Resuelve. Unidad 6. Números complejos. BACHILLERATO Matemáticas I. [x ( )][x (2 3 1)] = Cómo operar con 1? Página 147

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1 Undad. Números complejos Matemátcas I Resuelve Págna 7 Cómo operar con? Vamos a proceder como los antguos algebrstas: cuando nos encontremos con seguremos adelante operando con ella con naturaldad y tenendo en cuenta que ( ).. Para comprobar que a y b son las raíces de un polnomo, podemos poner (x a)(x b) y operar para obtener dcho polnomo. Por ejemplo, vamos a aplcar esta técnca para comprobar que y son las raíces del polnomo x x : [x ( )][x ( )] x ( )x ( )x ( )( ) x x x x x ( ) x x 9 ( ) x x Halla las raíces de la ecuacón x x 5 y, aplcando la técnca que acabamos de ver, comprueba que efectvamente lo son. x ± 0 ± ± ± x ( ) Bx ( ) B x x( ) x( ) ( )( ) x x ( ) x x 5. Comprobemos ahora que tene tres raíces cúbcas:, y. La prmera es clara: ( ) ( )( )( ) Veamos la segunda: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9( ) ( ) 9 Comprueba tú la tercera vendo que ( ) es gual a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9

2 Undad. Números complejos Matemátcas I En qué conssten los números complejos Págna Verdadero o falso? a) El número 7 es un número real. Por tanto, no es un número complejo. b) S a b es un número complejo, entonces no puede ser número real. c) Para que el número complejo a b sea magnaro hace falta que a sea cero. d) Para que el número complejo a b sea magnaro es necesaro que b sea dstnto de cero. e) El número 0 0 n es complejo n es real. f ) El número 5 no tene conjugado. g) S un número complejo concde con su conjugado, entonces es un número real. h) S un número complejo concde con su opuesto, entonces es el cero. ) S el opuesto de un número complejo concde con su conjugado, entonces es magnaro puro. a) Falso. Los números reales son números complejos cuya parte magnara es cero. b) Falso. S b 0 el número complejo tambén es un número real. c) Falso. La parte real no nfluye. Es magnaro s su parte magnara no es nula. d) Verdadero. e) Falso. El número 0 0 es real pero no es magnaro porque su parte magnara es cero. f) Falso. El conjugado de es g) Verdadero. S a b a b b b b 0 b 0 Por tanto, su parte magnara es cero y es un número real. a 0 a 0 h) Verdadero. S a b a b a b 0 * b 0 b 0 ) Verdadero (sempre que el número no sea cero). S a b a b a a a 0 a 0 De los sguentes números complejos:, 5,, 7, 0 a) Cuáles son números reales? Ponlos en forma bnómca. b) Cuáles son magnaros? c) Cuáles son magnaros puros? Ponlos en forma bnómca. d) Escrbe el opuesto de cada uno de ellos. e) Escrbe el conjugado de cada uno de ellos. a) y 0 son números reales. b) Los números magnaros son, 5 y. c) 0 es magnaro puro. d) El opuesto de es. El opuesto de 5 es 5. El opuesto de es. El opuesto de 7 es 7. El opuesto de 0 es 0. e) El conjugado de es. El conjugado de 5 es 5. El conjugado de es. El conjugado de 7 es 7. El conjugado de 0 es 0.

3 Undad. Números complejos Matemátcas I Págna 9 Representa gráfcamente los sguentes números complejos y d cuáles son reales, cuáles magnaros y, de estos, cuáles son magnaros puros: S llamamos: 5 ; 5 ; 5; 7; ; 0; ; 7; Son reales, y. El resto son magnaros. Son magnaros puros, 5 y 9. Resuelve las ecuacones y representa las solucones. a) 0 b) 0 0 c) 7 0 d) 7 0 a) 0 ± ± Las solucones son y. b) 0 0 ± ± ± Las solucones son: y. c) ± 9 ± Las solucones son y. d) ± 9 ± Las solucones son: y.

4 Undad. Números complejos Matemátcas I 5 Representa gráfcamente cada número complejo, su opuesto y su conjugado: a) 5 b) 5 c) d) e) 5 f ) 0 g) h) 5 ) a) 5 5 * b) * 5 c) * d) * e) * f) * 0 0 g) 0 0 * h) * 0 5

5 Undad. Números complejos Matemátcas I ) 0 0 * 0 Calcula,, 5,, 0,,,. Da un crtero para smplfcar potencas de de exponente natural n 0 n n 0 n Crtero váldo desde n 0. 5

6 Undad. Números complejos Matemátcas I Operacones con números complejos en forma bnómca Págna 50 Verdadero o falso? a) La suma de un número complejo y su opuesto es 0. b) La suma de un número complejo y su conjugado es un número magnaro puro. c) La suma de un número complejo y su conjugado es un número real. d) El cuadrado de un número complejo cualquera es un número real. e) El cuadrado de un número magnaro puro es un número real. f ) El cocente de dos números magnaros puros es un número real pues a) Verdadero. En efecto, (a b) ( a b) 0. b) Falso. Por ejemplo, (5 ) (5 ). c) Verdadero. Porque (a b) (a b) a es un número real. d) Falso. Por ejemplo, ( ) no es un número real. e) Verdadero. En efecto, (b ) b b es un número real. a a. a ' a' f) Verdadero. Podemos smplfcar la fraccón dvdendo numerador y denomnador entre. Págna 5 Halo tú. Obtén un polnomo de segundo grado cuyas raíces sean y. Px () ( x )[ x ( )] ( x )( x ) x ( ) x ( ) x Halo tú. Cuánto ha de valer x para que ( )( x ) sea real? ( )( x ) x 9 x x (9 x) Para que sea un número real su parte magnara debe ser cero. Por tanto: 9 x 0 x 9 Efectúa las sguentes operacones y smplfca el resultado: a) ( 5 ) ( ) ( 5 ) b) ( ) (5 ) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) (5 ) e) ( ) ( ) ( ) f ) j) g) 5 k) h) ) 5 5 l) c5 m m) ( ) ( ) 5 a) ( 5) ( ) ( 5 ) 5 0 b) ( ) (5 ) ( ) 5 9 c) ( ) ( ) d) ( ) (5 ) e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5) ( ) f) ( 5) ( ) ( )( ) 0 0 ( )( ) 0

