ACTIVIDADES INICIALES

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1 Soluconaro 7 Números complejos ACTIVIDADES INICIALES 7.I. Clasfca los sguentes números, dcendo a cuál de los conjuntos numércos pertenece (entendendo como tal el menor conjunto). a) 0 b) 6 c) d) e) 0 f) a) Raconal b) Natural c) Entero d) Irraconal (real) e) Entero f) Irraconal (real) 7.II. Calcula el módulo y el argumento de los sguentes vectores dados en coordenadas. a) u (, ) b) v (, ) c) w (, ) a) u () 5; arg u arc tg 6 b) v () ) ( ; arg v arc tg 5 c) w () 5; arg w arc tg 6 7.III. Calcula las coordenadas de un vector de módulo 5 y de argumento radanes. v 5 cos, sen 5, 5 EJERCICIOS PROPUESTOS 7.. Halla el conjugado, el opuesto y el módulo de cada uno de los sguentes números complejos. a) b) c) 5 d) z z z a) ) ( 0 b) () ) ( 6 c) d) 7.. Representa en el plano complejo el conjunto A = {z C: z }. O X

2 7.. Dados los números complejos z (5 7) y z ( ), halla: a) z z c) z z z e) z 5 z b) z z d) z f) z z a) z z (5 7) ( ) 5 9 b) z z (5 7) ( ) 5 5 c) z z z [5 4 (0 7)] (5 7) 4 40 (70 48) d) z z 4 7 e) z 5 z (5 7) 5(5 7) 5 49 f) z z (5 7) ( ) 5 4 (0 7) 7.4. Calcula m y n para que sea certa la gualdad: (m ) (5 n) 6 (m ) (5 n) m 5 ( n) 6 m 5 m 7 n 6 n 8 m 7 n Efectúa las sguentes operacones con números complejos: a) 4 5 c) 5 e) b) 7 7 d) ( ) 5 f) ( ) a) 4 5 (4 5)( ) 5 6 ( )( ) 5 b) 7 7 c) d) ( ) () 0 () 5 () 4 () e) f) ( ) ( )

3 7.6. Escrbe de todas las formas posbles los sguentes números complejos. a) b) 4 5 c) (cos 0 sen 0) d) Soluconaro a) 90 (cos 90 sen 90) b) (cos 5 sen 5 ) c) (cos 0 sen 0) 0 d) z ; z ; arg z 5 z 5 cos 5 sen Dados los números complejos z, z y z a) Pasa a forma trgonométrca y polar cada uno de los números complejos anterores. b) Calcula z z z z. Expresa en forma trgonométrca y polar el número complejo z. Calculamos el módulo y el argumento de cada uno de los números dados. z () 6 z arg(z ) arc tg 50 arg(z ) 70 z arg(z ) arc tg 5 a) z (cos 50 sen 50) z 70 cos 70 sen 70 z 5 (cos 5 sen 5) b) z z z z ( ) () ( ) ( ) En forma polar: z z z z (cos 85 sen 85) Se comprueba que z ( ) ( ) 6 y arg (z) arc tg Realza las sguentes operacones. a) c) 6 0 : 0 e) ( ) 4 b) 4 5 d) 4 4 :5 f) a) b) c) 6 0 : d) 4 : e) ( ) 4 (6 5 ) f)

4 7.9. Halla el valor de para que el cocente 60 : 4 sea: a) Un número real postvo. b) Un número real negatvo. c) Un número real magnaro puro postvo. a) b) c) Calcula y representa las raíces sextas de k 6 060k, para k 0,,,, 4, O 0 0 X Las raíces son 0, 90, 50, 0, 70, Halla las raíces cúbcas del complejo. Sea z ; z () 4; arg z arc tg 50 Por tanto, z Calcula y representa las sguentes raíces. a) b) 5 a) (85) = 5+ 60k O 45 X b) 5 = k O 4 70 X 7.. Resuelve la ecuacón: z z 4z 8 0. S tene raíces enteras, serán dvsoras del térmno ndependente. Por tanto, probaremos para ±, ±, ±4, ±8. z es una raíz, ya que S dvdmos la ecuacón ncal por el bnomo z, obtenemos: z z 4z 8 (z )(z 4) 0. Luego las raíces son: z, z 4 y z Halla todas las raíces reales y complejas de la ecuacón z z 4 6 z k 4 0 z 90 z 80 z 70 z 4

