIÓN ELÍPTICA DE JACOBI 59 tambén a las constantes que resultaron de ella, así como posbles coefcentes de constantes arbtraras que hayan estado presentes en la ecuacón dferencal orgnal. Sólo en el caso de haber una solucón real no trval, la ecuacón dferencal orgnal tendrá una forma como la de la ecuacón (5.). 5.4 Resolucón medante el método de la funcón elíptca de Jacob Proponemos una solucón de la forma: ρ η ( ) sn ( η ) = A m + B. (5.) Cuyas dervadas son las sguentes (C8-C40): dρ ρ& ( η) = = Asn( η m)cn( η m)dn( η m). (5.4) dη ρ && η η η η η η η ( ) = A cn ( m )dn ( m ) sn ( m )dn ( m ) m sn ( m )cn ( m ). (5.5) Usando algunas dentdades funconales de las funcones elíptcas de Jacob (C6) y (C9), esta últma ecuacón se puede escrbr como: ρ&& η Am η m Am η m A. (5.6) 4 ( ) = 6 sn ( ) 4 ( + )sn ( ) + De esta forma se tene escrta la expresón en térmnos de senos elíptcos Jacobanos a dstntas potencas sn nvolucrar otras funcones elíptcas de Jacob. Susttuyendo los valores de las dervadas en la ecuacón (5.), hacendo algunos desarrollos algebracos a partr de susttucones y ordenando las funcones sn( η m) por potencas, se obtene: L 4 (6Am A )sn ( η m) 4 AB 4 Am ( ) βa sn ( η m) 4 L + (A+ β B+ B ) = 0. (5.7)

4 CAPÍTULO 5: MÉTODO DE LA FUNCIÓN ELÍPTICA DE JACOBI 60 Que tene la forma: 4 PAB (, )sn ( η m) + QAB (, )sn ( η m) + RAB (, ) = 0. (5.8) Con: PAB (, ) = 6Am + A = 0. (5.9) De PAB (, ) obtenemos: QAB (, ) = 4 AB 4 Am ( + ) + β A= 0. (5.0) 4 4 RAB (, ) = B + β B+ A= 0. (5.) A partr de QAB, (, ) encontramos: A = m. (5.). (5.) B = m + β Fnalmente, con los valores anterores y RAB (, ), se consgue el valor de: 4 β =± m m +. (5.4) Habendo encontrado los valores de A, B y β, es posble obtener una expresón para ρ, susttuyendo estos valores en la expresón (5.) propuesta anterormente. Resulta entonces: ρ η 4 ( ) = m sn ( η m) + m + m m + m. (5.5) Y su armónco, posee como solucón, la expresón que se encuentra dentro del paréntess de la ecuacón anteror (5.5), lo que equvale a un múltplo de, de esta últma ecuacón.

5 CAPÍTULO 5: MÉTODO DE LA FUNCIÓN ELÍPTICA DE JACOBI 6 La expresón puede ser escrta tambén en térmnos del parámetro de desplazamento de fase, lo que nos da ventaja para analzar los dstntos casos como se ha hecho anterormente. Con ayuda de relacones funconales (C6), llegamos a: ρ( η) = m cn ( η m) m β +. (5.6) En donde el valor del desplazamento de fase está dado por la ecuacón (5.4). A contnuacón se muestra el comportamento de las gráfcas de la ecuacón (5.5) para dos casos dstntos del módulo de la funcón elíptca de Jacob, ambos con un desplazamento de fase β = y valores alrededor de los números extremos. ρ x x0-5 ρ x x η η Fgura 5.: Gráfca de ρ para m = 0.99 Fgura 5.: Gráfca de ρ para m = 0.0 Estas gráfcas muestran dos casos partculares de módulo de la funcón elíptca de Jacob, que están cercanos a los casos extremos que corresponden a fuerte y débl localzacones. Cuando el módulo de la funcón elíptca Jacobana tende a cero, se presenta un comportamento trgonométrco, y cuando el valor del módulo tende a su máxmo valor, que corresponde a la undad, se converte en comportamento hperbólco.