7 Undad. Números complejos Matemátcas I g) h) ) j) k) ( )( ) ( )( ) ( )( 5) ( 5)( 5) ( 5 )( ) ( )( ) ( 5)( ) ( )( ) ( )( ) ( ) l) c5 m m) ( ) ( ) 9 ( ) 9 ( ) 9 ( 9 )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Obtén polnomos cuyas raíces sean: a) y b) y c) y (Observa que solo cuando las dos raíces son conjugadas, el polnomo tene coefcentes reales). a) [x ( )] [x ( )] [(x ) ] [(x ) ] (x ) ( ) x x x x x x 7 b) [x ( )] [x ] [x ] [x ] x 9 x 9 c) [x ( )] [x ( )] [(x ) ] [(x ) ] (x ) (x ) (x ) (x ) x x (x x ) x x (x ) x x x x ( )x ( ) Cuánto debe valer x para que (5 x ) sea magnaro puro? (5 x) 5 x 50x (5 x ) 50x Para que sea magnaro puro: 5 x 0 x 5 x ± 5 ± 5 Hay dos solucones: x 5, x 5 5 Representa gráfcamente, 5,. Comprueba que es una dagonal del paralelogramo de lados y

8 Undad. Números complejos Matemátcas I Números complejos en forma polar Págna 5 Verdadero o falso? a) Los módulos de dos números complejos opuestos son guales pero con sgnos dstntos. b) Los módulos de dos complejos opuestos son guales. c) Los módulos de dos complejos conjugados son guales. d) Los argumentos de dos números complejos opuestos dferen en 0. e) Los argumentos de dos números complejos conjugados son opuestos (α y α). f ) El argumento de cualquer número real es 0. g) El argumento de los números reales negatvos es 0. h) El argumento de un magnaro puro es 90 o 70. a) Falso. El módulo de un número complejo no nulo sempre es un número postvo. b) Verdadero. S a b a b ( a) ( b) a b c) Verdadero. S a b a b a ( b) a b d) Verdadero. Podemos verlo en el gráfco sguente: 0 ' ' 0 e) Verdadero. Podemos verlo en el gráfco sguente: w w β β α α f) Falso. Solo los números reales postvos tenen argumento 0. g) Verdadero, porque sus afjos están en el eje horontal negatvo que forma 0 con el eje horontal postvo. h) Verdadero, porque su afjo está en el eje vertcal que forma 90 con el eje horontal postvo, en el caso en que la parte magnara sea postva, y 70 en el caso en que la parte magnara sea negatva.

9 Undad. Números complejos Matemátcas I Escrbe en forma polar los sguentes números complejos: a) b) c) d) 5 e) f ) 5 a) 0 b) 0 c) 9 5 d) 5 e) 90 f) ' Escrbe en forma bnómca los sguentes números complejos: a) 5 (π/) rad b) 5 c) 95 d) 0 e) 5 0 f ) 90 a) 5 5 cos π sen π (π/ ) b l e o b) ( cos5 sen5 ) 5 e o c) 95 5 d) ( cos0 sen0 ) 0 e o e) f) 90 Expresa en forma polar el opuesto y el conjugado del número complejo r α. Opuesto: r 0 α Conjugado: r 0 a 5 Escrbe en forma bnómca y en forma polar el complejo: (cos 0 sen 0 ) ( cos 0 sen0 ) 0 e o Sean los números complejos 0 y 0. a) Expresa y en forma bnómca. b) Halla y /, y pasa los resultados a forma polar. c) Compara los módulos y los argumentos de y de / con los de y e ntenta encontrar relacones entre ellos. a) ( cos 0 sen0 ) 0 e o ( cos 0 sen0 ) 0 e o b) ( ) e o 9 70 e o e o( ) 9 ( ) ( )( ) c m c) ( ) c m c m

10 Undad. Números complejos Matemátcas I Operacones con complejos en forma polar Págna 5 Verdadero o falso? a) Al multplcar un número complejo por la undad magnara, se gra 90 alrededor del orgen. b) Al dvdr por, se gra 90 alrededor del orgen en el sentdo de las agujas del reloj. c) El módulo del producto r α r' β puede ser menor que r. d) (r 5 ) es un número real negatvo. e) r 0 y r 0 son conjugados. f ) r 0 y r 0 son opuestos. a) Verdadero, porque 90. Al multplcar por mantenemos el módulo del número complejo y sumamos un ángulo de 90 a su argumento, es decr, lo gramos 90 en el sentdo contraro al de las agujas del reloj. b) Verdadero, porque 90. Al dvdr por mantenemos el módulo del número complejo y restamos un ángulo de 90 a su argumento, es decr, lo gramos 90 en el sentdo de las agujas del reloj. c) Verdadero. S r' < el módulo del producto, que es r r', es menor que r d) Verdadero. ( r ) ( r ) ( r ) que está en la parte negatva del eje real. e) Verdadero Por tanto, son números complejos conjugados. f) Verdadero. Los ángulos 0 y 0 se dferencan en 0. Por tanto, son números complejos opuestos. Págna 55 Halo tú. Halla / ; ;. 0 c m c m c m ( ) ( ) ( ) ( ) Efectúa estas operacones y da el resultado en forma polar y en forma bnómca: a) b) 5 : 5 c) d) 5 (π/) rad : 0 e) ( ) 5 f ) ( ) ( ) a) b) : ( cos0 sen0 ) e o c) ( cos0 sen0 ) e o d) 5 : 5 : 5 5( cos0 sen0 ) (π/) rad e o e) ( ) 5 ( ) ( cos 0 sen0 ) e o f) 90 0

11 Undad. Números complejos Matemátcas I Compara los resultados en cada caso. a) ( 0 ), ( 50 ), ( 70 ) b) ( 0 ), ( 50 ), ( 70 ), ( 0 ) a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) Dados los complejos 5 5, w 5, t, obtén en forma polar: a) t b) w c) w t d) w t 5 5 w 5 t 90 a) w 0 0 b) 55 c5 m w c) c5 m c5 m d) w w t t Expresa cos α y sen α en funcón de sen α y cos α utlando la fórmula de Movre. Ten en cuenta que: (a b) a a b ab b a ( ) ( cos a sen a) cos a cos asen a cos asen a sen a cos a cos asena cos asen a sen a ( cos a cos asen a) ( cos asen a sen a) Por otra parte: ( ) cosa sen a a a Por tanto: cosa cos a cos asen a sena cos asen a sen a 90 5