5 Soluconaro 7.5. Dada la ecuacón z 6 0, se puede resolver en el conjunto de los números reales? Halla todas las solucones reales y complejas. No se puede resolver en el conjunto R. z 6 ; la undad negatva es un complejo que tene módulo y argumento 80. Por tanto: z k 6 0 (cos 0 sen 0) z 0 (cos 0 sen 0) z 4 90 (cos 90 sen 90) z 70 (cos 70 sen 70) z 5 50 (cos 50 sen 50) z 0 (cos 0 sen 0) z 6 EJERCICIOS Números complejos en forma bnómca 7.6. Representa los afjos de los sguentes números complejos: a) 5 7 d) b) 4 e) c) f) 7 ( _ + 4) ( ) (7 + ) O X ( ) ( _ ) (5 _ 7) 7.7. Escrbe en forma bnómca los números complejos cuyos afjos son los puntos A, B, C, D, E y F. A A B C D E F 5 C B O D F X E 7.8. Escrbe los complejos opuestos de los sguentes números complejos. a) 7 c) e) 5 b) 5 4 d) 7 f) a) 7 c) e) 5 b) 5 4 d) 7 f) 7.9. Halla los conjugados de los sguentes complejos. a) c) e) 5 b) 7 5 d) 5 f) a) c) e) 5 b) 7 5 d) 5 f)

6 7.0. Dado el número complejo z : a) Calcula el módulo de los sguentes complejos: z, z, z, z, z, z, z, z. b) Representa sobre el plano los afjos de los complejos del apartado a. a) En todos los casos, el módulo es el msmo que z. b) z = _ z _ z = _ z z = z O X _ z = z 7.. Calcula las sguentes sumas. a) ( ) ( 6) c) e) ( 5 ) b) (6 4) ( ) d) ( ) ( 5) f) 7 (0 ) a) ( ) ( 6) d) ( ) ( 5) ( ) b) (6 4) ( ) e) ( 5) 6 c) f) 7 (0 ) 7.. Halla las sguentes dferencas. a) ( ) ( 6) c) 7 e) ( ) 7 5 b) (6 4) ( ) d) ( ) ( 5) f) ( ) a) ( ) ( 6) 4 9 d) ( ) ( 5) ( ) 7 b) (6 4) ( ) 7 6 e) ( ) c) f) ( ) Realza los sguentes productos. a) ( ) ( 6) c) 7 e) ( ) 7 5 b) (6 4) ( ) d) ( ) ( 5) f) ( ) a) ( ) ( 6) 4 8 d) ( ) ( 5) 0 ( 5) b) (6 4) ( ) 6 e) ( ) c) f) ( ) 6 9

7 Soluconaro 7.4. Calcula el nverso de los sguentes complejos. a) 5 c) 4 e) b) 7 d) 7 f) 5 5 a) 5 ( 5)( 5) b) 7 (7 )(7 ) (4 ) c) 4 5 (4 )(4 ) 0 d) e) 8 f) ( )( ) Calcula los sguentes cocentes. a) ( ) : ( 6) c) : 7 e) ( ) : 7 5 b) (6 4) : ( ) d) ( ) : ( 5) f) : ( ) ( )( 6) a) 6 ( 6)( 6) (6 4)( ) b) 4 8 ( )( ) 5 5 c) : 7 9 d) ( ) ( 5) ( 5)( 5) ( ) e) ( ) 6 9 f) ( )( ) 7.6. Halla las sguentes potencas de. a) 7 c) 59 b) 4 d) a) c) b) d) 4 5

8 7.7. Calcula las potencas de exponente, y 4 de los sguentes números complejos. a) b) c) d) a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 b) ( ) ( ) ( ) ( ) (5 ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) (5 ) c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) () () 4 d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4) ( ) ( ) 4 ( 4) Realza las sguentes operacones con complejos. a) ( ) : (4 ) b) c) ( 5 ) d) 5 7 a) ( 4 ) (4 ) (4 )( 4 ) b) c) ( 5 ) ( ) d) ( ) Calcula: a) () 6 b) 46 c) () 5 d) e) ( ) 4 f) ( ) a) () b) c) () d) 4 8 e) ( ) 4 f) ( ) 4

