Módulo 3. OPTIMIZACION MULTIOBJETIVO DIFUSA (Fuzzy Multiobjective Optimization)

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1 Módulo 3. OPTIMIZACION MULTIOBJETIVO DIFUSA (Fuzzy Multobjectve Optmzaton) Patrca Jaramllo A. y Rcardo Smth Q. Insttuto de Sstemas y Cencas de la Decsón Facultad de Mnas Unversdad Naconal de Colomba, Medellín, Colomba La lógca dfusa Es báscamente una lógca que permte valores ntermedos para poder defnr evaluacones convenconales como sí/no, verdadero/falso, negro/blanco, etc La lógca dfusa se ncó en 965 por Lotf A. Zadeh, profesor de cenca de computadoras en la Unversdad de Calforna en Berkeley.

2 En Japón la nvestgacón sobre lógca dfusa es apoyada amplamente con un presupuesto enorme. En Europa y USA se están realzando esfuerzos para alcanzar al tremendo éxto japonés. Por ejemplo, la NASA emplea lógca borrosa para el complejo proceso de manobras de acoplamento. Conjuntos Booleanos Defnamos un subconjunto A de X con todos números reales en el rango entre 5 y 8. A = [5,8], X [,] funcón característca: asgna un número o al elemento en X, dependendo de s el elemento está en el subconjunto A o no. 2

3 Conjuntos dfusos B = {conjunto de gente joven} B = [,2] por qué alguen es en su 2 cumpleaños joven y al día sguente no? Operacones con conjuntos dfusos Sea A un ntervalo dfuso entre 5 y 8, y B un número dfuso en torno a 4. Operacón AND (Y) (nterseccón) del A y B A AND B = Mn {A,B} 3

4 Operacón OR (O) (unón) del A y B A OR B = Max {A,B} Operacón NEGACION (A) A = - A Análss multobjetvo Max Z(x)=(Z (x),z 2 (x)...z q (x)) sujeto a: g (x) < b S(x) g 2 (x) < b 2 g k (x) < b k 4

5 Solucón Pareto Optma Se dce que una solucón x* es Pareto óptma s y solo s no exste otra x S, tal que Z (x) Z (x*) para todo y Z j (x) Z j (x*) para al menos un j Z (x) A c Z max Produccón económca ($) a Z mn d S B Hectáreas preservadas en estado satsfactoro I. Problema MO con Metas dfusas La meta dfusa se refere a desear alcanzar una solucón sustancalmente mayor o gual a un valor Z respecto al objetvo Z Para cada funcón objetvo exste una funcón de pertenenca µ (x). Por ejemplo: µ (x) Z Z, Z( x) Z µ ( x) =, Z Z, Z ( x) < Z Z < Z ( x) < Z Z ( x) > Z 5

6 Otros Tpos de metas. Z (X) debe estar en la vecndad de r (llamada meta dfusa de gualdad ) 2. Z (X) debe ser sustancalmente mayor o gual a p (llamado meta dfusa máxma ) 3. Z (X) debe ser sustancalmente menor o gual a p (llamado meta dfusa mínma ) µ j µ j µ j r p p Z j Z j Z j meta dfusa de gualdad meta dfusa máxma meta dfusa mínma Solucón Pareto Optma dfusa Se dce que una solucón x* es Pareto óptma dfusa s y solo s no exste otra x S, tal que µ (x) µ (x*) para todo y µ j (x) µ j (x*) para al menos un j A c d µ 2 B µ 6

7 La resolucón del problema multobjetvo será: Maxmzar µ D = µ D (µ (x),µ 2 (x),...,µ q (x)) Por ser funcones dfusas, esto es equvalente a: Maxmzar Mínmo(µ (x),µ 2 (x),...,µ q (x)} Sujeto a las restrccones orgnales Maxmzar Mínmo(µ (x),µ 2 (x),...,µ q (x)} Sujeto a las restrccones orgnales Equvalente a: Max λ Sujeto a: µ ( Z ( x)) λ, =,... q x S 7

8 II. Programacón Multobjetvo dfusa Maxmzar ( Z ( x, a ), (, Z2 x a2),..., Z ( x, a q q )) Sujeto a g( x, bj ) a, b son vectores j de parámetros dfusos Cada parámetro dfuso tene su propa funcón de pertenenca.por ejemplo: µ j a j Conjunto -nvel El conjunto -nvel de los números dfusos a y b son defndos como los conjuntos ordnaros ( a, b ) para los cuales el grado de sus funcones de pertenenca exceden el nvel. µ j a j 8

9 ( a, b ) Conjunto -nvel ( a, b) / µ a ( a r), =,..., q; r = µ ( bjs), j =,..., m b js De ese conjunto nfnto de posbldades, el decsor desea encontrar los valores que maxmcen la funcón objetvo. El problema queda ahora como Maxmzar ( Z ( x, a), Z2( x, a2),..., Z Sujeto a g( x, bj ) ( a, b) ( a, b ( x, a q q j ) Donde (a, b j, x) son varables de decsón )) Redefncón del concepto de Optmo de Pareto -nvel Se dce que una solucón x* es Pareto óptma -nvel s y solo s no exste otra y x X ( b ) ( a, b tal que: ) Z ( x, a ) Z( x*, a ), =,... q donde los correspondentes valores de a* y b* son llamados parámetros óptmos -nvel 9

10 Cuando el problema es lneal Maxmzar c x, c x,..., c ( 2 qx Sujeto a Ax b c, A, b son parámetros ) dfusos Cada parámetro dfuso tene su propa funcón de pertenenca.por ejemplo: µ j c j Redefncón del concepto de Conjunto -nvel Para PL El conjunto -nvel de los parámetros A, b y c se defne como el conjunto ( A, b, c ) para el cual el grado de funcón de pertenenca excede el nvel µ j a j

11 Conjunto -nvel problemas lneales De ese conjunto nfnto de posbldades, el decsor desea encontrar los valores que maxmcen la funcón objetvo. El problema queda ahora como Maxmzar c x, c x,..., c ( 2 qx ) Sujeto a Ax b ( A, b, c) ( A, b, c ) Donde (A, b, c, x) son varables de decsón NO LINEAL S µ (x) es la funcón de pertenenca de Z (x) Maxmzar ( µ ( ), ( ),..., ( c x µ 2 c2 x µ q cq x)) Sujeto a Ax b ( A, b, c) ( A, b, c )

12 S consderamos los puntos extremos de cada valor L R R A A L L R b, b [ c c ] [, ] [ ], µ j ( R ( R Maxmzar( ), ),..., ( R µ c x µ c2 x µ cq x)) Sujeto a A x b L R c j L c j R c j Aplcacones Ha sdo aplcado en: Problemas de regulacón de la contamnacón del are (Lotov et al, 997) Problemas de transporte (Verdegay, 984) Planfcacón medambental (Sakawa and Yano, 985) Planfcacón del sstema de sumnstro de agua (Slownsk, 986) Job Shop schedulng (Sakawa and Kubota, 2) Gestón de aguas resduales (Ducksten et al, 994) Otros... 2