12 Undad. Números complejos Matemátcas I 5 Radcacón de números complejos Págna 57 Verdadero o falso? a) Los números reales negatvos no tenen raíces cuadradas en el campo complejo. b) El real 9 tene dos raíces magnaras puras: y. c) El número tene dos raíces cuartas reales, y, y otras dos magnaras puras, y. d) Nnguna de las cuatro raíces cuartas de es un número real. e) El número tene una raí cúbca real, el. Las otras dos raíces cúbcas son números magnaros conjugados. f ) es una raí qunta de 0. a) Falso. Las raíces cuadradas de los números reales negatvos son números complejos magnaros puros. b) Verdadero. Porque ( ) 9 y ( ) ( ) 9. c) Verdadero. Porque,( ), ( ) y ( ) ( ). d) Verdadero. La potenca cuarta de un número real no nulo sempre es un número postvo y no puede dar nunca. e) Verdadero. Las raíces están en los vértces de un trángulo equlátero y son 0, 0 y 00. Como los ángulos 00 y 0 son opuestos porque , los correspondentes números son conjugados. f) Verdadero: ( ) ( ) Halla las ses raíces sextas de. Represéntalas y exprésalas en forma bnómca. ; k 05,,,,, 0 ( 0 k)/ 0 k Las ses raíces son: Representacón Resuelve 7 0. Representa sus solucones. 0 ( 0 0 n)/ 0 0 n ; n 0,, ( cos 0 sen0 ) 0 e o 0 ( cos 0 sen0 ) 0 e o

13 Undad. Números complejos Matemátcas I Resuelve estas ecuacones: a) 0 b) 0 0 ( 0 0 k)/ 5 90 k a) 0 ; k 0,,, Las cuatro raíces son: ; ; ; ( 0 0 k)/ 0 0 k b) 0 ; k 0, 5,,,, Las ses raíces son: Calcula. a) b) c) 5 d) 70 ( 70 0 k)/ a) ; k 0,, Las tres raíces son: ( 0 0 k)/ 0 90 k b) ; k 0,,, Las cuatro raíces son: 0 e o 0 e o 0 e o 00 e o c) ; k 0, 0 ( 0 0 k)/ 90 0 k Las dos raíces son: ; d) 5 75 ( 75 0 k)/ 5 0 k; k 0,, Las tres raíces son: ; ; Comprueba que s y w son dos raíces sextas de, entonces tambén lo son los resultados de las sguentes operacones: w,, w, y w raíces sextas de, w ( w) w w es raí sexta de. b l w w w es raí sexta de. ( ) ( ) es raí sexta de. ( ) ( ) es raí sexta de.

14 Undad. Números complejos Matemátcas I 7 El número es la raí cuarta de un certo número complejo,. Halla las otras tres raíces cuartas de. 5 5' Las otras tres raíces cuartas de serán: 5 5 5' 90 5' 5 5 5' 0 5' 5 5 5' ' Calcula las sguentes raíces y representa gráfcamente sus solucones: a) 9 b) 7 c) d) 5 e) f ) a) 9 9 ; k 0, 0 ( 0 0 k)/ 90 0 k Las dos raíces son: ; ( 0 0 k)/ 0 0 k b) 7 7 ; k 0,, Las tres raíces son: ( cos 0 sen0 ) 0 e o 0 ( cos 00 sen00 ) 00 e o c) 5 ( 5 0 k)/ 05 0 k; k 0,, Las tres raíces son: 05 0, 7 7, 5 e o, 7 07, 5 d) 5 70 ( 70 0 k)/ 90 0 k; k 0,, 5 Las tres raíces son:

15 Undad. Números complejos Matemátcas I e) ( ) k)/ 5 7 k; k 0,,,, ( ) Las cnco raíces son:,9 0, 90,9 0,,, 5 0,, 5 f) 90 ( 90 0 k)/ 0 0 k; k 0,, Las tres raíces son:

16 Undad. Números complejos Matemátcas I Descrpcones gráfcas con números complejos Págna 5 Descrbe con palabras cada una de las famlas ( son los números complejos cuya parte real vale ), escrbe su ecuacón o necuacón (usando Re, Im,, arg) y da un representante de cada una de ellas. a) b) c) d) e) a) Re b) Im < c) d) > e) Arg 90 Representa. a) Re () b) Im () 0 c) < Re () 5 d) < e) Arg 0 a) b) c) d) e)

17 Undad. Números complejos Matemátcas I Ejerccos y problemas resueltos Págna 59. Operacones con números complejos en forma bnómca Halo tú. Calcula el valor de a y b para que se verfque a Calculamos el segundo membro de la gualdad. b ( b)( 5 ) 5 5b b 5 b ( 5b) 5 ( 5 )( 5 ) 5 9 Igualamos las partes real e magnara. Z a 5 b ] [ 5b ] 0 5b b \ a 5 b 5 a ( ) a. Números complejos conjugados b. 5 Halo tú. El producto de dos números complejos conjugados es 0 y el argumento de su cocente es 0. Hállalos. Llamemos r a y r a a los dos números complejos conjugados que buscamos. r a r a 0 r * a a 0 r r a /r a a a 0 a 0 Por tanto, los números son: ( ) 0 ( ) ( ) 0 0. Relacones entre las raones trgonométrcas de un ángulo y los números complejos Halo tú. Halla sen 5 y cos 5 a partr del cocente 5 : 0. 5 : 0 5 ( cos5 sen5 ) cos 5 sen5 _ ( cos 5 sen 5 ) 5 b ` ( cos 0 sen 0 ) 0 b a ( )( ) ( ) ( )( ) Por tanto: cos 5 sen5 Z ] cos 5 [ ] sen5 \ 7

18 Undad. Números complejos Matemátcas I Págna 0. Operacones con números complejos en forma polar Halo tú. Calcula y representa las solucones de ( ). Pasamos a forma polar tenendo en cuenta que se encuentra en el segundo cuadrante. ( ) ( ) tg a a 0 Ahora calculamos ( 0 ) ( ) Las raíces cuartas buscadas son: 0 0 0k ; k 0,,, S k 0 0 ( cos0 sen 0 ) S k 90 ( cos90 sen90 ) S k 0 ( cos0 sen0 ) S k 70 ( cos70 sen70 ) La representacón gráfca de las raíces es: 5. Resolucón de ecuacones en Halo tú. Resuelve estas ecuacones: a) 0 b) a) 0 0. Por tanto, 0 ( 0 0 k)/ ; k 0,,, S k 0 5 ( cos5 sen5 ) S k ( cos5 sen5 ) 5 S k ( cos5 sen5 ) 5 S k ( cos5 sen5 ) 5 ( ) b)

19 Undad. Números complejos Matemátcas I Ejerccos y problemas guados Págna. Números reales y números magnaros Hallar el valor que debe tener x para que el cocente a) Un número real. b) Un número magnaro puro. x sea: x ( x)( ) 9x x x ( 9x) ( )( ) 9 5 a) Para que sea real, la parte magnara debe ser 0. 9x 0 x 9 b) Para que sea magnaro puro, la parte real debe ser 0. x 0 x. Números complejos que cumplen certas condcones Hallar un número complejo que tenga el msmo módulo que y cuyo afjo esté en la bsectr del prmer o tercer cuadrante. El número buscado debe ser de la forma a a para que esté en la bsectr del prmer o tercer cuadrante. Luego: a a a a a ( ) ( ) 5 a 5 a 50 a 5 a * a 5 5 Por tanto, los números complejos buscados son 5 5 y Suma de números complejos expresados en forma polar Calcular: π π π Por tanto: π bcos π sen πl π ( cosπ sen π) π π π ( ) ( ) (que está en el cuarto cuadrante) ( ) ( ) tg a a 0 π rad 9