9 Soluconaro 7.0. Representa en el plano complejo los conjuntos de números que cumplen las sguentes condcones. a) z c) Parte real de z 5 e) z z b) z z 9 d) Parte magnara de z f) z z a) z Sea z x y; z x y x y 9 Es una crcunferenca de centro el orgen y rado. b) z z 9 (x y) (x y) 9x y 9 Se trata del msmo lugar geométrco que el del apartado anteror. O X c) x 5 Es una recta paralela al eje y. d) y Es una recta paralela al eje x. c) d) O X e) z x y x y x y x 0; x 0. Es el eje y. z x y f) z z x y x y x y x y. Es la bsectrz de los cuadrantes x y prmero y tercero. e) O f) X Números complejos en forma polar 7.. Calcula el módulo y el argumento de los sguentes números complejos representándolos prevamente. a) c) e) b) d) f) a) z ; z ; arg z 5 b) z ; z ; arg z 45 c) z ; z ; arg z 90 d) z ; z ; arg z 70 e) z ; z ; arg z 5 f) z ; z ; arg z 5 _ + + O X

10 7.. Halla el módulo y el argumento de los sguentes números complejos. a) b) 5 c) 7 d) e) f) a) z ; z ; arg z 80 b) z 5; z 5; arg z 90 c) z 7 ; z 7; arg z 70 d) z ; z 0 ; arg z arc tg 0 e) z ; z 7; arg z arc tg arc tg , f) z ; z ; arg z arc tg Calcula las sguentes potencas. a) ( ) 5 b) ( ) c) ( ) 0 d) ( ) 6 a) ( ) 5 (45) 5 (4) 5 45 (4) 5 4(cos 5 sen 5) b) ( ) c) ( ) 0 (45) 0 () º 04 d) ( ) 6 (4 60 ) 6 (4 6 ) Calcula las sguentes raíces. a) b) 4 c) 6 d) 7 e) 6 79 f) 4 6(co s 80en s0) 8 60 a) 80 d) e) b) / / /4 8 5/ c) 6 6 ±6 f) 4 6(cos 80 n se)

11 Soluconaro 7.5. Halla la potenca ( ) 0. ( ) 0 (5) 0 () (cos 4050 sen 4050) 5 (cos 90 sen 90) 5 (0 ) Sea z 0 0. Calcula z 5 y 4 z. z arc tg 0 arc tg (); z 5 (0 00 ) (cos 500 sen 500) z = Halla la potenca décma del número complejo z, expresando prevamente el complejo en forma polar. z ; z ; arg z arc tg 0 z ( 0 ) z 7.8. a) Escrbe en forma bnómca el número complejo cuyo afjo es el punto A. A O X b) Multplca el complejo obtendo por el complejo 90. c) Multplca el complejo obtendo en el apartado b por el número complejo 70. Qué obtenes? a) z A b) Como 90, se tene: z a 90 ( ) c) ( ) () z A Se obtene el número complejo ncal, ya que el prmer producto equvale a un gro de centro el orgen y ángulo de 90, y el segundo producto equvale a un gro de centro el orgen y ángulo de 70. Por tanto, al componer los dos movmentos se obtene un gro de centro el orgen y ampltud de 60, es decr, la dentdad.

12 7.9. Sea z 8 8. Calcula 5 z y z 4. z ; 8 arc tg arc tg z 4 (6 0 ) (cos 840 sen 840) Halla las raíces cuartas de 5. 5 () ( ) ( 45 )( ) k Halla las raíces cúbcas de los sguentes números complejos. a) 7 7 b) 4 4 c) d) 5 5 a) n n { 0, 0, 50 } b) n 6060 n { 0; 40 ; 60 } c) n { 5; 5; 5} d) n n 55} { ; ; Un octógono regular nscrto en la crcunferenca de rado y centro el orgen tene uno de sus vértces en el afjo del número complejo 45. Cuáles son los números complejos cuyos afjos ocupan los sete vértces restantes? ( 45 ) 8 = = 8 60 = 8. Los números serán las raíces octavas de 8. Dado que conocemos una de ellas, 45, para obtener las demás solo hay que r aplcando un gro centrado en el orgen de ángulo Los números restantes son 90, 5, 80, 5, 70, 5 y 60.

