Pruebas Estadísticas de Números Pseudoaleatorios

Transcripción

1 Pruebas Estadístcas de Números Pseudoaleatoros Prueba de meda Consste en verfcar que los números generados tengan una meda estadístcamente gual a, de esta manera, se analza la sguente hpótess: H 0 : = H : Paso. Calcular la meda de los n números generados. x n n r Paso. Calcular los límtes nferor y superor de aceptacón: l z x /, n ls z x / n Paso 3. S el valor de x se encuentra entre l x, ls x, se acepta que los números tenen una meda estadístcamente gual a con un nvel de confanza del - %.

2 Ejemplo (Prueba de meda). Realce la prueba de meda a los sguentes 30 números pseudoaleatoros, con un nvel de confanza del 95% Con la ecuacón para la meda muestral se calcula la meda x n n r Los límtes de aceptacón para n = 30 y = 0.05 son: l x z.96 n 30 / ls x z.96 n 30 / dado que el valor promedo se encuentra entre los límtes, se acepta la hpótess H 0 es decr, se puede afrmar que la meda de los números es estadístcamente gual a.

3 Pruebas Estadístcas de Números Pseudoaleatoros Prueba de varanza Consste en verfcar que los números generados tengan una varanza estadístcamente gual a , de esta manera, se analza la sguente hpótess: H 0 : Var(x) = H : Var(x) Paso. Calcular la varanza de los n números generados. n Var( x) ( r x) n Paso. Calcular los límtes nferor y superor de aceptacón: l Var ( x) /, n ( n ), ls Var ( x) /, n ( n ) Paso 3. S el valor de Var(x) se encuentra entre l Var( x), ls Var(x), se acepta que los números tenen una varanza estadístcamente gual a con un nvel de confanza del - %.

4 Ejemplo (Prueba de varanza). Realce la prueba de varanza a los sguentes 30 números pseudoaleatoros, con un nvel de confanza del 95% Con la ecuacón para la varanza muestral se calcula: n Var( x) ( r x) n Los límtes de aceptacón para n = 30 y = 0.05 son: l /, 0.975, n ( n ) (9) 348 Var ( x) ls /, 0.05, n ( n ) (9) 348 Var ( x) dado que el valor de la varanza muestral se encuentra entre los límtes, se acepta la hpótess H 0 es decr, se puede afrmar que la varanza de los números es estadístcamente gual a.

5 Pruebas Estadístcas de Números Pseudoaleatoros Prueba de forma Para realzar esta prueba se utlza la prueba de bondad de ajuste, ya descrta anterormente. Esta prueba se empleará específcamente para números aleatoros unformes entre 0 y, para probar que un conjunto de datos sgue esta dstrbucón. De esta manera la hpótess propuesta se resume como sgue: H 0 : r ~ U[0,] H : r ~ U[0,] Ejemplo. Tomando los 30 números del ejemplo anteror, determne con un nvel de confanza del 95% s pertenecen a una poblacón unforme. Dvdendo el rango de 0 a en 5 ntervalos y clasfcando los 30 números según su valor se obtene la sguente tabla: Intervalo FO FE=30/ Se calcula C a partr de la ecuacón C m ( FE FO ) FE se obtene un valor de C = Se compara con el valor de tablas con 5-=4 grados de lbertad y un nvel de 5% que es gual a 9.49 y la comparacón ndca que los números generados sguen una dstrbucón unforme entre 0 y.

6 Pruebas Estadístcas de Números Pseudoaleatoros Prueba de ndependenca Las pruebas de ndependenca conssten en demostrar que los números generados son estadístcamente ndependentes entre sí, esto es, que no dependen uno del otro. Para esto se propone la sguente hpótess: H 0 : r ~ Independente H : r ~ Dependente Para realzar estas pruebas de hpótess exsten varos métodos, puede selecconarse cualquera de la sguente lsta: Prueba de póker. Prueba de corrdas arrba y abajo. Prueba de corrdas arrba y debajo de la meda. Prueba de la longtud de las corrdas. Prueba de dstanca. Prueba de seres. Prueba de huecos.

