Herramientas Matemáticas para la localización espacial. Prof. Cecilia García

Transcripción

1 Herramentas Matemátcas para la localzacón espacal

2 Contendo I. Justfcacón 2. Representacón de la poscón 2. Coord. Cartesanas 2.2 Coord. Polares y Clíndrcas 2.3 Coord. Esfércas 3. Representacón de la orentacón 3. Matrces de Rotacón en 2D 3.. Partculardades de R 3.2 Matrces de Rotacón en 3D 3.2. Composcones de rotacones. Angulos de Euler. Angulos de Euler ZXZ (33).2 Angulos de Euler XYZ - Roll, Ptch, Yaw

3 5. Par de Rotacón 6. Cuaternos Contendo II 6. Operacones Algebraca 6.2 Utlzacón de los cuaternos 7. Matrces de Transformacón Homogénea 7. Traslacón 7.2 Rotacón 7.3 Traslacón + Rotacón 7.3. Rotacón seguda de Traslacón Traslacón seguda de Rotacón

4 Contendo II 7. Varante en la notacón 7.5 Gráfcos de Transformacón

5 . Justfcacón Manpulacón de pezas Localzacón del extremo y de la peza Descrpcón matemátca de la localzacón

6 2. Representacón de la poscón Vector de poscón 2D Cartesanas y polares 3D Cartesanas, clíndrca y esfercas

7 2. Representacón de la poscón (cont.) 2. Coord. Cartesanas Ejes perpendculares con orgen defndo 2D OY OX 3D OX OY OZ vector p(x,y) vector p(x,y,z) Coordenadas cartesanas Coordenadas cartesanas

8 2. Representacón de la poscón (cont.) 2.2 Coord. Polares y Clíndrcas 2D Coordenadas POLARES 3D Coordenadas CILINDRICAS Coordenadas POLARES r: Dstanca del el orgen al punto θ : Ángulo entre el vector p y el eje OX z Coordenadas CILÍNDRICAS : Proyeccón del vector p sobre el eje OZ

9 2. Representacón de la poscón (cont.) 2.3 Coord. Esfércas vector p( r φ θ ) r θ φ : Dstanca desde el orgen al extremo del vector p : Angulo formado por la proyeccón de p sobre el plano OXY con el eje OX : Angulo formado por el vector p con el eje OZ

10 3. Representacón de la orentacón 3. Matrces de Rotacón en 2D El punto p se puede descrbr en el sstema OXY o en el sstema OUV v u y x p p p p R u x u x u x u x j j j j R

11 3. Representacón de la orentacón (cont.) 3.. Partculardades de R R Matrz de rotacón o Matrz de cosenos drectores R es ortonormal T R R R es una matrz columna α R I

12 3. Representacón de la orentacón (cont.) 3.2 Matrces de Rotacón en 3D El punto p se puede descrbr en el sstema OXYZ o en el sstema OUVW Las propedades de R vstas para 2D se conservan en 3D

13 3. Representacón de la orentacón (cont.) 3.2 Matrces de Rotacón en 3D (cont.)

14 3. Representacón de la orentacón (cont.) 3.2 Matrces de Rotacón en 3D (cont.) R ( x, α ), R( y, φ), R( z, θ ) Matrces BASICAS de rotacón

15 3. Representacón de la orentacón (cont.) 3.2 Matrces de Rotacón en 3D (cont.) 3.2. Composcones de rotacones Las matrces de rotacón pueden componerse para expresar la aplcacón contnua de varas rotacones: Rotacón α en OX Rotacón Φ en OY Rotacón θ en OZ

16 . Angulos de Euler Defncón: Todo sstema OUVW móvl, puede defnrse con respecto al sstema OXYZ nercal a través de tres ángulos Φ, θ, ψ, denomnados ángulos de Euler.. Angulos de Euler ZXZ (33) Es una de las representacones más habtuales entre las que realzan los gros sobre ejes prevamente grados. Se le suele asocar con los movmentos báscos de un gróscopo. S se parte de los sstemas OXYZ y OUVW, ncalmente concdentes, se puede colocar al sstema OUVW en cualquer orentacón sguendo los sguentes pasos.

17 . Angulos de Euler ZXZ (33) (cont.). Grar OUVW un ángulo Φ con respecto al eje OZ OU V W. 2. Grar OU V W un ángulo θ con respecto al eje OU, convrténdose así en el OU V W. 3. Grar el sstema OU V W un ángulo ψ con respecto al eje OW convrténdose fnalmente en el OU V W.