13 Soluconaro 7.4. Escrbe en forma polar los números complejos cuyos afjos son los vértces del trángulo equlátero nscrto en la crcunferenca de centro el orgen O y rado de la fgura. z El prmer número es 5. Los otros dos se obtenen medante gros de centro O y ampltud Por tanto, serán 5 y 55. O z 5 X z Los afjos de los números complejos z, z y z son los vértces de un trángulo equlátero cuyo ncentro es el orgen de coordenadas. Sabendo que z, calcula z y z. z O z = + X z z 0 ( ) (cos 0 sen 0) z z 0 (cos 0 sen 0) z Cada raíz se obtene a partr de la anteror sn más que multplcar por el número complejo de módulo y argumento 0, que equvale a un gro de 0. En forma polar, z 45, z 65, z Se consdera el complejo ; se gra 45º alrededor del orgen de coordenadas en sentdo contraro a las agujas del reloj. Halla el complejo obtendo después del gro ; (cos 05 sen 05) ( 6) (6 ) Resolucón de ecuacones Encuentra las ecuacones de segundo grado cuyas raíces son las sguentes. a), b), c), d) 45, 5 a) (x ) (x ) 0; x 0 c) (x ) (x ) 0; x 6x 0 b) (x ) (x ) 0; x x 0 d) 45 ; 5, como en b Para cada uno de los sguentes números complejos, encuentra una ecuacón cuadrátca con coefcentes reales de la que sea solucón: a) 5 b) c) d) En todos los casos, la otra solucón es el conjugado del número dado. a) (x 5)(x 5) 0 x 5 0 b) (x )(x ) 0 x 4x 5 0 c) (x )(x ) 0 x x 0 0 d) x x 0 6x 6x 0

14 7.48. Resuelve las sguentes ecuacones de segundo grado. a) x 6 0 c) x 6x 5 0 b) x 4x 5 0 d) 6x 6x 0 x 4 a) x 6 0 c) x 6x 5 0 x 4 x 7 b) x 4x 5 0 d) 6x 6x 0 x 7 x 4 x 4 x 4 x Resuelve las sguentes ecuacones de tercer grado. a) x 8 c) x 8x x 0 0 b) x d) x 4x x 0 0 Usando la regla de Ruffn se halla la raíz real, y se resuelve el polnomo de segundo grado restante. x a) x 8 x x b) x x 70 x c) x 8x x 0 0 x x 4 x d) x 4x x 0 0 x x 90 cos 90 sen 90 0 cos 0 sen 0 0 cos 0 sen Resuelve las sguentes ecuacones de cuarto grado. a) x 4 c) x 4 x 6x x 5 0 b) x 4 6 d) x 4 4x 4x 4x 5 0 a) x 4 x Raíces: 4, 4 b) x 4 6; x c) x 4 x 6x x k 4 60 k 4, 4, 4 x ; x ; x ; x Dado que no tene raíces reales, se puede dar la ndcacón de probar con x. x x x x d) x 4 4x 4x 4x 5 0; x ; x ; x ; x 7.5. La ecuacón x 49x 88x 7 0 tene exactamente tres solucones. Pueden ser las tres magnaras? No, ya que s z es una solucón, el conjugado de z tambén lo es. El número de raíces complejas debe ser par.

15 Soluconaro 7.5. Halla todas las solucones reales e magnaras de estas ecuacones. a) z 8 0 c) z 0 e) z 6 0 b) z z 0 d) z 6 8z 7 0 f) z a) z 8 0; z z 0 ; z 45 ; z 90 ; z 4 5 ; z 5 80 ; z 6 5 ; z 7 70 ; z 8 5 b) z z 0; z ; z c) z 0; z 80 z 60 ; z 80 ; z 00 d) z 6 8z 7 0; z w; w 8w 7 0 w z 7; z 7 z 0 ; z 0 w z ; z z 4 0 ; z 5 0 ; z 6 40 ; z 40 e) z 6 0; z 6 ; z 6 z 6 ; 90 {z 6 5; z 6 75; z 6 5; z ; z ; z 6 6 f) z ; z 4 5 5; z z {z ; z ; z ; z Comprueba que y son solucones de la ecuacón x 4 4x 7x 8x 0 0 y encuentra las otras solucones. () 4 4() 7() ( ) 4 4( ) 7( ) 8( ) 0 (7 4) (8 44) ( 8) (6 8) 0 0 Las otras dos solucones son los complejos conjugados de y, es decr, y Resuelve la sguente ecuacón. x ( )x 0 ( ) 4 ( x ( )x 0 x ) 4 x ( )x 0 x