6 CAPÍTULO 5: MÉTODO DE LA FUNCIÓN ELÍPTICA DE JACOBI Análss de los dstntos casos de localzacón de las ampltudes 5.5. Caso de fuerte localzacón para el armónco fundamental Se desea ahora encontrar el comportamento de ρ ( ) η para el caso de fuerte localzacón con el fn de encontrar la solucón de una onda soltara []. Para esta stuacón, se toma el límte cuando el módulo de la funcón ampltud seno tende a la undad ( m ) de la ecuacón (5.5): 4 ( m )( η m ) ( m m m ) lm ρ( η) = lm lmsn ( ) + lm + + m m m m m. (5.7) Llevando a cabo los límtes (Ver tabla C del apéndce C), nos conduce a: lm ρ( η) = ( tanh η + m ). (5.8) m Que se puede smplfcar dependendo de s β es postvo o negatvo. De la ecuacón (5.4) se extrae el hecho de que los valores de desplazamento de fase para este caso partcular son β =± Caso de débl localzacón para el armónco fundamental En forma smlar, s se desea obtener el comportamento de la funcón de la ampltud del prmer modo: ρ ( ) η para el caso de débl localzacón, se toma el límte a cero del módulo de la funcón seno elíptco Jacobano ( m 0), lo que da por resultado: lm ρ( η) = ( m ). (5.9) m 0 De manera análoga, se puede llegar a dos solucones dstntas dependendo del sgno de β. Estos resultados se encuentran resumdos en la tabla 5. de la sguente págna.

7 CAPÍTULO 5: MÉTODO DE LA FUNCIÓN ELÍPTICA DE JACOBI Solucones de la ampltud de onda del prmer armónco según el sgno de β Se pueden obtener dstntos resultados según sea el sgno del desplazamento de fase, el cual se encuentra mplícto en la ecuacón (5.5). Mostramos en seguda los resultados: Tabla 5.: Casos límte de la ampltud del prmer armónco. Desplazamento de fase Fuerte localzacón m Débl localzacón m 0 β > 0 ρ η = ρ ( η ) = 0 ( ) sech η β < 0 ρ( η) sech = η ρ( η ) = Resumen de los casos especales de localzacón según el módulo de la funcón Jacobana Casos de fuerte y débl localzacones para la ampltud del segundo armónco Como ha sdo el caso en los resultados de los dos anterores capítulos, para la ampltud del segundo armónco se presentan stuacones que sólo dferen en la proporcón de un múltplo de la raíz de dos.

8 CAPÍTULO 5: MÉTODO DE LA FUNCIÓN ELÍPTICA DE JACOBI Casos extremos para fuerte localzacón según el sgno del desplazamento de fase 5.6. Casos extremos para fuerte localzacón del prmer armónco De manera smlar que los resultados de perfles de onda que fueron soluconados medante energías, se procede a consderar los dstntos casos según el sgno de β, los que se muestran en la tabla de abajo. Tabla 5.: Casos extremos para una fuerte localzacón atendendo a β. ρ ( η = 0) ρ ( η ± ) η( ρ = 0) β > 0 ρ ( η ) = ρ( η ) = η = ln + β < 0 ρ( η ) = ρ ( η ) = 0 η =± Resumen de los perfles de onda del prmer armónco según el sgno de desgualdad de fase Casos extremos para fuerte localzacón del segundo armónco. Smlarmente a los demás casos de la ampltud del segundo armónco, tenendo las solucones para la ampltud del armónco fundamental, sólo basta multplcar la ampltud ρ por con el fn de obtener las solucones de ρ.

9 CAPÍTULO 5: MÉTODO DE LA FUNCIÓN ELÍPTICA DE JACOBI Conclusones Se encontró solucón en térmnos de funcones elíptcas de Jacob y el módulo de éstas, a la ecuacón (5.) que nvolucra las dos ecuacones acopladas de las ampltudes de los armóncos, la cual cuenta con la ventaja de poder generalzar tanto funcones de tpo armónco, que se expresan comúnmente en térmnos de funcones senodales y cosenodales como funcones de tpo hperbólco que resultan de nterés por ser funcones que pueden representar el comportamento de soltones. Esto se puede notar en las gráfcas 5. y 5., en las que un módulo de la funcón elíptca de Jacob m 0 conduce a funcones trgonométrcas y a medda que m se obtenen solucones de tpo hperbólco. Se obtuveron soltones a partr de la ecuacón antes menconada, pues se encontraron solucones localzadas y acotadas tales que a medda que la coordenada transversal normalzada tende a nfnto (postvo y negatvo), la funcón de la ampltud tende a un valor constante, stuacón presentada anterormente en el caso de solucón medante ntegrales y que mostramos en la tabla 5. referente a los casos extremos para fuerte localzacón. Este es el caso de fuerte localzacón ( m ) con desplazamento de fase tanto postvo como negatvo, exceptuando el valor β = 0 por ser un caso fuera de consderacón, según se vo en el capítulo cuando se abordó la solucón por medo de ntegrales. Se encontraron valores extremos y cotas para este caso, msmos que se encuentran resumdos en la tabla 5. de este capítulo. En las conclusones fnales se mostrarán las smltudes entre los dstntos métodos, dónde se hará presente la concdenca entre las solucones de soltones encontradas en este capítulo y el tercero.