18 .2 Angulos de Euler XYZ - Roll, Ptch, Yaw Se trata de la representacón utlzada generalmente en aeronáutca. Es tambén la más habtual de entre las que se aplcan a los gros sobre los ejes del sstema fjo.. Grar el sstema OUVW un ángulo ψ con respecto al eje OX. Es el denomnado Yaw o guñada. 2. Grar el sstema OUVW un ángulo θ con respecto al eje OY. Es el denomnado Ptch o cabeceo. 3. Grar el sstema OUVW un ángulo Φ con respecto al eje OZ. Es el denomnado Roll o alabeo.

19 5. Par de Rotacón Defncón: La representacón de la orentacón de un sstema OUVW con respecto al sstema de referenca OXYZ tambén puede realzarse medante la defncón de un vector y un ángulo: k [ k k k ] θ x y z tal que el sstema OUVW corresponde al sstema OXYZ grado un ángulo θ sobre el eje k. El eje k ha de pasar por el orgen O de ambos sstemas. Al par (k, θ) se le denomna par de rotacón y es únco. Rot ( k, θ ) p p cosθ ( k p) snθ + ( k p)( cosθ )

20 6. Cuaternos Sea C el conjunto de números complejos tal que: { a + b / a, b R} El conjunto R, C, Q forman un campo. C 2 Defncón: Un campo F consste de un conjunto con dos operacones (suma y producto) en el que se demuestran las propedades de cerradura, conmutatvdad, neutro, asocatvdad, nverso y dstrbutvdad. Defncón: Los cuaternos se defnen como el conjunto de números de la forma: H I 2 { a + bi + cj + dk / a, b, c, d R} J 2 K 2 IJK

21 6. Cuaternos (cont.) K J I S Se defne el cuaterno: d a c b c b d a h H h / Este conjunto de cuaternos cumple todas las propedades de un campo excepto al conmutatvdad. excepto al conmutatvdad. Por lo tanto recbe el nombre de anllo. Propedades: h h h hh hh dk cj bi a h d c b a h

22 6. Cuaternos (cont.) En robótca, los cuaternos se utlzan para la localzacón espacal de un cuerpo sóldo aunque con un lgero cambo de notacón: { q q q q q e + q + q j + q k} Q(, v) Q 2 3 / 2 3 s s: representa la parte escalar v: representa la parte vectoral 6. Operacones Algebracas 6.. Ley de composcón nterna o e j k e e j k -e k -j j j -k -e k k J - -e

23 6. Operacones Algebracas (cont.) 6..2 Productos de cuaternos NO es conmutatvo 6..3 Suma de cuaternos 6.. Producto escalar

24 6..5 Norma e Inverso Número real Norma: Q q + q + q2 + q 3 Inverso: 6.2 Utlzacón de los cuaternos 6.2. Gro θº sobre un eje k Q Rot ( ) ( ) k, θ cosθ, k snθ De esta asocacón arbtrara y gracas a las propedades de los cuaternos, se obtene una mportante herramenta analítca para el tratamento de gros y cambos de orentacón. 2 2

25 6.2.2 Rotacón del cuaterno Q a un vector r * (, ) Q Q r Composcón de rotacones Q 3 Q Q2 El resultado de rotar según el cuaterno Q, para posterormente rotar según Q 2, es el msmo que el de rotar según Q 3. Es mportante tener en cuenta que el producto de cuaternos no es conmutatvo. Q Q2 Q2 Q

26 6.2. Rotacón y traslacón El resultado de aplcar una traslacón p al vector r seguda de una rotacón Q al sstema OXYZ, es un nuevo sstema OUVW, tal que las coordenadas de un vector r en el sstema OXYZ, conocdas en OUVW, serán: (, r ) Q (, r ) Q * + (, p) XYZ UVW S se mantene el sstema OXYZ fjo y se traslada el vector r según p y luego se le rota según Q se obtendrá el vector r de coordenadas: ( ' ) *, r Q (, r + p) Q

27 7. Matrces de Transformacón Homogénea Nnguno de los métodos anterores por sí solo permte una representacón conjunta de la poscón y la orentacón (localzacón). Para solventar este problema se ntrodujeron las denomnadas coordenadas homogéneas Defncón de Coordenadas Homogéneas. La representacón medante coordenadas homogéneas de la localzacón de sóldos en un espaco n-dmensonal se realza a través de coordenadas de un espaco (n+)-dmensonal coordenadas homogéneas Aumentan la dmensón en p [ x y z] [ w w w w] p x y z w tene un valor arbtraro y representa un factor de escala