16 PROBLEMAS Halla x para que el cocente sea un número complejo cuyo afjo se encuentra en la bsectrz del prmero x y tercer cuadrante. ( ) ( x ) x x x ( x ) ( x ) x x. Los afjos que se encuentran en la bsectrz del prmero y tercer cuadrantes tenen sus coordenadas guales; por tanto, x x x x x x x x Calcula x de manera que sea: a) Igual a. b) Un número real. c) Un número magnaro puro. x a) x ( ) ( ) x x ( x ) ( ) b) x x. S tene que ser un número real, x 0 x ( ) ( ) c) S tene que ser un número magnaro puro, x 0 x a Calcula el cocente y determna el valor de a para que el módulo del msmo sea. a ( a ) ( ) a a ; ( ) ( ) 5 5 a 5 a 5 () a ± El producto de dos números complejos es 4, y el cubo de uno de ellos, dvddo por el otro,. Halla los módulos y los argumentos de los complejos dados. 4 rs 4 r s n (r ) s 4 r s m rs 4 r(4r ) 4 r s 4 4r s n k m 60k 0 90 k k

17 Soluconaro Halla dos números cuyo cocente sea magnaro puro y cuya suma sea 5, sabendo que el módulo del dvdendo es doble del módulo del dvsor. Sean los números complejos z a b y z c d; del enuncado se deduce: Re a b c d ac bd 0 c d c 0 ac bd 0 d a c 5 (a b) (c d) 5 b d 0 z z a b c d a b 4c 4d Se opera para dejar una ecuacón con una sola ncógnta. a 5 c b d ac bd 0 c(5 c) b 0 b c(5 c) a b 4c 4d (5 c) c(5 c) 4c 4c(5 c) 5 5c c a 5 4 b 4 d b Solucón: (4 y ) o (4 y ) Dados los números complejos m y n, halla los valores que deben tener m y n para que el producto de los complejos dados sea gual a mn 8 mn ( m)( m) 8 4 m n 4 n m 4 m m 4 m 4m 4 0 m, n m, n 7.6. El producto de dos números complejos es 8. Halla sus módulos y argumentos, sabendo que uno de ellos es el cuadrado del otro. r r r r n (r ) r r r r ; r k; 0 40 k, k 0,, Se tenen las parejas de complejos: 60 y 4 0 ; 80 y 4 0 ; 00 y Un cuadrado tene su centro en el orgen de coordenadas y un vértce en el punto (4, 0). Determna los complejos cuyos afjos sean los otros tres vértces. Los otros afjos son (0, 4), (4, 0) y (0, 4). Por tanto, los complejos son 4, 4, 4 y 4.

18 7.6. Con la nformacón de la fgura, calcula las coordenadas de todos los vértces del hexágono regular con centro el orgen que aparecen en ella. A B S el vértce A corresponde al complejo z A 4, para obtener los demás se realzan gros de centro el orgen y ángulo F O C X r z A 5; arg z arc tg 4 65 z B 5 60, z C 5 0, z D 5 80, z E 5 40, z F 5 00 Tambén se puede operar en forma bnómca. Por ejemplo, E D z B z A 60 ( 4) Halla dos números complejos sabendo que su suma es 6 y que el cocente de los msmos es un número magnaro puro. Además, la parte real de uno de los sumandos es la undad negatva. Los complejos serán de la forma a b, c d. a c c a (a b) (c d) 6 b d 6 Re a b c d 0 ac bd 0 Re(a b) a c d 7 b 7 d 7 b 7 Entonces las solucones son: b d 6 bd 0 b 6 d d(6 d) d 6d 0 z ( 7) y z ( 7) o ben z ( 7) y z ( 7) Halla dos números complejos z y z tales que z z es magnaro puro, z z 8 y z 8. (Hay dos solucones.) z Se resuelve el sstema formado por las dos últmas ecuacones, y se comprueba qué solucones cumplen la prmera condcón. z z 8 z 8 z z 8z 8z 8 z z 8 Hay dos solucones: z 8, z y z 8, z. En los dos casos aparecen números magnaros puros, luego su suma tambén lo es, por lo que verfcan la prmera condcón.

