CURSO INTERNACIONAL: CONSTRUCCIÓN DE ESCENARIOS ECONÓMICOS Y ECONOMETRÍA AVANZADA. Instructor: Horacio Catalán Alonso

Transcripción

1 CURSO ITERACIOAL: COSTRUCCIÓ DE ESCEARIOS ECOÓMICOS ECOOMETRÍA AVAZADA Instructor: Horaco Catalán Alonso

2 Modelo de Regresón Lneal Smple

3 El modelo de regresón lneal representa un marco metodológco, que permte analzar la relacón entre dos varables, asumendo una hpótess de causaldad Se defne una hpótess teórca que se representa por medo de una funcón matemátca: = f() Donde se la varable es una funcón de la varable Esta funcón puede ser lneal o no lneal

4 Las hpótess se expresan en térmnos de una ecuacón o conjunto de ecuacones. En este sentdo los lbros de texto de economía, presentan los postulados de la teoría a través de formular relacones entre varables económcas en forma algebraca: Ejemplos: Relacón entre la altura y el peso Las horas de estudo y la calfcacón en un examen El consumo prvado y el ngreso Demanda de un ben y su preco Una pregunta relevante es Determnar el grado en que ambas varables se relaconan?

5 GRÁFICOS DE DISPERSIÓ: Permte representar la evolucón conjunta de ambas varables Dadas dos varables (, ) tomadas sobre el msmo elemento de la poblacón, el dagrama de dspersón es smplemente un gráfco de dos dmensones, donde en un eje (la abscsa) se stúa una varable, y en el otro eje (la ordenada) se stúa la otra varable S las varables están correlaconadas, el gráfco mostraría algún nvel de correlacón (tendenca) entre las dos varables. S no hay nnguna correlacón, el gráfco presentaría una fgura sn forma, una nube de puntos dspersos en el gráfco.

6 Varable Varable Varable Representacón gráfca de una relacón Varable Varable Varable Relacón lneal postva Sn relacón Relacón lneal negatva

7 Dagrama de dspersón Tasa de esperanza de vda vs PIB per cápta 6 países de Amérca Latna

8 35 países

9 Dagrama de dspersón Consumo de gasolna vs PIB Varables en logartmo natural

10 Una prmera aproxmacón, al Modelo Estadístco General es en el marco de un modelo de regresón entre dos varables es:,,..., n Donde: se denomna como la varable dependente es la varable explcatva o ndependente α y β los parámetros del modelo a estma El modelo establece que un cambo en una undad de produce u ocasona un cambo en la varable, meddo por el parámetro β

11 Sn embargo, la meda poblaconal de es una característca desconocda de la dstrbucón, por lo tanto la pendente es desconocda. Así el supuesto básco del modelo de regresón es que una realzacón muestral de la varable puede ser expresada como una combnacón lneal de las observacones de ncluyendo un el componente denomnado térmno de error: u,,..., n

12 u La dferenca entre el valor observado de la varable y la recta estmada se denomna error

13 Las desvacones en cada observacón generan una sere de errores, la cual se consdera como una varable aleatora alrededor del cero, con valores postvos y negatvos

14 Para cada valor de exste una dstrbucón de probabldad del térmno de error y por consguente una dstrbucón de probabldad para la varable P u Probabldad 3

15 Asumendo que el térmno de error presenta una dstrbucón de probabldad se realzan entonces certos supuestos sobre dcha dstrbucón. El valor esperado del térmno de error es gual a cero. E(u ) = 0, para todo =,... El térmno aleatoro tene esperanza gual a cero para todas las observacones. Este supuesto mplca que en promedo la relacón entre y varable es exactamente lneal, aunque las realzacones partculares de los u 's pueden ser dstntas de cero.

16 . Homocedastcdad o varanza constante. Var(u ) = σ ; =,...,. La varanza del térmno aleatoro es constante para todas las observacones. Esto se conoce como supuesto de homoscedastcdad 3. ormaldad. Los errores se dstrbuyen como una funcón de densdad de probabldad normal, con meda cero y varanza constante

17 4. Ausenca de autocorrelacón. Cov(u,u j ) = 0, para todo j. Las covaranzas del térmno aleatoro entre dos observacones dstntas son guales a cero 5. Forma funconal es lneal. Se asume que la funcón que relacona ambas varables del modelo es lneal 6. Parámetros constantes. Los parámetros del modelo no camban de valor a lo largo de la muestra

18 7. La meda condconal del error respecto a la varable explcatva es gual a cero. E(u / ) = 0; =,..., Este supuesto ndca que los factores que no están ncludos en el modelo, están ncorporados en el térmno de error, no afectan sstemátcamente el valor de la meda de. Los supuestos sobre el térmno de error permten entonces obtener un marco teórco desde el punto de vsta de la teoría de la probabldad y la estadístca lo que permte obtener una estmacón de los valores de los parámetros poblaconales

19 Método de estmacón de Mínmos Cuadrados Ordnaros (MCO)

20 Se puede observar que la mayoría de los puntos no pasan por la línea recta, lo cual se dentfca como el térmno de error

21 La forma de obtener una estmacón de los parámetros del modelo es por medo del MÉTODO DE MÍIMOS CUADRADOS ORDIARIOS (MCO) Cada desvacón de la recta (error) se puede calcular una dstanca, elevando al cuadrado cada térmno de error

22 u u Modelo lneal Se despeja el térmno de error u La dstanca esta defnda como el térmno de error al cuadrado, y la dstanca total como la suma de los errores al cuadrado (SEC) () () (3)

23 La ecuacón (3) representa la funcón objetvo a mnmzar, dado que la funcón depende de los parámetros poblaconales, que son desconocdos. Así, dada una muestra de la varable dependente y, el método de mínmos cuadrados ordnaros (MCO), consdera los valores muestrales de los parámetros, los cuales se defnen como los estmadores de MCO (4) S u mnu

24 Se resuelve como un problema de optmzacón, medante un sstema de dos ecuacones y dos ncógntas. Donde las ncógntas son los valores de α y β, y dada la nformacón muestra se obtenen los valores estmados 0 u S 0 u S

25 0 0 ṷ S ṷ S Es un sstema de dos ecuacones con dos ncógntas. Despejando α de la prmera ecuacón, se obtene el sguente resultado α = β

26 Susttuyendo α en la segunda ecuacón 0 0 Reordenando la ecuacón 0

27 El estmador β se puede calcular como: 0 Agrupando térmnos semejantes: ) ( ) ( Var Cov

28 El modelo de regresón lneal establece que puede ser aproxmada por una funcón lneal de, y el térmno de error u es la dscrepanca entre la varable observada y el modelo Los valores de α y β permten proyectar o estmar los valores de la varable dependente a partr de valores de la varable explcatva Los errores del modelo generan una sere con un comportamento determnado

29 CURSO ITERACIOAL: COSTRUCCIÓ DE ESCEARIOS ECOÓMICOS ECOOMETRÍA AVAZADA Instructor: Horaco Catalán Alonso