28 De forma general, un vector p a+bj+ck, donde, j, k son los versores del sstema de referenca OXYZ, se representa en coordenadas homogéneas medante el vector columna: Defncón de Matrz Homogénea. Se defne como matrz de transformacón homogénea T a una matrz de dmensón x que representa la transformacón de un vector de coordenadas homogéneas de un sstema de coordenadas a otro: En robótca nteresa conocer el valor de R 3x3 y de p 3x, consderándose las componentes de f nulas y la de w.

29 En robótca, la matrz T tene la forma: T representa la orentacón y poscón de un sstema O UVW rotado y trasladado con respecto al sstema de referenca OXYZ. mo.delgado.r@gmal.com Dado un vector r [r u, r v, r w ] en el sstema OUVW, se puede conocer su localzacón ( r [r x, r y, r z ] ) en el sstema OXYZ a través de T:

30 Por lo tanto, una matrz de transformacón homogénea se puede aplcar para:. Representar la poscón y orentacón de un sstema grado y trasladado O UVW con respecto a un sstema fjo de referenca OXYZ, que es lo msmo que representar una rotacón y traslacón realzada sobre un sstema de referenca. 2. Transformar un vector expresado en coordenadas con respecto a un sstema O UVW, a su expresón en coordenadas del sstema de referenca OXYZ. 3. Rotar y trasladar un vector con respecto a un sstema de referenca fjo OXYZ

31 7. Traslacón Supóngase que el sstema O UVW úncamente se encuentra trasladado un vector p con respecto al sstema OXYZ. k p j p p z y x + + p La matrz T entonces corresponderá a una matrz homogénea de traslacón: p z y x p p p T Matrz Básca de Traslacón

32 Un vector cualquera r, representado en el sstema O UVW por r uvw, tendrá como componentes del vector con respecto al sstema OXYZ: w z v y u x w v u z y x r p r p r p r r r p p p T Y a su vez, un vector r desplazado según T tendrá como componentes Y a su vez, un vector r xyz desplazado según T tendrá como componentes r xyz : z z y y x x z y x z y x r p r p r p r r r p p p T

33 7.2 Rotacón Supóngase que el sstema O UVW úncamente se encuentra rotado un angulo con respecto al sstema OXYZ. Rotacón de α respecto a OX Rotacón de Φ respecto a OY Rotacón de θ respecto a OZ Matrz Básca de Rotacón

34 Dado un vector r [r u, r v, r w ] en el sstema OUVW, se puede conocer su localzacón ( r [r x, r y, r z ] ) en el sstema OXYZ a través de T: 7.3 Traslacón + Rotacón La prncpal ventaja de las matrces homogénea resde en su capacdad de representacón conjunta de poscón y orentacón. Para ello se utlza la matrz de rotacón R 3x3 y el vector de traslacón p 3x en una matrz de transformacón homogénea al msmo tempo. Es por tanto la aplcacón conjunta de lo vsto en los dos apartados anterores.

35 La rotacón y traslacón son operacones no conmutatvas por lo que habrá que tener en cuenta el orden en que se realzan. Se parte de un sstema OUVW concdente con OXYZ al que se va a aplcar una traslacón según un vector p x,y,z y una rotacón de 8 alrededor del eje OZ. S prmero se rota y después se traslada se obtene un sstema fnal O U V W. S prmero se traslada y después se rota se obtene un sstema fnal O U V W

36 7.3. Rotacón seguda de Traslacón

37 7.3. Traslacón seguda de Rotacón

38 7. Varante en la notacón Donde n,o,a es una terna ortonormal que representa la orentacón y p es un vector que representa la poscón.

39 7.5 Gráfcos de transformacón Es frecuente encontrar stuacones en las que la localzacón espacal de un objeto o de su sstema de referenca asocado, pueda realzarse a través de la composcón de dversas transformacones dstntas.

