Matemáticas Discretas

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1 Coordnacón de Cencas Computaconales - INAOE Matemátcas Dscretas Cursos Propedéutcos 2010 Cencas Computaconales INAOE Dr. Lus Vllaseñor Pneda vllasen@naoep.mx Algo de nformacón Curso propedéutco formatvo/selectvo Págna del curso ccc.naoep.mx/~vllasen/cursomatdscretas Evaluacón 2 exámenes parcales 60% 1 examen fnal 40% 2 Contendo Introduccón y subconjuntos, operacones de conjuntos, dagramas de Venn Relacones y Funcones Relacones y sus propedades, equvalenca, conjuntos parcal y totalmente ordenados, Lógca Fundamentos, álgebra booleana, cálculo proposconal, cálculo de predcados Seres Seres y recurrencas, manpulacón de seres, seres múltples Grafos Defncones, grafos euleranos y hamltonanos, conectvdad, grafos planares, árboles Prncpos fundamentales del Conteo Reglas de la suma y el producto, permutacones, combnacones Probabldad Defncones, probabldad condconal, Teorema de Bayes, prncpales dstrbucones dscretas y contnuas, varables aleatoras Defncón: la matemátca dscreta, tambén llamada matemátca fnta, comprende el estudo de las estructuras matemátcas fundamentalmente dscretas en el sentdo de no soportar o requerr la nocón de contnudad Induccón y Recursón Induccón en números naturales, nduccón matemátca, funcones recursvas 3 4 1

2 Importanca Matemátcas necesaras para hacer cenca de la computacón en una forma confable y efcente: Confable: Lógca, teoría de conjuntos, funcones y relacones, estructuras dscretas Cómo argumentar y probar Efcente: Combnatora, teoría de probabldad Cómo contar cosas PRIMERA PARTE 1. y subconjuntos, operacones de conjuntos, dagramas de Venn 5 6 Se tene un sentmento íntmo de que un conjunto debe ser una coleccón ben defnda de elementos. A estos elementos se les suele llamar objetos y se dce que son membros del conjunto. El adjetvo ben defndo mplca que cualquera que sea el objeto consderado, se pueda determnar s está o no en el conjunto que se analza. 7 Se utlzan letras mayúsculas, como A, B, C,..., para representar conjuntos, y mnúsculas para los elementos. Dado un conjunto A Se escrbe x A s x es un elemento de A; y A ndca que y no pertenece a A. Para denotar un conjunto se utlza un par de llaves {} alrededor de los elementos del conjunto 8 2

3 Un conjunto se puede determnar enlstando sus elementos entre llaves como A = {1, 2, 3, 4, 5}, (determnacón extensonal). Cuando se trata un problema partcular, hay un unverso o conjunto unversal, formulado o mplcado, del cual se selecconan los elementos para formar los conjuntos. Este conjunto tambén se puede determnar medante una propedad que ndca cómo deben ser los elementos (determnacón ntenconal). Entonces A tambén se puede escrbr como A = {x x es un entero, 1 x 5 }. 9 EJEMPLO. Para el unverso U = {1, 2, 3, 4, 5}, consdérese un conjunto A = {1, 2}. S B = {x x 2 U } los elementos de B son 1, 2. Como A y B tenen los msmos elementos se consdera que son el msmo conjunto. 10 Defncón Para un unverso U se dce que los conjuntos A y B (tomados de U) son guales y se escrbe A = B, s A y B contenen los msmos elementos. De esta defncón se deduce que n el orden n la repetcón tenen mportanca para un conjunto, de modo que {1, 2, 3} = {3, 1, 2} = {2, 2, 1, 3} = {1, 2, 1, 3, 1}. EJEMPLO Para U = {1, 2, 3,... }, el conjunto de enteros postvos, sea: a) A = {1, 4, 9,...,64, 81} = {x 2 x U, x 2 100}. b) B = {1, 4, 9, 16} = {y 2 y U, y 2 20} c) C = {2, 4, 6, 8,...} = {2k k U } A y B son ejemplos de conjuntos fntos, mentras que C se denomna conjunto nfnto