19 Soluconaro Demuestra que. ( ) ( )( ) 4 Por tanto, Sea z. a) Comprueba que z y que z z. b) Deduce z. c) Calcula z 00. a) z z b) z z z z z z, z c) z 00 = z 000+ = (z ) 000 z 000 z z Se multplcan los números complejos de los afjos de un trángulo equlátero de centro el orgen por el número 5. Uno de los vértces del trángulo está en el afjo del número. Cuáles son los números complejos que resultan tras el producto? S uno de los vértces corresponde a 0, su transformado será Los otros vértces transformados se obtenen aplcando un gro de centro el orgen y ángulo Se obtenen los números 5 y *. Se dan los puntos A( ), B( ) y C( ) afjos de tres números complejos que determnan un paralelogramo 4 ABCD. Calcula las coordenadas de D y las del centro del paralelogramo. Pasamos a cartesanas las coordenadas polares: A(, 0); B(0, ); C(, ) AB DC: (, ) ( x, y) x ; y D(, ) AC AM: (4, ) (x, y) x ; y M, El orgen de coordenadas O y el punto A(, ) son vértces consecutvos de un cuadrado. Halla los otros dos vértces sabendo que tenen su ordenada postva. Para obtener el vértce opuesto de A se aplca un gro de centro el orgen y ángulo 90º. C ( ) (, ) El punto restante B puede obtenerse vectoralmente. OB OA OC B A C (0, ).

20 7.7. La dstanca del afjo P de un número complejo al orgen es 5. S se aplca un gro de 90 con centro el orgen, se obtene un punto P de abscsa. Halla el número complejo cuyo afjo es el punto P. Sea z a b el número complejo cuyo afjo es el punto P. Del enuncado se deduce: z 5 a b 5 (a b) 90 (a b) b a b b a 4 Por tanto, el número complejo peddo es z 4 o z 4. (Convene observar que realzar un gro de 90 equvale a multplcar por el complejo 90, que es precsamente ) Halla el lugar geométrco de los afjos de los números complejos de la forma a b tales que b sea constante. a S b a k, quere decr que arc tg b arc tg k, es decr, es el lugar geométrco de los puntos del plano que tenen a tangente constante. Por tanto, se trata de una recta que pasa por el orgen Demuestra que se verfcan las sguentes gualdades de complejos: a) z z z z d)* z z z z b) (z) z e) z z z c) z z z z f) z (z ) a) z a b; z c d z z (a c) (b d) z a b; z c d z z (a c) (b d) z z b) z r ; z r (z) r () r z. c) z r ; z r ; z z (r r) ; z r ; z r ; z z (r r) z z d) z z r r = r r () = r r z z z z e) z z r r r 0 z f) z z r r z r r r (z )

21 Soluconaro Los afjos de tres números complejos forman un trángulo de vértces A(, 0), B(, 4) y C(0, 5). S se multplca cada uno de los números complejos por el número, se obtenen otros tres números complejos cuyos afjos son A, B y C, vértces del trángulo ABC. Calcula las coordenadas de estos vértces. z A ; z B 4; z A z B ( 4) 4 z C 5; z C (5) 5 El trángulo de vértces A, B y C es el que se obtene al grar el trángulo ncal ABC en un gro de centro el orgen y ampltud 90. PROFUNDIZACIÓN Demuestra que para cualquer número natural n, la sguente gualdad es certa. n n n n n n n n n n n n n ( ) n ( ) n 0 0 n n n n n n n n n n n n n 0 n n Halla un número complejo cuyo cubo es un número real y la componente real del msmo es superor en una undad a la componente magnara. z (a ) a z (a ) (a ) a (a ) a a (a a ) (a 6a a) a 0 z a z lm(z ) 0 a 6a a 0 a z Demuestra que para el complejo z cos a sen a se verfca: a) cos a sen a z b) z cos a sen a c) S a 45, halla las raíces cúbcas y de orden qunto del número complejo z. a) z cos a sen a cos (a) sen (a) a z a cos a sen a a b) z cos a sen a a z a cos (a) sen (a) cos a sen a c) z n a { 05 ; 5 ; 45 }; n { 6 ; 5 ; 07 ; 79 ; 5 }