40 T T T T T M R E M O R E H O H

41 Aplcacón a la Robótca

42 Contendo. Justfcacón 2. El problema cnemátco drecto 2. Método Geométrco 2.2 Matrces de Transformacón homogénea 3. Método de Denavt Hartenberg (DH)

43 . Justfcacón En esta segunda parte se aplcarán las herramentas matemátcas anterores al área de la robótca. Tenemos dos objetvos: Objetvo Obtener un modelo geométrco de la estructura que permta relaconar los grados de lbertad (las varables/coordenadas generalzadas) con las coordenadas cartesanas de todos y cada uno de los puntos que consttuyen el robot. Cnemátca drecta Solucón únca para la mayor parte de los robots serales Objetvo 2 Posconar al robot. Esto es dadas las poscones cartesanas como valores de entrada hallar los valores de las coordenadas generalzadas. Cnemátca nversa Puede haber,, 2 o nfntas solucones.

44 Defncón La cnemátca del robot estuda el movmento del msmo con respecto a un sstema de referenca. La cnemátca se nteresa por la descrpcón analítca del movmento espacal del robot como una funcón del tempo, y en partcular por las relacones entre la poscón y orentacón del extremo fnal del robot y los valores que toman sus coordenadas artculares.

45 2. El Problema Cnemátco Drecto La cnemátca drecta consste en obtener la poscón en el espaco de la estructura a partr de los valores de las varables generalzadas (q). Éstas están asocadas a las artculacones y defnen sus propedades de movmento, por lo que para las artculacones de revolucón la varable generalzada será un ángulo, y para las prsmátcas un desplazamento.

46 2. Método Geométrco Obtenemos la poscón y orentacón del extremo del robot apoyándonos en las relacones geométrcas: No es un método sstemátco. Es usado cuando tenemos pocos grados de lbertad. ( ) cos( ) ( ) sn ( ) x l cos q + l q + q 2 2 y l sn q + l q + q 2 2

47 2.2 Matrces de Transformacón homogénea A cada eslabón se le asoca un sstema de referenca soldaro. Es posble representar las traslacones y rotacones relatvas entre los dstntos eslabones. La matrz - A representa la poscón y orentacón relatva entre los sstemas asocados a dos eslabones consecutvos del robot. Representacón total o parcal de la cadena cnemátca del robot: A 3 A A 2 2 A 3 T A 6 A A 2 2 A 3 3 A A 5 5 A 6 Exsten métodos sstemátcos para stuar los sstemas de coordenadas asocados a cada eslabón y obtener la cadena cnemátca del robot. Método de Denavt-Hartenberg (D-H)

48 3. Método de Denavt - Hartenberg Permte el paso de un eslabón al sguente medante transformacones báscas, que dependen exclusvamente de las característcas constructvas del robot. Las transformacones báscas que relaconan el sstema de referenca del elemento con el sstema del elemento son:. Rotacón θ alrededor del eje z - 2. Traslacón d a lo largo del eje z - 3. Traslacón a a lo largo del eje x. Rotacón α alrededor del eje x ( z, θ ) (,, d ) ( a,,) ( x, α ) A T T T T A cθ cα sθ sα sθ acθ sθ cα cθ sα cθ asθ sα cα d

49 ) Numerar los eslabones comenzando con (prmer eslabón móvl de la cadena) y acabando con n (últmo eslabón móvl). Se numerará como eslabón a la base fja del robot. 2) Numerar cada artculacón comenzando por (la correspondente al prmer grado de lbertad) y acabando en n. 3) Localzar el eje de cada artculacón. S ésta es rotatva, el eje será su propo eje de gro. S es prsmátca, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamento. ) Para de a n- stuar el eje z sobre el eje de la artculacón +. 5) Stuar el orgen del sstema de la base {S } en cualquer punto del eje z. Los ejes x e y se stuarán de modo que formen un sstema dextrógro con z. 6) Para de a n-, stuar el sstema {S } (soldaro al eslabón ) en la nterseccón del eje z con la línea normal común a z - y z. S ambos ejes se cortasen se stuaría {S } en el punto de corte. S fuesen paralelos {S } se stuaría en la artculacón +.

50 7) Para de a n-, stuar x en la línea normal común a z - y z. 8) Para de a n-, stuar y de modo que forme un sstema dextrógro con x y z. 9) Stuar el sstema {S n } en el extremo del robot de modo que z n concda con la dreccón de z n- y x n sea normal a z n- y z n. ) Obtener θ como el ángulo que hay que grar en torno a z - para que x - y x queden paralelos. ) Obtener d como la dstanca, medda a lo largo de z -, que habría que desplazar {S - } para que x y x - quedasen alneados. 2) Obtener a como la dstanca medda a lo largo de x, que ahora concdría con x -, que habría que desplazar el nuevo {S - } para que su orgen concdese con {S }. 3) Obtener α como el ángulo que habría que grar en torno a x, que ahora concdría con x -, para que el nuevo {S - } concdese totalmente con {S }.

