4. PROBABILIDAD CONDICIONAL

Transcripción

1 . ROBBILIDD CONDICIONL La probabldad de que ocurra un evento B cuando se sabe que ha ocurrdo algún otro evento se denomna robabldad Condconal, Se denota como (B/) y se lee como la probabldad de que ocurra B dado que ocurra ó la probabldad de B dado. La robabldad Condconal de B dado (B/) Ejemplo: Se tene la sguente nformacón: B B, s () > 0 Genero Cabello Lso Cabello Rzado Total Hombre 31 Mujer 1 19 Total 0 0 Cuál es la probabldad de escoger una mujer dado que tene el cabello rzado? Defnendo los sguentes eventos: M : la elegda es mujer R : la elegda tene el cabello rzado Forma 1 Forma ( M / R) Usando la expresón que defne la probabldad condconal: ( R M ) ( M / R) S ( R M ) entonces ( R) ( R M ) además ( R) entonces: 0 0 ( M / R) 0 0 La probabldad condconal se smbolza (B/), que se lee probabldad de B, dado, o la probabldad de que ocurra B, condconado a que haya ocurrdo.

2 Reglas Multplcatvas: Eventos Dependentes: Dos o más eventos serán dependentes cuando la ocurrenca o no-ocurrenca de uno de ellos afecta la probabldad de ocurrenca del otro (o otros). l despejar B de la formula B B Se obtene la fórmula que permte calcular la probabldad de que ocurran dos eventos. B ( ) ( B / ) ó B ( ) ( B / ) La probabldad de que ocurran tanto como B es gual a la probabldad de que ocurra multplcada por la probabldad de que ocurra B, dado que ocurró. Ejemplo: En una caja hay esferas blancas, rojas y 3 negras. S se extraen al azar 3 esferas en forma consecutva, sn reemplazo, Cuál es la probabldad de que las 3 sean de color rojo? Sea R1 el evento extraer una esfera roja. 3 1 (R1 R R3) = (R1) (R / R1) (R3 / R1 R)= = = Ejemplo: Una bolsa contene 7 bolas blancas y negras, y una segunda bolsa contene bolas blancas y 8 negras. Se extrae una bola de la prmera bolsa, sn verla, y se coloca en la segunda bolsa. Cuál es la probabldad de que la bola extraída de la segunda bolsa sea blanca? 1. 7B N ( B 1 ) ( N1) 7 B 8N 1B B 8N 1N ( B / B1 ) ( N / B1 ) ( B / N1) ( N / N1) = ( B B1 ) ( B N1) ( B1 ) ( B / B1 ( N1) ( B / N1 = ) + )

3 Eventos Independentes: Se dce que dos o más eventos son ndependentes entre sí cuando la probabldad de que ocurra uno no es nfluda por la ocurrenca de otro. S y B representan dos eventos y s la ocurrenca de no afecta a la ocurrenca de B, y la ocurrenca de B no afecta a la ocurrenca de, entonces se dce que y B son Independentes. En este caso, la probabldad de que ocurran y B es gual al producto de sus respectvas probabldades, y se expresa así: ( B) = () (B) Ejemplo: En una caja hay esferas blancas, rojas y 3 negras. Se extrae una esfera, se observa su color y se regresa a la caja. Bajo estas condcones, Cuál es la probabldad de que al extraer 3 esferas, éstas sean de color rojo? 1 (R1 R R3) = = = Se lanza dos veces un par de dados. Cuál es la probabldad de obtener totales de 7 y? ara que cagan totales de 7 y en dos lanzamentos de un par de dados tene que pasar los sguente: Que caga 7 en el prmer lanzamento Y Que caga en el segundo lanzamento O Que Que caga en el prmer lanzamento Y Que caga 7 en el segundo lanzamento 7 1Lanz Lanz 1Lanz 7 Lanz ( 7) () () (7 1 Lanz Lanz 1 Lanz ) Lanz Una caja contene 00 focos, 0 azules y 0 rojos; de los cuales, son defectuosos: azules y rojos. Cuál es la probabldad de que un foco elegdo al azar, sea defectuoso (evento D)? (D) = = 00 0 S selecconamos un foco al azar y se observa que éste es azul (evento ), Cuál es la probabldad de que el foco sea defectuoso, dado que es azul?

4 Escrbremos (D/), para representar la probabldad del evento D, dado. Entonces, puesto que hay 0 focos azules y de éstos, son defectuosos (D / ) = 0 = 3. REGL DE BYES El procedmento que se utlza para encontrar probabldades posterores, a partr de probabldades prevas, se llama regla Bayesana. Las probabldades a pror o prevas se conocen antes de obtener nformacón alguna del expermento en cuestón. Las probabldades a posteror se determnan después de conocer los resultados del expermento. El teorema de Bayes consste en un método para encontrar la probabldad de una causa específca cuando se observa un efecto partcular. Esto es, s el evento B ha ocurrdo, Cuál es la probabldad que fuera generado por el evento 1 (que es una causa posble) o por el (otra causa posble)? S suponemos que los eventos 1,, 3,..., n, forman una partcón de un espaco muestral S; esto es, que los eventos 1 son mutuamente excluyentes y su unón es S. hora, sea B otro evento B = S B = ( n) B Donde B son eventos mutuamente excluyentes. En consecuenca: (B) = (1 B) + ( B)+ (3 B) + + (n B) Luego por la regla de multplcacón: (B) = (1) (B/1) + () (B/) + (3) (B/3)... (n) (B/n) S 1,, 3,..., n es una partcón de S, y B es cualquer evento. Entonces para cualquer, = B B B B 1 n 1 ( B ) n Es decr: = B ( ) B ( ) B La expresón anteror puede nterpretarse de la manera sguente: S un evento puede ocurrr en más de una forma, entonces la probabldad de que ocurra en una forma partcular será gual a la razón de la probabldad de que se presente la forma respecto a la probabldad de que ocurra. Se tenen dos cajas. La caja I contene 3 esferas rojas y azules, en tanto que la caja II contene esferas rojas y 8 azules. Se arroja una moneda. S se obtene águla se saca una esfera de la caja I; s se obtene sol se saca una esfera de la caja II. R ndca el evento sacar una esfera roja mentras

5 que I y II ndcan los eventos escoger caja I y caja II, respectvamente. Una esfera roja puede resultar al escoger cualquera de las cajas. a) Hallar la probabldad de sacar una esfera roja. (R) = (I)(R / I) + (II)(R / II) (R) = b) Hallar la probabldad de que se escogera la caja I, dado que la esfera es R, (es decr que el resultado de arrojar la moneda sea águla). La persona que arrojó la moneda no da a conocer s resultó águla o sol (de tal manera que la caja de la cual se sacó la esfera se desconoce) pero ndca que se extrajo una esfera roja. Buscamos la probabldad de que se escoja la caja I y se sabe que se sacó una esfera roja. Empleando el teorema de Bayes, esta probabldad está dada por: I R I R I I R II R I 1 3 I 3 R II En un Insttuto Superor, el por cento de los hombres y el por cento de las mujeres estudan Bología. Las mujeres consttuyen el 0 por cento del estudantado. S se seleccona en forma aleatora un estudante y resulta que está cursando Bología, determnar la probabldad de que sea mujer. (H) = 0.0; (M) = 0.0; (B/H) = 0.; (B/M) = 0. M B