4 Dado un conjunto fnto A A denota el número de elementos en A y se denomna cardnaldad de A. EJEMPLO a) A = {1, 4, 9,...,64, 81} = {x 2 x U, x 2 100}. A = 9 b) B = {1, 4, 9, 16} = {y 2 y U, y 2 20}. B = 4 Defncón S C, D son conjuntos de un unverso U, se dce que C es un subconjunto de D, y se escrbe C D o D C s todo elemento de C es tambén un elemento de D. S exste algún elemento de D que no está en C, C se denomna subconjunto propo de D y se denota por C D o D C. AB s y solo s x [xa xb] EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3, 4, 5} con A = {1, 2, 3}, B = {3,4}, C = {1, 2, 3, 4}. Entonces se cumplen las sguentes relacones de subconjuntos: a) A C b) A C c) B C d) A A e) B A (es decr, B no es un subconjunto de A) f) A A Teorema Sea A, B, C U. a) S A B y B C, entonces A C. b) S A B y B C, entonces A C c) S A B y B C, entonces A C d) S A B y B C, entonces A C

5 Defncón El conjunto nulo o vacío es aquél que no contene elementos y se denota por o {}. Defncón S A es un conjunto del unverso U, el conjunto potenca de A, denotado por P(A), es la coleccón de todos los subconjuntos de A. Se observa que = 0, pero {0}. Para cualquer conjunto fnto A con A = n 0, A tene 2 n subconjuntos, de modo que P(A) = 2 n EJEMPLO sea A={x, y, z} Su conjunto potenca, P(A)={{},{x},{y},{z},{x, y},{x, z},{y, z},{x, y, z}} Operacones de Defncón Dados A, B U, se defnen las propedades sguentes: a) A B (la unón de A y B) = {x x A o x B} b) A B (la nterseccón de A y B) = { x x A y x B} c) A B (la dferenca smétrca de A y B) = A B = {x x A o x B, pero x A B}

6 Operacones de EJEMPLO Con U={1,2,3,...,9,10}, A={1,2,3,4,5}, B ={3,4,5,6,7}, C={7,8,9} tenemos Operacones de EJEMPLO Con U={1,2,3,...,9,10}, A={1,2,3,4,5}, B ={3,4,5,6,7}, C={7,8,9} tenemos a) AB = b) AB = c) BC = d) AC = e) AB = f) AC = g) AC = a) AB = {3, 4, 5} b) AB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} c) BC = {7} d) AC = e) AB = {1, 2, 6, 7} f) AC = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9} g) AC = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9} Operacones de Defncón S S, T U, cuando S T =, entonces S y T se denomnan dsjuntos o mutuamente dsjuntos. Teorema S S, T U, S T = S T s y sólo s S y T son dsjuntos. Operacones de Defncón Para un conjunto A U, el complemento de A, denotado por U A o A, está dado por {x xu, xa }. Para U={1,2,3,...,9,10} A={1,2,3,4,5}, B={3,4,5,6,7}, y C={7,8,9} A ={6, 7, 8, 9, 10}, B ={1, 2, 8, 9, 10}, C ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 10}

7 Operacones de Defncón Para A, B U, el complemento (relatvo) de A en B, denotado por B A, está dado por {x x B, x A}. Para U={1,2,3,...,9,10} A={1,2,3,4,5}, B={3,4,5,6,7}, y C={7,8,9} se tene: a) B A = {6,7} b) A B = {1, 2} c) A C = A d) C A = C e) A A = f) U A = A 25 Leyes de la teoría de conjuntos Para conjuntos cualesquera A, B, C de un unverso U: 1. A= A Doble complemento _ 2. A B A B DeMorgan _ A B A B 3. A B = B A Conmutatvas A B = B A C B C A BC 4. A B C A B Asocatvas A B C A BAC 5. A B C A B AC Dstrbutvas A 27 Leyes de la teoría de conjuntos 6. A A = A Idempotentes A A = A 7. A = A Identdad A U = A 8. A A = U Inversas A A = 9. A U = U Domnacón A = A A B A 10. A A B Absorcón A 28 Leyes de la teoría de conjuntos Debe tener alguna mportanca que las leyes 2 a 10 se presenten por pares. Estos pares se llaman duales. Una proposcón se puede obtener a partr de la otra ntercambando en todos los casos en que se presente por, y vceversa, y donde aparezca U por, y vceversa. 29 7

8 Dagramas de Venn Un dagrama de Venn, se construye como sgue: U se representa por el nteror de un rectángulo, mentras que sus subconjuntos se representan por círculos nterores y otras curvas cerradas. Dagramas de Venn En la fgura se usan dagramas de Venn para establecer una de las leyes de DeMorgan. 31 A B A B 32 Dagramas de Venn Dagrama de Venn numerando regones Dagramas de Venn A B está_ formado por las regones 2, 3, 5, 6, 7, 8, de modo que A comprende las regones 1 y 4. B Al desarrollar A B C está formado por las regones 1, 4, 6, 7, 8. La regón 3 es A B C y la regón 7 es A B C. Cada regón es un conjunto de la forma S1 S2 S3 donde S 1 se susttuye por A o A, S 2 por B o B, y S 3 por C o C