20 Undad. Números complejos Matemátcas I. Potenca y raíces de números complejos Una de las raíces sextas de un número complejo es. Calcular y el área del hexágono cuyos vértces son los afjos de las raíces sextas de. Hallar esos afjos. Como ( ), pasamos a forma polar el número que está en el segundo cuadrante. ( ) tg a a 50 ( ) ( ) ( k)/ ; k 0,,,,, 5 Las raíces y los afjos son: S k 0 0 ( cos0 sen0 ) A(, ) S k ( cos 90 sen 90 ) B( 0, ) 90 S k ( cos 50 sen50 ) C(, ) 50 S k ( cos 0 sen 0 ) D(, ) 0 S k ( cos 70 sen 70 ) E( 0, ) 5 70 S k 5 ( cos 0 sen 0 ) F(, ) 0 La longtud del lado del hexágono es gual al rado de la crcunferenca crcunscrta, que es gual al módulo de cualquera de las raíces, es decr,. El apotema del hexágono regular es cos 0. Por tanto, el área del hexágono es: perímetro apotema A u 5. Interpretacón gráfca de gualdades con números complejos Representar, en cada caso, los números complejos que cumplen la condcón dada. a) b) c) a) S a b a b a b a a Re() y se obtene la fgura a). b) S a b a b ( a b) b b b Im () y se obtene la fgura b). c) Como y el argumento puede ser cualquera, se obtene la crcunferenca de rado. a) b) c) Re () Im () 0

21 Undad. Números complejos Matemátcas I Ejerccos y problemas propuestos Págna Para practcar Números complejos en forma bnómca. Operacones Calcula. a) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) (5 ) c) ( )5 d) ( ) ( ) ( ) a) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 b) ( ) (5 ) 5 5 c) ( ) d) ( ) ( ) ( ) () Los puntos A, B, C, D corresponden a los afjos de los números complejos,,,. Efectúa y representa. a) b) ( ) c) 5 ( ) B C D A d) 5 a) ( 5 ) ( )( ) 0 b) ' ( ) [ ( 5 )] ( 7 ) 9 5( ) ( ) ( ) c) 55 5 ( 5 5)( ) '' ( ) ( )( ) d) ''' Representacón gráfca: 5 ( ) ( 7 )( ) 9 ( )( ) '' 0 ''' 0 '

22 Undad. Números complejos Matemátcas I Calcula en forma bnómca. a) ( )( ) b) ( )( ) c) 5 ( ) d) a) ( )( ) ( )( ) ( )( ) b) ( )( ) ( )( ) ( )( ) c) 5 ( )( ) ( ) ( )( ) 9 d) ( )( ) ( )( ) 9 ( )( ) ( )( ) Dados los números complejos, w, t, calcula: a) wt b) t w (t ) c) w t d) t w e) t w f ) wt ; w ; t a) wt ( )( )( ) ( 9 )( ) ( )( ) b) t wt ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( 5) ( ) ( )( 5) ( ) ( 5 0) ( ) ( 7 7) 9 c) w t ( ) ( )( ) ( ) 9 d) e) t ( ) ( ) ( ) w ( ) ( ) 9 t ( w ) ( ) ( ) 9 ( ) f) c5 m( ) wt ( ) ( )( ) 9 ( )( ) 0 0

23 Undad. Números complejos Matemátcas I 5 Calcula. a) 7 b) c) 7 d) e) a) 7 b) c) 7 d) 0 e) 7 0 Dado el número complejo a) 0 b), prueba que: a) e o e o e o 0 b) ( ) ( )( ) ( ) ( ) (lo habíamos calculado en a). Por tanto;. 7 Calcula m y n para que se verfque la gualdad ( m ) (n 5 ) 7. ( m) (n 5) 7 ( n) ( m 5) 7 n 7 n 5 * m 5 m 7 Determna k para que el cocente k sea gual a. Z k ( k )( ) k k ( k ) ( k k) ] k k k c m c m [ ( )( ) ] k k \ Por tanto, k. 9 Dados los complejos a y b, halla a y b para que su producto sea gual a. ( a)( b) b a ab b a ab ( ab) ( b a) ab * b a b a a c a m a a a a a a a a 0 a ± a ± b a b

24 Undad. Números complejos Matemátcas I Números complejos en forma polar 0 Representa estos números complejos, sus opuestos y sus conjugados. Exprésalos en forma polar: a) b) c) d) e) f ) g) h) a) 5 Opuesto: 5 Conjugado: 5 b) 5 Opuesto: 5 Conjugado: 5 c) 0 Opuesto: 0 Conjugado: 0 d) 0 Opuesto: 0 Conjugado: e) 0 50 Opuesto: 0 Conjugado: 0 f) 90 Opuesto: 70 Conjugado: 70 g) c m Opuesto: Conjugado: 70 c m 90 c m 90 h) 0 Opuesto: 0 Conjugado: 00 / /

25 Undad. Números complejos Matemátcas I Escrbe en forma bnómca estos números complejos: a) 5 b) (π/) c) 0 d) 7 0 e) (π/) f ) 5 70 g) 50 h) 00 a) ( cos5 sen5 ) 5 e o b) cos π sen π (π/ ) b l e o c) 0 ( cos0 sen0 ) ( 0) d) 70 7 e) cos π sen π (π/ ) f) g) cos50 sen50 50 h) 00 ( cos00 sen00 ) ( 0, 7 09, ) 0, 9 9, Dados los números complejos: 70, 0 ; 5, calcula: a) b) c) d) e) f) g) h) ) a) 0 b) 75 c) 5 d) 5, 5 e) f) 50 0 g) 0 h) ) 0 Expresa en forma polar y calcula. a) ( ) 5 b) c) d) e) ( ) f ) ( ) a) ( ) 5 ( ) e o 00 b) ( 00 0 n)/ n; n 0,,, Las cuatro raíces son: 0 ( 0 k)/ 90 k c) ; k 0,,, 5, 05 Las cuatro raíces son: d) 90 ( 90 0 k)/ 0 0 k ; k 0,, Las tres raíces son: e) ( ) ( ) ' 90 ' 00 ' f) ( ) ( 5 ) 5 5 5

