TEMA 1: INCERTIDUMBRE Y PROBABILIDAD

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1 MÉTODOS ESTDÍSTICOS PR L EMPRES TEM 1: INCERTIDUMBRE Y PROBBILIDD La probabldad. Conceptos y cuantfcacón Defncón axomátca de la probabldad Probabldad condconada e ndependenca Probabldad total y teorema de Bayes TEM 1. COMPETENCIS En este tema se pretende famlarzar al alumno con el concepto de probabldad como herramenta para cuantfcar la ncertdumbre asocada a fenómenos aleatoros. Una vez superado el tema los alumnos serán capaces de: Entender las dversas concepcones de la probabldad (clásca, frecuencal y subjetva). Saber dstngur las prncpales expresones que aparecen en el cálculo combnatoro. Interpretar adecuadamente los conceptos de suceso complementaro, unón e nterseccón de sucesos; sucesos ncompatbles y sucesos ndependentes. Identfcar una partcón de sucesos y aplcar sobre ella los teoremas de la probabldad total y Bayes. Interpretar adecuadamente las probabldades a pror, a posteror y las verosmltudes.

2 MÉTODOS ESTDÍSTICOS PR L EMPRES TEM 1: INCERTIDUMBRE Y PROBBILIDD La probabldad. Conceptos y cuantfcacón Motvacón La probabldad es una medda de la ncertdumbre aplcable a muchas stuacones cotdanas Probabldad de mpago de la deuda? Concepto y sgnfcado de la probabldad Cuantfcacón numérca xomátca Probabldad de que suba el IBEX- 35?

3 Conceptos de probabldad Probabldad Clásca Probabldad Frecuencal Probabldad Subjetva P( ) = c. f. c. p. n fr() = n ( ) P P()= Grado de creenca en Cuántos casos posbles hay? Son equprobables los resultados? Es posble repetr las observacones? Se mantenen las condcones? Es posble observar? Cómo se asgnan las probabldades? Cálculo de probabldades. Teoría combnatora Cuál es la probabldad de ganar una apuesta con dados? Y de tener premo en la lotería prmtva? Y de ser nombrado membro de un jurado popular? Varacones con repetcón Varacones Permutacones Combnacones

4 De cuántas formas es posble selecconar n Varacones elementos partendo de un total de m? Seleccón 1 Varacones con Repetcón VR m, n = m. m... m = m Varacones sn Repetcón Vm, n = m.( m 1)...( m n + 1) n Pueden aparecer elementos repetdos El orden es relevante El orden es relevante De cuántas formas es posble ordenar m elementos? Permutacones P = m m!

5 De cuántas formas es posble formar grupos de tamaño n partendo de un total de m elementos? Combnacones C m, n m m! = = n n!( m n )! El orden NO es relevante MÉTODOS ESTDÍSTICOS PR L EMPRES TEM 1: INCERTIDUMBRE Y PROBBILIDD Defncón axomátca de la probabldad

6 Expermentos aleatoros. Conceptos asocados E Espaco muestral o suceso seguro (conjunto de resultados posbles de un expermento aleatoro), B... Sucesos (subconjuntos de E) Suceso mposble B Unón de sucesos (ocurre al menos uno de los dos sucesos) B Interseccón de sucesos (ocurren y B) C Suceso complementaro de (no ocurre ) B= Sucesos ncompatbles (no pueden ocurrr smultáneamente) famla de sucesos con estructura de σ-álgebra s a) b) C c),...,,... 1 n = 1 xomátca de Kolmogorov Una medda de probabldad es una aplcacón de en : P: P() que verfca los sguentes axomas: R R ) P() 0, ) P(E) = 1 ) 1,..., n,..., j = j P = 1 = = 1 P( )

7 Propedades dervadas C B P( C ) = 1 P() B P() P(B) P( ) = 0 B B P( B) = P() + P(B) P( B) MÉTODOS ESTDÍSTICOS PR L EMPRES TEM 1: INCERTIDUMBRE Y PROBBILIDD Probabldad condconada e ndependenca

8 Probabldad condconada La dsponbldad de nformacón afecta a la asgnacón de probabldades Un trabajador tene 24 años o menos Cuál es la probabldad de que se encuentre en paro? INFORMCIÓN DISPONIBLE S edad del trabajador Probabldad de estar en paro condconada por el suceso S La probabldad condconada por un suceso B (P(B)>0), se defne para cada suceso de como: P(/B) = P( B) P(B) Independenca en probabldad La probabldad de ocurrenca de se ve afectada por la ocurrenca de B? NO es ndependente de B P(/B) = P() P ( B) = P()P(B) Condcón de ndependenca es ndependente de B <=> B es ndependente de

9 Ilustracón Encuesta a 100 actvos de 2 comundades autónomas sobre su stuacón laboral sturas () País Vasco (V) Ocupados (O) Parados (N) P = 100 ( N) = 0,06 Probabldad conjunta 14 P = 100 ( N) = 0,14 ( N) P( ) 6 P 0,06 P ( N/) = = = = 0, ,33 ( N) P( V) 8 P V 0,08 P ( N/V) = = = = 0, ,67 Probabldad margnal Probabldades condconadas Independenca? MÉTODOS ESTDÍSTICOS PR L EMPRES TEM 1: INCERTIDUMBRE Y PROBBILIDD Probabldad total y teorema de Bayes

10 Partcón o sstema completo de sucesos Un sstema de sucesos 1,, n, forman una partcón o sstema completo de sucesos s verfcan: 1) P( ) > 0 = 1,2,...n 2) 3) n = 1 j = = E j E Teorema de la probabldad total Dado un espaco de probabldad (E,,P) sobre el que se establece una partcón ( 1,..., n ), y dado un suceso B de : E P(B) = n = 1 P(B/ )P( ) Probabldades a pror o ncales 1 2 B Verosmltudes 3 4

11 Teorema Probabldad Total. Ilustracón La plantlla de una empresa consta de un 70% de técncos, un 25% de admnstratvos y un 5% de drectvos. En cada una de estas categorías la proporcón de personas que ha comprado accones (C) de la empresa ascende al 40%, 30% y 70% respectvamente lternatva Técncos (T) dmnstratvos () Drectvos (D) Partcón Probabldad a pror 0,70 0,25 0,05 Comprar accones (C) 40% 30% 70% Verosmltudes Selecconado un trabajador al azar, probabldad de que haya comprado accones de la empresa? P(C)=P(C/T)P(T)+P(C/)P()+P(C/D)P(D)=0,39 Teorema de Bayes Dada una partcón 1,..., n de E y otro suceso B tal que P(B)>0, entonces se tene: P( /B) = n P(B/ = 1 P(B/ )P( ) )P( ) Probabldades a posteror o fnales

12 Probabldades a posteror. Ilustracón Un trabajador ha comprado accones de la empresa, probabldad de que se trate de un drectvo? P(C/D)P(D) (0,70)(0,05) P(D/C) = = = 0,09 P(C) 0,39 lternatva Probabldad a pror Probabldad con compra de accones Técncos (T) 0,7 0,72 dmnstratvos() 0,25 0,19 Drectvos (D) 0,05 0,09 Probabldades a posteror o fnales