PROPUESTAS PARA LA DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL GRÁFICO DE CONTROL MEWMA

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1 Est. María. I. Flury Est. Crstna A. Barbero Est. Marta Rugger Insttuto de Investgacones Teórcas y Aplcadas. Escuela de Estadístca. PROPUESTAS PARA LA DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL GRÁFICO DE CONTROL MEWMA INTRODUCCIÓN En la actualdad es común el uso de técncas de control estadístco del proceso (SPC) para el montoreo de una únca característca de caldad. Los gráfcos utlzados con este fn son los SHEWHART, CUSUM, EWMA, etc.. Con la aparcón de modernos equpos tomadores de datos y de computadoras conectadas en línea, resulta factble montorear smultáneamente varas característcas de caldad correlaconadas. Este control se hace posble medante el SPC multvarante usando gráfcos como el T 2 de HOTELLING, el MCUSUM y el MEWMA. El más utlzado y desarrollado hasta el momento es el T 2. Sn embargo, exsten otras propuestas que ncorporando la nformacón pasada del proceso, permten aumentar la potenca del gráfco ante saldas de control. GRÁFICO MULTIVARIADO DE PROMEDIOS MÓVILES PONDERADOS EXPONENCIAL- MENTE (MEWMA) Este gráfco, a dferenca del T 2 de Hotellng, es un gráfco ponderado en el tempo, en el cual cada punto grafcado contene nformacón no sólo del últmo período sno tambén de los anterores. A cada período se le da un peso que decrece en forma exponencal a medda que se aleja del actual. Fue desarrollado por C.Lowry y colaboradores en el año 1992, quenes lo defneron como una extensón del EWMA unvarado. El nterés se centra en el control smultáneo de p característcas de caldad correlaconadas entre sí. En este caso X 1,X 2,... son vectores de longtud p. Estos vectores pueden representar observacones ndvduales o medas de subgrupos tomados del proceso. Para estudar la performance de este gráfco se supone que los vectores aleatoros X son ndependentes y están déntcamente dstrbudos según una normal p-varante con vector de medas µ y matrz de covarancas x. Por smplcdad se supone que x es conocda. En la práctca es necesaro recolectar datos durante un certo tempo en el que el proceso está bajo control, para estmar x. Estos datos tambén pueden usarse para chequear los supuestos de normaldad e ndependenca. S éstos no se cumplen, las propedades del gráfco pueden verse afectadas y las señales de fuera de control podrían carecer de sgnfcado.. Sn pérdda de generaldad se supone que el vector de medas cuando el proceso está 4

2 bajo control es µ 0 = (0,0,0...,0). S µ = µ 0 el proceso está bajo control. S µ µ 0 el proceso está fuera de control. Tomando como vector de partda a Z 0 = 0, los vectores MEWMA se defnen como : Z = R X + (I R) Z -1 para N; R = dag (r 1, r 2,..., r p ); 0 < r j 1 ; j = 1, 2,..., p S todos los r j son guales, los vectores MEWMA pueden reescrbrse de la sguente forma: Z = rx + (1 r) Z -1 Los r j marcan la profunddad de la memora para cada varable. Cuanto mayor sea r j menor será la profunddad, es decr menor peso tendrán las observacones anterores. Se pueden usar valores de r j específcos para cada varable. Aquí es donde se dferenca un análss drecconal de uno sn dreccón específca. S se usa el msmo peso r j para todas las varables, el gráfco es de dreccón nvarante, debdo a que una señal fuera de control no podrá ser atrbuda a alguna varable en especal ya que todas tenen gual peso. S se da dstnto peso a las varables, el gráfco será de dreccón específca y en ese caso, una señal de fuera de control será atrbuda a los valores específcos de aquella varable a la que se le otorgó el mayor peso.cuando se utlza un r común y éste es gual a 1, se obtene el gráfco T 2 de Hotellng. En cualquer caso el estadístco MEWMA que se grafca es: 2 T = z 1 z z donde 1 es la nversa de la matrz de covarancas de Z Z que se obtene como: z r = r ( r) 2 x La señal de salda de control se produce cuando T 2 supera un certo valor h (h > 0), sendo h el límte de control elegdo para consegur un valor determnado de ARL cuando el proceso está bajo control (ARL 0 ). Con las sglas ARL se representa a la longtud de corrda promedo, la cual es una característca usada con frecuenca para evaluar el comportamento de un dagrama de control. Es el número de puntos que en promedo deberán grafcarse entre saldas de control dentfcadas por el gráfco. Cuando los r j son guales a r, la performance del ARL del MEWMA depende solamente del parámetro de no centraldad λ y no de la dreccón del cambo que se desea detectar; sendo 5