9 Dagramas de Venn El conjunto A consta de las regones 1, 3, 4, 6, mentras que las regones 1, 2, 4, 7 forman B, de modo que las regones 1 y 4 comprenden A B. S se toma la unón de C con A B, se concluye con las regones 1, 4, 6, 7, 8. Tabla de pertenenca Otra técnca para probar gualdades entre conjuntos es la tabla de pertenenca. Se observa que para los conjuntos A, B U, un elemento x U cumple exactamente una de las cuatro stuacones sguentes: a) xa, xb; b) xa, xb; c) xa, xb; c) xa, xb Tabla de pertenenca Se puede establecer la gualdad de dos conjuntos ocupando sus columnas respectvas en las tablas de pertenenca. En la tabla se muestra esto para la ley dstrbutva de la unón sobre la nterseccón. Smplfcacón y deduccón de expresones EJEMPLO Smplfque la expresón A B C B _ B C = A B C B DeMorgan = A B C doble complemento = A B C B asocatva = A B B C conmutatva de nterseccón = A B B asocatva de la nterseccón = B C absorcón

10 Leyes de la teoría de conjuntos Leyes de la teoría de conjuntos Para conjuntos cualesquera A, B, C de un unverso U: 6. A A = A Idempotentes 1. A= A Doble complemento _ 2. A B A B DeMorgan _ A B A B 3. A B = B A Conmutatvas A B = B A C B C A BC 4. A B C A B Asocatvas A 5. A B C A B AC Dstrbutvas A A A = A 7. A = A Identdad A U = A 8. A A = U Inversas A A = 9. A U = U Domnacón A = A A 10. A A B Absorcón B C A B AC A A B Smplfcacón y deduccón de expresones _ EJEMPLO Exprésese A B en funcón de y. Por la defncón de complemento relatvo tenemos que x x A x B A B A B,. Por tanto, A B A B = A B DeMorgan = A B doble complemento Generalzacón operacones de conjuntos Defncón Denótese por I un conjunto de índces. S para cada índce I hay un conjunto A U, entonces I I A. A x x A para al menos una x x A para todo I I Obsérvese que x s x A, para todo índce I. A I S x A para al menos un índce I, entonces x. y A I

11 Generalzacón operacones de conjuntos S el conjunto de índces I es el conjunto Z +, se puede escrbr: A A A 1 2 Z 1 A A1 A2 Z 1 A A Generalzacón operacones de conjuntos Teorema (Leyes de DeMorgan generalzadas) Sea I un conjunto de índces, donde para cada I, A U. Entonces, a) A A b) I I I A A I Conteo y dagramas de Venn Para A, B U, los sguentes dagramas de Venn ayudarán a obtener fórmulas de conteo para A, A B en funcón de A, B y A B. Conteo y dagramas de Venn Los conjuntos A, B de la fgura no tenen nterseccón, así que aquí la regla de la suma da lugar a A B A B, y es necesaro que A, B sean fntos, pero no requere condcón alguna sobre la cardnaldad de U. Como se muestra en la fgura, A A U y A A, de modo que, porla regla de la suma, A A U o A U A

12 Conteo y Dagramas de Venn EJEMPLO En una clase de 50 alumnos de prmero de unversdad, 30 estudan BASIC, 25 Pascal, y 10 los dos lenguajes. Cuántos alumnos estudan un sólo lenguaje de programacón? Conteo y Dagramas de Venn Sea U la clase de 50 alumnos, A el subconjunto de los que estudan BASIC y B el de los que estudan Pascal. Para responder a la pregunta, se necesta A B. En la fgura, los números de las regones se obtenen de la nformacón: A =30, B =25, A B =10. Por tanto, A B = 45 A + B, pues A + B cuenta dos veces a los alumnos de A B. Para evtar esta sobre cuenta se resta A B de A+ B y se obtene la fórmula correcta: A B = A + B A B y lógca La lógca y conjuntos están íntmamente relaconadas: xa s y sólo s (xa) AB s y sólo s (xa xb) es Verdadero x (AB) s y sólo s (xa xb) x (AB) s y sólo s (xa xb) x A B s y sólo s (xa xb) x A B s y sólo s (xa xb) (xb xa) x A s y sólo s (xa) El empleo de conjuntos Los conjuntos son las estructuras más smples pero no trvales de las matemátcas Otros objetos y propedades de la matemátcas se defnen en base a ellos Fueron usados en un prncpo para estudar la nocón de nfnto Útles en problemas de conteo y teoría de probabldad