26 Undad. Números complejos Matemátcas I Calcula y representa gráfcamente el resultado. a) e o b) a) 5 e o f p fe o p e o e o 0 ( cos5 sen5 ) e o b) ( )( ) ( )( ) e o f p ; k 0,, ' 0 k Las tres raíces son: 0, 75 0, ' 0, 9 0, ' 5 5 ' ' ( 7 ' 0 k)/ 0, 09 0, 5 5 Calcula y representa las solucones. a) b) c) 7 a) 00 ( 00 0 k)/ 00 0 k; k 0,, Las tres raíces son: 00 0,5,97 0,5, 0, 0, 0 ( 0 0 k)/ 5 90 k b) ; k 0,,, Las cuatro raíces son: ( 70 0 k)/ c) 7 7 ; k 0,, Las tres raíces son:

27 Undad. Números complejos Matemátcas I Calcula pasando a forma polar. a) ( ) 5 b) ( ) 5 c) d) a) ( ) 5 ( ) ( cos sen ) e o b) e o e o ( ) 5 ( ) ( cos5 sen5 ) 5 e o 0 ( 0 0 k)/ 0 0 k c) ; k 0,,,,, 5 d) Las ses raíces son: c m c m c m ; k 0, Las dos raíces son: 5 c m c m 90 0 ( 0 0 k)/ 90 0 k 70 7 Expresa en forma polar, su opuesto, y su conjugado en cada uno de estos casos: a) b) c) d) 5 e) 7 f ) a) ; ; b) ; ; c) ; ; d) 5 5 ; 5 5 ; e) 7 7 ; 7 7 ; f) 5, ; 55, ; 5, 7 7

28 Undad. Números complejos Matemátcas I Representa los polígonos regulares que tenen por vértces los afjos de las sguentes raíces: 5 a) b) c) 5 5 a) 90 ( 90 0 k)/ 5 7 k; k 0,,,, Las cnco raíces son: ; 90 ; ; ; 0 Representacón del polígono (pentágono): b) 0 ( 0 0 k)/ 0 0 k; k 0,,,,, 5 Las ses raíces son: ; ; ; ; ; Representacón del polígono (hexágono): 0 ( k)/ ' k c) ; k 0,,, Las cuatro raíces son: ; ; ; Representacón del polígono (cuadrado): 70 ' 970 ' 7 0' 77 0' 9 Calcula 5 y, sendo. Prmero, pasamos a forma polar: c m e o tg a a 0 porque está en el segundo cuadrante. Luego 0. 5 ( ) ( ) ( ) ( 0 0 k)/ ( ) ; k 0,,, S k 0 ( cos 0 sen 0 ) 0 S k ( cos 50 sen50 ) 50 S k ( cos 0 sen 0 ) 0 S k ( cos 0 sen 0 ) 0

29 Undad. Números complejos Matemátcas I Págna Ecuacones y sstemas en 0 Resuelve las sguentes ecuacones y expresa las solucones en forma bnómca: a) 0 b) 0 c) 7 0 d) 0 a) 0 ± ± 5 b) 0 ± ± 5 ± c) 7 0 ± 9 ± 9 ± 9 9 d) 0 ± ± ± Resuelve estas ecuacones: a) 5 0 b) 7 0 c) 0 d) 0 a) ( 0 0 k)/ 5 7 k; k 0,,,, Las cnco raíces son: b) ( 70 0 k)/ 90 0 k; k 0,, Las tres raíces son: c) 0 70 ( 70 0 k)/ 90 0 k; k 0,, Las tres raíces son: d) ( 90 0 k)/ 0 ' 90 k; k 0,,, Las cuatro raíces son: 0', 0, 5 0 ' 0, 5, 0 0 ', 0, 5 0, 5, 9 0 ' 9

30 Undad. Números complejos Matemátcas I Resuelve las sguentes ecuacones en : a) 0 b) 5 0 c) 0 0 d) 0 a) 0 70 ( 70 0 k)/ ; k 0, Las dos raíces son:, 5 5 b) 5 0 ± 0 ± ± ± c) ± 5 d) 0 t t t 0 t ± 9 ± 5 ± 9 ± t t 9 Las solucones son: 90 ; 70 ; 90 ; 70 Obtén las cuatro solucones de las sguentes ecuacones: a) 0 b) 0 c) k/ 5 5 a) 0 90 k ; k 0,,, Las cuatro raíces son: b) 0 ( k)/ k; k 0,,, Las cuatro raíces son: c) 0 ( ) 0 0 ; k 0,, 0 ( 0 k)/ 0 k Las solucones de la ecuacón son: 0; 0 ; 0 ; 0 0

31 Undad. Números complejos Matemátcas I Resuelve los sguentes sstemas de ecuacones: w a) ) w b) w ) w 5 w c) ) w 5w 5 d) ) w 0 w (.ª) 9 w a) * * w w Sumando obtenemos: c 5 5 m w w w (.) ª w b) ) ) w w Sumando obtenemos: 5w 0 5 w ( ) 5 w (.ª) 5 w c) * ) w w Sumando obtenemos: 5() w w w 5w 5 (.ª) 0w 0 d) * ) w 0 w 0 Sumando obtenemos: 7w 7 w 5( ) Para resolver 5 Calcula a y b de modo que se verfque: (a b ) ( a b) a b ab a a a b ab a b ab b a a c m a a a a a 0 a a ± 9 ± 5 a a ± a ( novale) a b a b *

32 Undad. Números complejos Matemátcas I Halla el valor de b para que el producto ( ) ( b ) sea un número: a) magnaro puro. b) real. ( )( b) b b ( b) ( b ) a) b 0 b b) b 0 b 7 Determna a para que (a ) sea un número magnaro puro. (a ) a a (a ) a Para que sea magnaro puro, ha de ser: a 0 a ± a a Calcula x para que el resultado de (x x ) (x ) sea un número real. ( x x)( x ) x x x x x Para que sea real, ha de ser: x x x x x ( x x) ( x x ) x x 0 x ± x ± x 9 Calcula el valor que debe tener a para que el módulo del cocente ( )( ) ( ) a a a a a ( )( ) a sea. c a m c a m a a Elevamos al cuadrado los dos membros de la gualdad: a 9 a 5 a 5 a 5 0 La suma de dos números complejos es. La parte real del prmero es y el cocente entre este y el segundo es un número real. Hállalos. Sean b y w c d los números complejos buscados. c c w b c d * b d ( ) Por otro lado: w k kw b k( d ) Ahora susttumos en (): b d d d d b Los números buscados son y w. k * b kd b d S ( 0 0 )( k ), halla el valor de k para que el módulo de sea porque es la suma de los térmnos de una progresón geométrca de raón ( )( ) ( )( )