3 λ = n( ) ( ) Prevamente a la utlzacón de un gráfco MEWMA, es necesaro defnr los parámetros h y r menconados anterormente, que lo caracterzan. Dferentes autores han propuesto métodos para su obtencón. 1) Propuesta de C. Lowry y colaboradores Lowry y col. (1992) obtuveron medante smulacón dversas tablas que permten hallar valores adecuados de r y de h. Ellos están en funcón del número p de varables consderadas, del ARL bajo control (ARL 0 ) y del cambo d que se desea detectar en el vector de medas. Además, las tablas proporconan el ARL correspondente al cambo d que se desea detectar. Estas tablas no son completas pues están dadas para determnados valores de p (2, 3, 4, 5, 10 y 20 ) y para determnados valores de ARL 0 ( 50; 100, 200, 500, 1000). Para el ejemplo publcado en Technometrcs por estos autores, donde se consderan datos de 10 subgrupos de tamaño n = 1, sendo p = 2 el número de varables analzadas, se obtendrían h = 8,79 y r = 0,10 cuando se desea un ARL 0 = 200. El valor de ARL d = 7,76. 2) Propuesta de García-Díaz y Apars Otra sugerenca para la obtencón de los parámetros óptmos del gráfco MEWMA, es la de García-Díaz y Apars (2.003), quenes desarrollaron un programa que puede ser utlzado en cualquer stuacón. El software propuesto fue programado en entorno Wndows y está basado en el concepto de Algortmos Genétcos. Estos son algortmos de optmzacón en los cuales la búsqueda del óptmo global se realza al pasar de una poblacón ncal de ndvduos (generacón), a otra poblacón nueva (generacón sguente) medante la aplcacón de operadores genétcos. La funcón Z(x) a optmzar es del tpo: Z(x) = K w k z k (x) k= 1 donde K es el número de objetvos a satsfacer y w k 0 es el peso o ponderacón correspondente al objetvo z k (x), que puede nterpretarse como la mportanca que el msmo tene, en comparacón con los demás. Este procedmento converte un problema de objetvos múltples, en un problema de optmzacón con un únco objetvo. Al determnar la funcón, los autores se basaron en la propuesta de Woodall quen defne tres regones de nterés para el dseño estadístco de los gráfcos de control: regón bajo control, regón de ndferenca y regón de fuera de control. Las msmas toman como base la magntud del cambo d que desea detectarse en el vector de medas y están delmtadas por dos valores A y B, de acuerdo a lo sguente:. Regón bajo control [ 0, A ] : en esta regón, el cambo en el vector de medas del 6

4 proceso varía de d = 0 a d = A. Este cambo no se consdera de nterés y por tanto no se lo desea detectar. En esta zona se requere un ARL máxmo, ya que s el gráfco mostrara una señal de fuera de control, correspondería a una falsa alarma.. Regón de ndferenca ( A, B): cubre los valores de A < d < B. En esta regón es ndferente detectar o no, el cambo en el proceso.. Regón fuera de control [ B, ): cubre los valores de d > B. En esta área se requere la máxma potenca para detectar el cambo, necestando un ARL mínmo. Relaconando estas regones con la funcón a optmzar, se tene que los dos objetvos a consderarr son: 1) z 1 (x) : se refere a la dferenca entre el ARL del proceso bajo control que corresponde al gráfco selecconado (ARL 0 ) y el ARL mínmo que se desea cuando d= 0 (ARL mín ). Este es un objetvo a maxmzar, ya que se desea obtener gráfcos de control que satsfagan la relacón ARL 0 ARL mín. 2) z 2 (x) : se refere al valor del ARL para un punto d = B (ARL B ). Este es un objetvo a mnmzar, ya que ARL B debe ser mínmo. Con estos dos objetvos, el problema de optmzacón consste en: Maxmzar Z(x) = K w k z k (x) = w 1 z 1 (x) + w 2 z 2 (x) k= 1 = w 1 ( ARL 0 - ARL mín ) - w 2 ARL B Los valores de w 1 y w 2 son subjetvos. En su publcacón, García-Díaz y Apars dan a w 1 valores comprenddos entre 1 y 10 y a w 2 valores comprenddos entre 5 y 400. S ben el programa admte cualquer relacón entre w 1 y w 2, los autores menconados tomaron sempre en cada aplcacón, valores de w 1 nferores a los de w 2. Para la utlzacón del programa propuesto, es necesaro dar los sguentes datos:. ARL deseado cuando el proceso se encuentra bajo control. número de varables consderado. tamaño de muestra o subgrupo del gráfco de control. dstanca d. datos realaconados con el Algortmo Genétco, entre ellos los valores de w 1 y w 2. El programa proporcona valores por default, los que pueden modfcarse. A partr de estos datos, el programa proporcona los valores del límte superor de control h, la constante de suavzamento o profunddad de la memora r óptma y los valores de ARL obtendos cuando el proceso está bajo control y cuando el msmo se aparta en una magntud d. García-Díaz y Apars compararon los valores que se obtenen con el programa propuesto, con los determnados por Lowry y col.(1992) y por Prabhu y Ranger ( 1997). Hallaron que los msmos son muy smlares y que, al gual que lo habían ndcado esos autores, 7