22 7.78. Se multplcan los números complejos de los afjos de un trángulo equlátero de centro el orgen de coordenadas por un número r, y los afjos del resultado están en los puntos medos de los lados del trángulo orgnal. Calcula r. Dado que los afjos del resultado están en los puntos medos de los lados del trángulo orgnal, r. Para que los afjos del resultado estén en los lados del trángulo orgnal, hay tres posbldades: 0, 0 y Una traslacón se puede representar en el plano complejo como la suma de un número complejo fjo, cuyo afjo tene por vector de poscón el vector guía de la traslacón. Sea t (, ) el vector guía de una traslacón. a) Escrbe el número complejo equvalente a este vector guía. b) S los puntos A, B, C y D de la fgura sufren una traslacón de vector t, escrbe los complejos asocados a los puntos de partda y a los trasladados. c) S P(4, ) es un vértce de un pentágono regular centrado en el orgen de coordenadas, encuentra las coordenadas de los vértces del pentágono formado a partr del anteror medante una traslacón de vector t. C D O t B A X a) z t b) z A z A 4 4; z B z B ; z C z C ; z D z D 5 c) Los vértces del pentágono de partda se obtenen medante gros de centro el orgen de coordenadas y ángulo Sumando a cada uno z t se obtenen los vértces del pentágono trasladado. S z P 4, arg (z P ) art tg 65 4 Vértces trasladados: z P 4 z P 6 z z P ,9 z 6 5,9 z z P ,5 4,8 z 0,5 7,8 z z P , z, z 4 z P ,6 4,7 z 4 0,4, El punto P se ha obtendo grando el punto P un ángulo, con centro de gro en el punto C. S z, z y z c son los números complejos cuyos afjos son los puntos P, P y C, demuestra que se cumple: z (z z c ) z c Aplca este resultado para hallar el trángulo que se forma al grar 90º respecto del punto C(, ) el trángulo de vértces A(0, ), B(, ) y O(0, 0). Los afjos de los números complejos z z c y z z c son los puntos trasladados de P y P según un vector OC. El trasladado de C sguendo este msmo vector es el orgen de coordenadas. Como la traslacón conserva los ángulos, z z c (z z c ) z (z z c ) z c Los vértces correspondentes son: z A (z A z C ) 90 z C ( ( )) z B ( ( )) 4 z O (0 ( ))

23 Soluconaro 7.8. Sea z x y un número complejo, y z x y su transformado por un movmento en el plano. Demuestra que las sguentes gualdades representan los movmentos que se descrben a contnuacón. a) z z. Smetría respecto al orgen. b) z z. Smetría respecto el eje de abscsas. c) z z a, sendo a a a. Traslacón de vector guía v (a, a ). d) z z. Gro de centro el orgen y ampltud. e) z kz, sendo k un número real no nulo. Homoteca de centro el orgen y razón k. a) z z xy (x y) x y x x, y y Por tanto, es una smetría respecto del orgen. b) z z x y x y x x, y y Por tanto, es una smetría respecto del eje de abscsas. c) z z a, a a a xy (x y) (a a ) x x a ; y y a Por tanto, es una traslacón de vector guía v (a, a ). d) z z arg z arg arg z arg (z); z ; z z Por tanto, es un gro de centro el orgen y ampltud. Susttuyendo en la gualdad dada, obtenemos sus ecuacones: x y (cos sen ) (x y) x cos y sen (x sen y cos ) x x cos y sen y x sen y cos e) z kz k R {0} x y k(x y) kx ky x kx; y ky Por tanto, es una homoteca de centro el orgen y razón k.

24 7.8. Sea z x y un número complejo, y z x y, su complejo transformado en un movmento cuyas ecuacones venen dadas por las relacones: a) z z c) z 5z b) z z d) z 0 z Indca en cada caso de qué movmento o movmentos sucesvos se trata y halla las coordenadas del transformado del punto P(, ) en cada movmento. a) z z (x y) x y x x yy Movmentos:.º Smetría respecto del eje de abscsas..º Homoteca de centro el orgen y k El transformado de P(, ) es P(6, 0). b) z (x y) ( ) [(x 4) (y 6)] x 4 y 6 x x 4, y y 6 Movmentos:.º Traslacón vector guía v (4, 6) Movmentos:.º Homoteca k El transformado de P(, ) es P,. c) z 5z 5(x y) 5x 5y x 5x, y 5y Movmentos:.º Homoteca k 5 Movmentos:.º Smetría respecto del orgen El transformado de P(, ) es P(0, 5). d) z 0 z ( z) 0arg z Movmentos:.º Homoteca k Movmentos:.º Gro de centro el orgen y ampltud 0 x (x cos 0 y sen 0) y (x sen 0 y cos 0) x () x y () y El transformado de P(, ) es P(, ).