51 ) Obtener las matrces de transformacón - A. 5) Obtener la matrz de transformacón que relacona el sstema de la base con el del extremo del robot: T A A 2... n- A n 6) La matrz T defne la orentacón (submatrz de rotacón) y poscón (submatrz de traslacón) del extremo referdas a la base en funcón de las n coordenadas artculares.

52 DH-) Numerar los eslabones comenzando con (prmer eslabón móvl de la cadena) y acabando con n (últmo eslabón móvl). Se numerará como eslabón a la base fja del robot. 2 3

53 DH-2) Numerar cada artculacón comenzando por (la correspondente al prmer grado de lbertad) y acabando en n. d θ θ d 2 El robot tene d.o.f. por lo tanto n

54 DH-3) Localzar el eje de cada artculacón. S ésta es rotatva, el eje será su propo eje de gro. S es prsmátca, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamento d 3 l 2 3 d 2 θ θ l

55 DH-) Para de a n- stuar el eje z sobre el eje de la artculacón +. d 3 l 2 3 z 2 θ z 3 θ d 2 l z z 2 3

56 DH-5) Stuar el orgen del sstema de la base {S } en cualquer punto del eje z. Los ejes x e y se stuarán de modo que formen un sstema dextrógro con z. d 3 l 2 3 z 2 θ z 3 θ d 2 l z z y 2 3 x

57 DH-6) Para de a n-, stuar el sstema {S } (soldaro al eslabón ) en la nterseccón del eje z con la línea normal común a z - y z. S ambos ejes se cortasen se stuaría {S } en el punto de corte. S fuesen paralelos {S } se stuaría en la artculacón +. d 3 l 2 3 z 2 θ z 3 θ d 2 l z z y 2 3 x

58 DH-7) Para de a n-, stuar x en la línea normal común a z - y z. d 3 l 2 3 x 2 x 3 z 2 θ z 3 θ d 2 l z z y x 2 3 x

59 DH-8) Para de a n-, stuar y de modo que forme un sstema dextrógro con x y z. y 2 d 3 l 2 3 x 2 y 3 x 3 z 2 θ z 3 θ d 2 l z z y y x 2 3 x

60 DH-9) Stuar el sstema {S n } en el extremo del robot de modo que z n concda con la dreccón de z n- y x n sea normal a z n- y z n. y 2 d 3 l 2 3 x 2 y 3 x 3 z 2 θ z 3 θ d 2 y x z l z z y y x 2 3 x

61 DH-) Obtener θ como el ángulo que hay que grar en torno a z - para que x - queden paralelos. x y y 2 d 3 l x y 3 x 3 z 2 θ z 3 θ d 2 y x z z y l z y x x

62 DH-) Obtener d como la dstanca, medda a lo largo de z -, que habría que desplazar {S - } para que x y x - quedasen alneados. y 2 d 3 l x y 3 x 3 z 2 θ z 3 θ d 2 y x z z y l z y x x

63 DH-2) Obtener a como la dstanca medda a lo largo de x, que ahora concdría con x -, que habría que desplazar el nuevo {S - } para que su orgen concdese con {S }. y 2 d 3 l x y 3 x 3 z 2 θ z 3 θ d 2 y x z z y l z y x x

64 DH-3) Obtener α como el ángulo que habría que grar en torno a x, que ahora concdría con x -, para que el nuevo {S - } concdese totalmente con {S }. y 2 d 3 l x y 3 x 3 z 2 θ z 3 θ d 2 y x z z y l z y x x

65 DH-) Obtener las matrces de transformacón - A. 2 2 d A l Cq Sq Sq Cq A d C S S a C S C C S C a S S S C C A α α θ θ α θ α θ θ θ α θ α θ 2 d l d A 3 l Cq Sq Sq Cq A

66 DH-5) Obtener la matrz de transformacón que relacona el sstema de la base con el del extremo del robot: T A A 2... n- A n l Cq Sq Sq Cq A d C S S a C S C C S C a S S S C C A α α θ θ α θ α θ θ θ α θ α θ A A A A T ( ) + l d Cq Cq Sq Sq Cq Sq 2 2 d A d A 3 l Cq Sq Sq Cq A ( ) ( ) l d Cq Sq l d Sq Sq Sq Cq Cq Cq l d Cq Cq Sq Sq Cq Sq T

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