5 el parámetro r aumenta, a medda que lo hace el tamaño del cambo que desea detectarse. Para el ejemplo menconado en el punto anteror, se obtendría h = 9,18 y r = 0,14 cuando se utlzan ponderacones w 1 = 10 y w 2 = 50. El valor de ARL d = 10,08. La ventaja de esta propuesta, es que la msma se adapta a cualquer valor de ARL deseado y cualquer número de varables nvolucrado, lo que la hace más general al momento de su aplcacón. 3) Propuesta de Lau Meng Cheng y colaboradores Los autores sugeren estmar el límte superor de control en los gráfcos MEWMA a través de : M + 3S, como el usado en la dstrbucón normal tradconal, sendo: M M : promedo de los M con M = S M : desvío estándar de los M 2 T = Z 1 Z ' ; z Proponen un dagrama de flujo para el cálculo y trazado de la estadístca MEWMA según se consderen observacones ndvduales o datos agrupados. Los algortmos comenzan con un conjunto de datos multvarados con subgrupos en un número: m 10: El tamaño muestral es n y decde el tpo de gráfco, ya sea con datos agrupados A u observacones ndvduales B. El sguente dagrama de flujo (adaptado del artículo orgnal) ndca la posble seleccón del gráfco de control multvarado: 8

6 Dagrama para n > 1 9

7 Dagrama de flujo para n=1 10

8 Obsérvese que para ambos algortmos A y B se necesta el cálculo de la nversa de la matrz de varancas y covarancas de los datos orgnales y además el de 1 z ( matrz nversa de varancas y covarancas de los vectores MEWMA Z). = r 2 x El ( k, l ) - ésmo elemento de ( k, l) z [ 1 (1 r) ] 2 r ; s r 1 = r 2 =...= r p = r. Los algortmos propuestos en B se verfcaron con los datos presentados por Lowry y col., para facltar comparacón con las opcones dadas anterormente.suponendo un valor de r = 0,10 (dato), se obtene un h = 16,36. S ben los autores no lo menconan explíctamente en su artículo, es de suponer que este límte se utlzaría como valor de referenca para futuros procesos. El valor de r no se determna a través de este procedmento sno que tene que haber sdo prevamente fjado. Tampoco se hace mencón al valor de ARL 0 n al de la magntud del cambo d de que se desea detectar. CONSIDERACIONES FINALES En la lteratura centífca se han presentado dstntas alternatvas, pero no todas ellas conducen a los msmos resultados. El programa desarrollado por Gómez-Díaz y Apars proporcona resultados smlares a los ndcados en las tablas de Lowry y colaboradores. En cambo la metodología propuesta por Lau Meng Cheng y colaboradores, basada en datos del proceso, conduce a valores dferentes para límtes de control. Por lo expuesto, y dada la mportanca que tene la defncón del límte de control a la hora de mplementar una estratega MEWMA, se evdenca la necesdad de profundzar el tratamento de este tema. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS o Apars, F y García-Díaz, J.C. (2004): A Multobjectve Optmzaton for the Ewma and Mewma Qualty Control Charts. Inverse Problems. Desgn and Optmzaton Symposum. Ro de Janero, Brazl, o García-Díaz, J.C. y Apars, F. (2003): Optmzacón de los Gráfcos de Control Esdadístco de Procesos Ewma y Mewma medante Algortmos Genétcos. 27 Congreso Naconal de Estadístca e Investgacón Operatva. Lleda, 8-11 de abrl de o Lau Meng Cheng, Yuwald Away, Mohammad Khatm Hasa. Department of Industral Computng. Faculty of Informaton Scence and Technology. Natonal Unversty of Malaysa. o Lowry, C.A.; Woodall,W.H.; Champ, C.W. and Rgdon, S.E. (1992): A Multvarate Exponentally Weghted Movng Average Control Chart. Technometrcs, 34(1), o Prabhu, S.S. and Runger, G.C. (1997): Desgnng a Multvarate EWMA Control Chart. Journal of Qualty Technology, 29(1),

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