33 Undad. Números complejos Matemátcas I Por tanto: ( k) k ( k) k 9 5 k 9 5 k, k Para qué valores de x es magnaro puro el cocente x ( x )( x ) x 5x x ( x )( x ) x x Para que sea magnaro puro, ha de ser: x 0 x 0 x x x x? x Halla dos números complejos tales que su co cente sea, la suma de sus argumentos π/, y la suma de sus módulos. Llámalos r α y s β y escrbe las condcones que los relaconan. r s r s a b π a b 0 Hallamos sus módulos: r s r s r s s s ; s ; s ; r Hallamos sus argumentos: a b π a b 0 a b; b π π π ; b ; a Los números serán: π/ y π/ El producto de dos números complejos es 90 y el cubo del prmero dvddo por el otro es (/) 0. Hállalos. Llamamos a los números: r a y w s b r s r a s b 90 a b 90 ( r ) s c m a b 0 r/ s a b 90 r s r s r r r r r s r s s (no vale) a b 90 a 90 0 k a 90 0 k ; k 0,,, a b 0 b 90 a

34 Undad. Números complejos Matemátcas I Hay cuatro solucones: w 0 ' 7 0' 7 0' w 0' 7 0' w 0 0' 07 0' 7 0' w 9 0' 77 0' 57 0' 5 El producto de dos números complejos es 7 y uno de ellos es gual al cuadrado del otro. Calcúlalos. Llamemos y w a los complejos buscados. w 7 w 7 w 7 w 70 ( 0 0 k)/ ; k 0,, * w S k 0 w ( cos 0 sen0 ) 0 w ( ) 9 9( cos 0 sen0 ) S k w ( cos 0 sen0 ) 0 w ( ) 9 9( cos 0 sen 0 ) S k w ( cos 00 sen00 ) 00 w ( ) 9 9( cos 0 sen 0 ) Hemos obtendo tres solucones del problema. Halla, en funcón de x, el módulo de x. x Demuestra que para cualquer valor de x. x x O ben: x x x ( x)( x) x x x x x ( x)( x) x x x x x x x x x x ( x ) x x ( x) ( x) e o c m ( x ) 7 Halla dos números complejos conjugados sabendo que su suma es y que la suma de sus módulos es 0. Como 5 0 S llamamos: a b a b a b a b a a a b b 5 b 5 b 9 b ± 9 ± Hay dos solucones:

35 Undad. Números complejos Matemátcas I Representa gráfcamente los resultados que obtengas al hallar y calcula el lado del trángulo que se forma al unr esos tres puntos. 5 ( 5 0 k)/ 75 0 Las tres raíces son: k 0 l Para hallar la longtud del lado, aplcamos el teorema del coseno: l ( ) ( ) cos 0 c m l 9 Dbuja el hexágono cuyos vértces son los afjos de. Obtenes el msmo hexágono con los afjos de Compruébalo y representa los resultados obtendos. 0 ( 0 0 k)/ ; k 0,,,,, 5 S k 0 ( cos 0 sen0 ) 0 S k ( cos 90 sen90 ) 90 S k ( cos 50 sen50 ) 50 S k ( cos 0 sen0 ) 0 S k ( cos 70 sen70 ) 5 70 S k 5 ( cos 0 sen0 ) 0 Representacón gráfca: ; ;? 5 No se obtene el msmo hexágono porque las raíces sextas de dos números dstntos son dferentes. Se obtenen hexágonos grados con respecto al prmero. Veamos los sguentes casos: 5

36 Undad. Números complejos Matemátcas I ; k 0,,,,, 5 90 ( 90 0 k)/ S k 0 5 S k 75 S k 5 S k 95 S k 5 55 S k ; k 0,,,,, 5 0 ( 0 0 k)/ S k 0 0 S k 0 S k 0 S k 0 S k 5 0 S k ( 70 0 k)/ ; k 0,,,,, 5 S k 0 5 S k 05 S k 5 S k 5 S k 5 5 S k Halla los números complejos que corresponden a los vértces de estos trángulos equláteros. Como los afjos están en los vértces de un trángulo equlátero, los números complejos son: a) 90 ( cos 0 sen0 ) 0 ( cos 0 sen0 ) 0 b) 0 ( cos 0 sen0 ) 0 ( cos 0 sen0 ) 0

37 Undad. Números complejos Matemátcas I Pueden ser las raíces de un complejo los números, 00, 7, y? En caso afrmatvo, halla. Comprueba s el ángulo que forman cada dos de ellas es el de un pentágono regular Sí son las raíces quntas de un número complejo. Lo hallamos elevando a la qunta cualquera de ellas: ( ) 5 0 El número complejo 0 es vértce de un pentágono regular. Halla los otros vértces y el número complejo cuyas raíces quntas son esos vértces. Los otros vértces serán: El número será: ( 0 ) 5 5 Una de las raíces cúbcas de un número complejo es. Halla y las otras raíces cúbcas. 5 Las otras raíces cúbcas son: Hallamos : ( ) ( 5 ) 5 ( cos 5 sen5 ) e o Busca dos números complejos cuya suma sea y que una de las raíces cuadradas de su cocente sea. Sean y w los números complejos buscados. Entonces, w w w w w * ( ) * w w ( ) 5 Calcula el valor que debe tener b para que el módulo de b b ( b)( ) b b b b ( )( ) Como el módulo de este número debe ser, obtenemos: c b m c b m 5b 5 sea gual a. 5b 5 5 b 7 b 7, b Expresa cos α y sen α en funcón de sen α y cos α, utlando la fórmula de Movre. Ten en cuenta que (a b) a a b a b ab b. cosa sen a ( cos a sen a) cos a cos asen a cos asen a cos asen a sen a De aquí obtenemos que: cos a cos asen a sen a ( cos asen a cos asen a) cosa cos a cos asen a sen a sena cos asen a cos asen a 7

38 Undad. Números complejos Matemátcas I Págna 7 Un pentágono regular con centro en el orgen de coordenadas tene uno de sus vértces en el punto (, ). Halla los otros vértces y la longtud de su lado. El punto (, ) corresponde al afjo del número complejo 5. Para hallar los otros vértces, multplcamos por 7 : 7 0,9,7 9,97 0, 0,,97 5,7 0,9 Los otros cuatro vértces serán: ( 0,9;,7) (,97; 0,) ( 0,;,97) (,7; 0,9) Hallamos la longtud del lado aplcando el teorema del coseno: l cos 7 l 0, l, l,7 l, undades 7 l El afjo de es uno de los vértces de un cuadrado con centro en el orgen de coordenadas. Halla los otros vértces y el área del cuadrado. S tenemos un vértce de un cuadrado centrado en el orgen, para calcular los otros vértces tenemos que multplcar por 90 y así hacer gros de 90. ( ) ( ) ( ) Los otros vértces serán: (, ), (, ) y (, ). La dagonal del cuadrado mde: 9 porque está centrado en el orgen. El área del cuadrado es (usando la fórmula del área de un rombo): A u 9 Pueden ser,, y, las raíces de un número complejo? Justfca tu respuesta. No, porque sus afjos no se encuentran en los vértces de un polígono regular centrado en el orgen. Podemos comprobarlo en el sguente gráfco: 50 Sean A, B, C, D los afjos de los números 0 ; 0 ; ;. a) Cuáles son las coordenadas de A, B, C, D? b) Calcula d 0 0 ; d ; d e nterpreta geométrcamente estos números. c) Cuánto mde la línea polgonal ABCD? a) 0 ( ) ( ) Los afjos son: A (, 0); B (, ); C (0, ); D (, ).

