Clase Auxiliar #1: Teoría de Juegos
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- Laura Franco Sevilla
- hace 6 años
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1 UNIVERSIDAD DE CHILE FAC DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS Departamento de Ingenería Industral Curso: IN5A Economía Industral Semestre: Prmavera 7 Profesor: Ronald Fscher Auxlares: Klaus Kaempfe Sofía Moron Carlos Ramrez Dego Vega Clase Auxlar #: Teoría de Juegos Problema Encuentre los equlbros de Nash del sguente juego de dos jugadores El jugador tene tres accones posbles: A, B y C; mentras que el jugador tene dos accones posbles: A,B Los pagos respectvos se presentan en la tabla sguente: u,u A B A 5,4 5,4 B 8,3,9 C 3,6 7, Problema Pruebe que una estratega domnante no puede ser mxta no degenerada Problema 3 (Control 3 Consdere el juego del n-ultmátum, fgura En este juego, el prmer jugador ofrece dvdr US$ con el jugador S acepta, el juego acaba y los jugadores recben los pagos respectvos (el prmer pago es del oferente, el segundo pago es para el que decde aceptar, los demás recben cero S no acepta, debe hacer una oferta de dvsón de US$, con < al jugador 3 S 3 no acepta, le hace una oferta a 4, y asíı sucesvamente a Consdere n=3 Encuentre un equlbro de Nash en que el prmer jugador recbe US$5 b (Esta parte es ndependente de la anteror Consdere solo equlbros perfectos en el subjuego Encuentre la expresón que descrbe cuánto recbe cada jugador para un n cualquera Es decr una estratega mxta que asgna probabldad postva a más de una accón
2 c Consdere el caso en que lím Encuentre la condcón para que el prmer jugador recba US$8 en un equlbro perfecto en el subjuego
3 Solucón Problema No hay equlbros en estrategas puras Busquemos equlbros en estrategas mxtas Supongamos que la estratega de es mxta de la forma = ( p, Es decr, el jugador juega A con probabldad p y B con probabldad -p Veamos cuales serán los pagos de dada la estratega de (E denota esperanza u ( a = 5 u ( b = + 7 p u ( c = 7 4 p Luego, para p (,/ la mejor respuesta de A = ( p, es C para p=/, está ndferente entre A y C 3 para p (/,4 / 7 la mejor respuesta de a = ( p, es A 4 para p (4 / 7, respuesta de a = ( p, es B 5 para p=4/7 está ndferente entre A y B Analzamos cada caso por separado s p (,/ juega c, pero s juega c juega a, y no = ( p, Luego no hay un eq de Nash con = ( p, y p (,/ S p=/, la mejor respuesta de será de la forma = ( q,, q, con q [,] Para que esté dspuesto a jugar = ( p, debe ocurrr que los pagos de jugar A sean guales a los pagos de jugar B u ( A = 6 q u ( B = + q Los dos últmos valores se gualan sólo para q=, luego (, = ((,,,(/,/ es un equlbro de Nash en estrategas mxtas del juego 3 S p (/,4 / 7, juega A, obtene 4 tanto s juega A como s juega B, luego, está dspuesto a randomzar, (, = ( (,,,( p, con p (/,4 / 7 es equlbro de Nash del juego
4 Los dos casos que quedan se resuelven de forma análoga y quedan propuestos Problema Recordemos que une estratega es domnante para el jugador s se cumple que para todo ' se cumple que con desgualdad estrcta para algún u (, u ( ', Sean s y s ~ dos accones del jugador tales que con, las juega con probabldad postva (estas exsten s es no degenerado S exstera una estratega de los demás jugadores,, tal que u ~ > u ( s, S defnmos ' como la estratega gual a para todas las accones dstntas de s y ~ s, pero que juega ~ s con probabldad y juega s con probabldad ( s + ( ~ s, en otras palabras ' está defndo como, ( a s a s, a ~ s '( a = ( s + ( ~ s s a = s s a = ~ s se tendrá que u (, < u ( ',, lo cual contradce la defncón de estratega domnante Luego se debe tener que u ~ = u ( s, para todo, para todo s y ~ s, tal que asgna probabldad postva Esto es una contradccón porque mplca que u (, = u para todo, y por defncón de estratega domnante se debe cumplr u (, > u para algún Notar que de la msma forma se puede demostrar que s una estratega mxta es mejor respuesta, las accones a las cuales asgna probabldad postva deben dar la msma utldad
5 Problema 3 Juego del n-ultmátum a Para n=3 se tene el sguente árbol: Sí No - 3 Sí No 3 - Un Equlbro de Nash 3 consdera que la estratega de cada jugador es una mejor respuesta ante las estrategas de los demás jugadores En este caso debemos consderar que el prmer jugador debe recbr como pago US$5 Para que el jugador pueda recbr 5 el jugador debería aceptar la propuesta que le hace el, para ello el jugador tres debe amenazar de tal manera que al jugador no le convenga rechazar lo que le ofrece el jugador Por lo cuál las estrategas de cada jugador son de la sguente manera Estrategas: Jugador : Ofrece US$5 Jugador : Acepta solo s 5 y ofrece = 5 Jugador 3: acepta solo s >5 Con estás estrategas se estaría cumplendo un equlbro de Nash, pues a nade le convene salr de la decsón que tomaron, dadas las estrategas de los demás jugadores b Sabemos que un Equlbro Perfecto en el Subjuego se cumple s al consderar cada subárbol, la combnacón de estrategas restrngdas al subárbol es un equlbro de Nash del juego restrngdo al subárbol De otra manera, cada jugador juega en forma óptma en cada nodo del subjuego Sea el sguente subárbol genérco 3 * * * * * * Es una combnacón de estrategas S = ( S,, S n tal que, u ( S, S u ( S, S
6 n- n- n Sí n- - n- n- No n- n Dado que tenemos este subárbol para cada jugador, debemos ver que pasa con la decsón del jugador n- Puesto que s el jugador n rechaza el ofrecmento de n-, ambos se quedarán con, el jugador n- debe ofrecer a n, n, ofrecéndole lo mínmo que equvale a, quedándose el con n- Ahora para que el jugador n-, acepte el ofrecmento del jugador n-, este debe ofrecerle un pago tal que: n- >= n-, quedándose el con una paga de n-3 - n- Veamos ahora el caso para el jugador n-3, para que le jugador n- acepta debe ofrecerle n- 3>= n-3 - n-, quedándose el con un pago de n-4 -( n-3 - n- y así sucesvamente, por lo cuál llegamos a que el pago para cualquer n es la sguente: n n = = n ( + n j= ( j (* 3 Por otro lado, sabemos que j= ( j + = ( + Remplazando este valor en (*, podemos conclur que la oferta que hace el jugador n-, es la sguente: n (+ n= (+ Luego, el pago que recbría el jugador n-, s le tocara ofrecer, sería n ( + n ( + ( + P n = n = ( + El outcome del juego, dada la estratega anteror, será entonces que el jugador ofrece
7 (+ = + n el jugador acepta y recbe un pago de P (+ = + n C Utlzando los resultados encontrados el parte b, tenemos que: n (+ =, para encontrar la condcón para que el jugador recba US$8, cuando + lm n, con lo cuál llegamos a lo sguente: 8(+ = = = 5 4
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