7 Prueba de ndependenca Prueba de Póker H 0 : r ~ Independente H : r ~ Dependente Paso. Calcular las probabldades esperadas para un juego de póker con 5 cartas numeradas del 0 al 9 con reemplazo, se tenen 7 eventos o ntervalos, con las sguentes probabldades: P(Pachuca) = P(Un par) = P(Dos pares) = P(Una terca) = P(Full) = P(Póker) = P(Quntlla) = Paso. Calcular la frecuenca esperada de cada uno de los eventos (FE ) multplcando la probabldad de cada evento por el número de números aleatoros generados. Paso 3. Para cada número aleatoro generado verfcar (magnando que es una mano de póker) s es pachuca, un par, dos pares, etc., tomando los prmeros cnco dígtos a la derecha del punto decmal. Por ejemplo, es un par, es un full, dos pares, etc. Con estos resultados se genera una tabla de frecuencas de estos eventos. La frecuenca observada de cada uno de los eventos se denota como (FO ). Paso 4. Calcular el estadístco C con m = 7. Paso 5. S el valor de C es menor o gual al estadístco de tablas con 6 grados de lbertad y una probabldad de rechazo, entonces se acepta que los datos son estadístcamente ndependentes entre sí.

8 Ejemplo. Realce la prueba de póker a los sguentes 30 números con un nvel de confanza del 95% Agrupando los números de acuerdo con sus dígtos, como s fuera una mano de póker se obtene la sguente tabla de frecuencas: Intervalo FO PE FE=(n*PE) Pachuca Un par Dos pares Una terca Full Póker Quntlla El cálculo de C es gual a 4.5 que comparado contra el valor de tablas con 7- = 6 grados de lbertad, y con un nvel de 5% que es gual a.59, ndca que los números generados son estadístcamente ndependentes.

9 Prueba de ndependenca Prueba de Corrdas H 0 : r ~ Independente H : r ~ Dependente Paso. Clasfcar cada número aleatoro con respecto al anteror, de acuerdo con: S r r S r r Paso. Calcular el número de corrdas observadas h. Una corrda se forma por un conjunto de números aleatoros consecutvos del msmo sgno. Paso 3. Calcular E(h) y Var(h) de acuerdo con: r r E ( h) n 3 6n 9 Var ( h) 90 donde n es el número de datos generados. Paso 4. Calcular el estadístco ( h E( h)) z Var( h), s el valor absoluto z es menor que el valor crítco Z / se acepta la hpótess de ndependenca.

10 Ejemplo. Determne s la sguente sere de 30 números puede ser aceptada como ndependente con un nvel de confanza del 95%, usando la prueba de corrdas La secuenca de corrdas es: donde exsten h = corrdas. Con n = 30 tenemos de las ecuacones anterores que E(h) = corrdas y Var(h) = 5.0. ( h E( h)) Var( h) El valor de z Comparado contra Z 0.05 =.96, de tal manera que ndca que los números generados son estadístcamente ndependentes.

11 Prueba de ndependenca Prueba de Seres H 0 : r ~ Independente H : r ~ Dependente Paso. Crear un hstograma de dos dmensones con m ntervalos, clasfcando cada pareja de números consecutvos (r, r + ) dentro de las casllas de dcho hstograma de frecuencas. El número total de pares ordenados en cada caslla formará la frecuenca observada: FO. Paso. Calcular la frecuenca esperada en cada caslla FE de acuerdo con FE = núm/m donde núm es el número total de parejas ordenadas. Paso 3. Calcular el valor del estadístco C. Paso 4. S el valor de C es menor o gual al valor en tablas con m- grados de lbertad y una probabldad de rechazo, entonces se acepta la hpótess de ndependenca.

12 Ejemplo. Determne s la sguente sere de 30 números puede ser aceptada como ndependente con un nvel de confanza del 95%, usando la prueba de seres Al formar parejas ordenadas se obtene: (.7484,.48999) (.48999,.5050) (.5050,.3958)... (.98953,.733). La clasfcacón en una tabla de frecuencas de dos dmensones de 44, (m=6), queda: r r Tomando en cuenta que se tenen 9 parejas ordenadas clasfcadas unformemente en 6 casllas, la frecuenca esperada FE en cada una es.85 y al calcular el estadístco C, para cada una de las 6 celdas o ntervalos de la tabla anteror, se tene: C C m ( FE FO ) FE 6 (.85 FO ).85 [7( ) 5(.85 ) 4(.85 3) ] 5.75 El valor de la tabla con un nvel de confanza del 95% y con 5 grados de lbertad es gual a 5. S se compara C = 5.75 con este valor, se acepta la ndependenca de la sere de números.