39 Undad. Números complejos Matemátcas I b) d0 ( ) d d ( ) Las dstancas calculadas forman una progresón geométrca de raón c) La línea polgonal ABCD mde. 5 Escrbe una ecuacón de segundo grado cuyas solucones sean: a) y b) 5 y 5 c) y d) y a) [ x ( )][ x ( )] x ( ) x ( ) x ( ) x ( x ) ( ) x x 0 b) ( x 5)( x 5) x 5x 5x 5 x 5 0 c) [ x ( )][ x ( )] ( x )( x ) x x x x x 9 x x 0 d) En este caso, la ecuacón de segundo grado no tendrá coefcentes reales porque las solucones no son números complejos conjugados. [ x ( )][ x ( )] ( x )( x ) x ( 5 ) x Halla el valor que debe tener m para que sea una solucón de la ecuacón m 5 0. Calculamos las solucones de la ecuacón: m± m 0 m ± m 0 S m m m 0 0 Comprobamos ahora cuáles son las solucones s m. ± ± Luego, en efecto, es una de ellas. 5 Resuelve estas ecuacones: a) b) (5 ) c) ( ) d) ( 7 ) 9 ( )( ) a) ( ) ( )( ) 5 ( ) b) ( ) ( ) 5 c) ( )( ) ( ) ( )( ) d) ( ) ( ) ( ) 9

40 Undad. Números complejos Matemátcas I 5 Halla los números complejos y w que verfcan cada uno de estos sstemas de ecuacones: w a) ) w b) w ) w 5 5 a) w Sumando membro a membro: w w ( ) ( ) Solucón: ; w b) w Multplcamos por la.ª ecuacón y sumamos: w 5 5 w ( ) w 0 0 ( 5) w Solucón: 5; w 55 Resuelve los sguentes sstemas de ecuacones: w w 5 a) ) b) ) ( ) w ( ) w a) Multplcamos por la prmera ecuacón: w Sumamos membro a membro: ( w ) w ( )w ( )w w ( )( ) w 0 Solucón: 0; w b) Multplcamos por la prmera ecuacón: w 5 Sumamos membro a membro: ( ) w ( ) 5 ( ) ( )( ) w 5 5 Solucón: ; w 0

41 Undad. Números complejos Matemátcas I 5 Resuelve las sguentes ecuacones: a) 0 b) 5 0 c) 7 0 d) 0 a) Usando el método de Ruffn, obtenemos: ( )( ) 0 ± ±, b) Usando el método de Ruffn, obtenemos: 5 ( )( 5) 5 0 ± 0 ±, c) 7 0 Se trata de una ecuacón bcuadrada. Hacendo el correspondente cambo de varable, obtenemos: 9 ± 9 ±, ± ±, d) 0 Se trata de una ecuacón bcuadrada. Hacendo el correspondente cambo de varable, obtenemos: ± ± 5 5 ( 5 0 k)/ 7, 5 7, 5 ; k 0, ; 5 5 ( 5 0 )/ k ; k 0, ; 57 Halla los números complejos cuyo cuadrado sea gual a su conjugado. Buscamos los números tales que. En forma polar, (r a ) r a a r a ( r ) r r rr ( ) 0 r 0, r * * * a a a 0 0 k a 0, a 0, a 0, 5 9, 5 r 0 0 es una solucón * r,, son las demás solucones (Para calcular los valores de a hemos gualado a a 0, 0 y 70.) Los números son:

42 Undad. Números complejos Matemátcas I Interpretacón gráfca de gualdades y desgualdades entre complejos 5 Representa y descrbe con palabras cada una de estas famlas de números complejos: a) Re b) Im c) Re 0 d) Im e) < Re < 5 f ) g) Arg 5 h) 0 Arg 90 a) b) c) d) 0 e) f) 5 g) h) 5 59 Representa los números complejos tales que. Escrbe en forma bnómca, súmale su conjugado y representa la condcón que obtenes. Llamamos x y. Entonces: x y Así, x y x y x x Representacón: x

43 Undad. Números complejos Matemátcas I 0 Representa los números complejos que verfcan: a) b) c) a) x y x y x y x y x 0 x 0 (es el eje magnaro) x 0 b) x y x y x x x / x x x / x x c) x y y y y y y y y y Escrbe las condcones que deben cumplr los números complejos cuya representacón gráfca es la sguente: a) b) c) d) e) f ) En a), b) y f) es una gualdad. En c) y d), una desgualdad. En e), dos desgualdades. a) Re b) Im c) Re d) 0 Im < < Re < e) * < Im < f)

44 Undad. Números complejos Matemátcas I Cuestones teórcas Se puede decr que un número complejo es real s su argumento es 0? No, tambén son reales los números con argumento 0 (los negatvos). S r α, qué relacón tenen con los números r α 0 y r 0 α? r a 0 (opuesto de ) r 0 a (conjugado de ) Comprueba que: a) w w b) w w c) k k, con k Á a b r a b r a w c d r' w c d r' b 0 a 0 b a) w ( a c) ( b d) w ( a c) ( b d ) w a b c d ( a c) ( b d) w b) x w ( r r' ) a b w ( r r ') 0 ( a b) w ( r r' ) ( r r' ) w 0 a 0 b 0 ( a b) c) k ka kb k ka kb k ka kb k 5 Demuestra que. 0 c m c m r r r r a a 0 a El producto de dos números complejos magnaros, puede ser real? Acláralo con un ejemplo. Sí. Por ejemplo:, w w Págna 5 7 Representa el número complejo. Multplícalo por y comprueba que el resultado que obtenes es el msmo que s aplcas a un gro de

45 Undad. Números complejos Matemátcas I Qué relacón exste entre el argumento de un complejo y el de su opuesto? Se dferencan en 0. S el argumento del número es a, el de su opuesto es: 0 a 9 Qué condcón debe cumplr un número complejo a b para que? Halla, e guala a a b. a b a b a b a b ( a b)( a b) a b _ a a a a b b a b a b ( módulo) a ` b b Ha de tenermódulo. a b b a 70 Sean y w dos números complejos tales que y w. Justfca s las sguentes gualdades son verdaderas o falsas: a) w b) c) w d) Para resolver este problema debemos tener en cuenta que : a b ( a b)( a b) a b a) Falso, porque w representa la dagonal del cuadrado cuyos lados son y w. Por tanto, su longtud no puede ser la suma de las longtudes de los lados. b) Verdadero. S a b a b a b ( a) ( b) a b c) Verdadero. El módulo del producto de dos números complejos es el producto de los módulos, tal como hemos vsto en las operacones en forma polar. w w d) Verdadero. En forma polar 0 cm y, por tanto, el módulo del nverso de un número ra r a complejo es el nverso del módulo. 7 S r α y w s β, qué relacón debe exstr entre α y β para que ocurra cada una de las sguentes afrmacones? a) w es magnaro puro. b) /w es un número real. c) w está en la bsectr del prmer o tercer cuadrante. a) w ra sb ( r s) a b Por tanto a b 90 o a b 70, es decr, b 90 a, b 50 a o b 70 a, b 0 a. b) w r a br l s s b a b Por tanto, a b 0 o a b 0, es decr, b a o b a 0. c) w r s ( r s) a b a b Por tanto, a b 5 o a b 5, es decr, b 5 a, b 05 a o b 5 a, b 55 a. 5

46 Undad. Números complejos Matemátcas I 7 Sea 0 un número complejo y w. Justfca que los afjos de, w y w son los vértces de un trángulo equlátero. w c m e o tg a a 0 El afjo de w ( 0 ) es el punto que se obtene grando un ángulo de 0 respecto del orgen de coordenadas. De la msma forma, el afjo de w ( 0 ) es el punto que se obtene grando un ángulo de 0 respecto del orgen de coordenadas. Por tanto, los afjos de los tres números complejos están en los vértces de un trángulo equlátero. Para profundar 7 Halla los números complejos cuyo cubo concde con el cuadrado de su conjugado. S el número complejo es r a tenemos que: r r ( ra) ( r a) ( r ) a ( r ) a * a a r r 0 * 5 a 0 0 k r ( r ) 0 * 5 a 0 0 k r 0, r * a 0, a 7, a, a, a 5 r 0 0 es una solucón * r,,,, son las demás solucones Los números son: 0, 0, 7,, y. 7 S el producto de dos números complejos es y dvdendo el cubo de uno de ellos entre el otro obtenemos de resultado, cuánto valen el módulo y el argumento de cada uno? ra w r' b 0 0 _ b b r r' ` ra r' b ( r r' ) a b 0 * b a b 0 b a ( r ) r r a a r e o r' r' r' r' 0 * b b a b a b 0

47 Undad. Números complejos Matemátcas I Así: r r' r r' a b 0 a b _ r' r b r ` r r' r r b a Por tanto,, w r * r' a a 0 a a 5 * b 5 75 Calcula el nverso de los números complejos sguentes y representa gráfcamente el resultado que obtengas: a) π/ b) c) Qué relacón exste entre el módulo y el argumento de un número complejo y de su nverso? a) 0 c m c m π/ π/ π/ 5π/ π/ π/ / π/ π/ b) c m 70 / c) 5 0 e o e o S r a entonces cm. r 0 a 7

48 Undad. Números complejos Matemátcas I 7 Representa gráfcamente las gualdades sguentes. Qué fgura se determna en cada caso? a) ( ) 5 b) (5 ) a) Crcunferenca con centro en (, ) y rado 5. 5 (, ) b) Crcunferenca con centro en (5, ) y rado. (5, ) 5 77 Escrbe la condcón que verfcan todos los números complejos cuyos afjos estén en la crcunferenca de centro (, ) y rado. ( ) 7 La suma de los números complejos a y w b 5 dvdda por su dferenca es un número magnaro puro. Prueba que y w han de tener el msmo módulo. w a b w a b a b k con k número real a b (a b )k a b a b k a b k a b k ka ( b ) * * ka ( b) a b k Multplcando membro a membro obtenemos: a b Por otro lado: a a 9 w b ( 5) b 5 Para que los módulos sean guales, debería ser: a 9 b 5 a 9 b 5 a b y esto es exactamente lo que hemos obtendo a partr de los datos del problema.

49 Undad. Números complejos Matemátcas I 79 Sea un número complejo cuyo afjo está en la bsectr del prmer cuadrante. Comprueba que es un número real. El número complejo que está en la bsectr del prmer cuadrante es de la forma a a. a a a ( a ) [ a ( a )] [ a ( a ) ] a a a ( a ) [ a ( a )] [ a ( a ) ] ( a )( a ) ( a )( a ) ( a )( a ) ( a )( a ) ( a ) ( a ) ( a )( a ) a, que es un número real. ( a ) a Autoevaluacón Págna 5 Efectúa y representa la solucón. ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 9 ( ) 5 ( )( ) ( )( ) Calcula y expresa los resultados en forma bnómca. f p Pasamos numerador y denomnador a forma polar: 90 r ( ) tg a a f p ( 0 ) 0 ( cos 0 sen 0 ) 90 e o 9

50 Undad. Números complejos Matemátcas I Halla a y b para que se verfque la gualdad: 5(a ) ( )(b ) 5a 0 b b 5a 0 b ( b ) 5a b Igualando las componentes * b 7, a 0 b Resuelve la ecuacón: ± 0 ± 5 5 Solucones; 5, 5 5 Calcula el valor que debe tomar x para que el módulo de x sea gual a. x ( x )( ) x x x ( x ) x x ( )( ) Módulo c x m c x m x x x x x x Solucones: x, x Halla el lado del trángulo cuyos vértces son los afjos de las raíces cúbcas de. Expresamos en forma polar: r ( ) ( ) tg a a 0 0 A 0 ( 0 0 ) k O B C En el trángulo AOB conocemos dos lados, OA OB, y el ángulo comprenddo, 0. Aplcando el teorema del coseno, obtenemos el lado del trángulo, AB : AB cos 0 AB u 7 Representa gráfcamente. a) Im 5 b) c) a) 5 b) c) a b a b a a 50

51 Undad. Números complejos Matemátcas I Halla dos números complejos tales que su cocente sea 50 y su producto 90. ra r 50 ; a b 50 sb s r s r s ; a b 90 a b 90 Resolvemos los sstemas: r a b 50 * s * r s a b 90 Obtenemos: r a 0 * * s b 0 0 Los números son 0 y 0. Otra posble solucón es: 00 y Demuestra que. Supongamos que a b. Entonces: ( a b)( a b) a ab ba b a b 0 Calcula el valor de cos 0 y de sen 0 a partr del producto ( cos90 sen 90 ) ( cos 0 sen 0 ) e o ( cos0 sen0 ) cos ; sen0 Halla el número complejo que se obtene al transformar el complejo medante un gro de 0 con centro en el orgen. Multplcamos por 0 ( cos0 sen 0 ). ( ) ( ) 0 e o 5