Tema 9: SOLICITACIONES COMBINADAS

Transcripción

1 Tema 9: SOTONES ONDS V T N V Problemas resueltos Prof.: Jame Santo Domngo Santllana E.P.S.-Zamora (U.S.) - 8

2 9..-En la vga de la fgura calcular por el Teorema de los Trabajos Vrtuales: ) Flecha en ) Gro en Datos: PE-8, E =,. 5 N/mm E. =,... = 77. N. mm R kn 5 9 R m m Ecuacones de equlbro: F = R R = = R. =. R R = 5 kn = 5 kn Esfueros en la vga: = 5. = 5.( ).-Flecha en : R kn R m m Ecuacones de equlbro: F = R R = R =,75 kn = R. =. R =, 5 kn Esfueros en la vga: =,75. =,5.( ) plcando el Teorema de los Trabajos Vrtuales a la vga con carga untara:.. d δ = E. F. R. ( se despreca efectosv ) sendo: F = kn δ = R = ( R =, 75 kn R =, 5 kn ) = susttuendo :, d,5.( ).5.( ). d. = =,5 m = 5, mm

3 .-Gro en : R R kn.m m m Ecuacones de equlbro: Esfueros en la vga: F = R = R R =, 5 kn = R. = =,5. R =, 5 kn plcando el Teorema de los Trabajos Vrtuales a la vga con carga untara:.. d δ = E. F. R. ( se despreca efectosv ) sendo: F = kn. m δ = ϑ R = ( R =, 5 kn R =, 5 kn ) = susttuendo :, d,5..5.( ). d ϑ 9 6. = ϑ =, 5 rad

4 9..-alcular aplcando el Teorema de los Trabajos Vrtuales el alargamento total de la barra de la fgura Datos: E =,. 5 N/mm m R cm m m kn cm m Ecuacones de equlbro: Esfueros en la barra: largamento de la barra: cm kn F = R = R = kn N = N = 6 N = = 6 N = m R cm m m cm Ecuacones de equlbro: Esfueros en la barra: m kn F = R = kn N = cm plcando el Teorema de los Trabajos Vrtuales a la vga con carga untara: F. δ R. = N. N. d E. sendo: F = Kg δ = R = R = kn = susttuendo : 6.( ). d.( ). d.. d.. d. =,.....,....,...., =, 67 m =, 67 mm ( se al arg a)

5 9..-En la barra de la fgura calcular las reaccones en los empotramentos utlando el Teorema de los Trabajos Vrtuales T T o T o T / / / Ecuacones de equlbro: T = T T = T T () Se tene ecuacón de equlbro ncógntas VG HPERESTÁT para su resolucón remos a la vga sostátca equvalente Vga sostátca equvalente: condcón: ϕ = () T T o T o T / / / Esfueros en la barra: / T = T /. / T = T T. / T = T Desarrollemos la ecuacón () aplcando el método del Teorema de los Trabajos Vrtuales: T kn.m Ecuacones de equlbro: T = T = Esfueros en la barra: Teorema de los Trabajos vrtuales: T = F. δ R. = T. T. d G. t sendo: F = kn. m δ = ϕ = R = T = kn. m = susttuendo :

6 / /.( T ). d.( T T ). d. T. d / /. = operando : G. G. G. t t t T. ( T T ). T. = () resolvendo el sstema formado por las ecuacones () (): T T = T = T

7 9.7.-a estructura de la fgura está formada por dos barras perpendculares:, que se encuentran artculadas en. S se sabe que el apoo sufre un asento vertcal de = cm. Se pde calcular el desplaamento vertcal del nudo. Datos: () = 6 cm, () = 8 cm, E=,. 5 kn/mm 5 kn β α m () () m β 5 m α = cm Por el teorema del seno se calcula el ángulo α: 5 = senα = α = 6,87º β = 9º α = 5,º senα sen 9º 5 Nota: en las estructuras de barras artculadas con cargas eterores actuando en los nudos (como es este caso), las barras trabajarán sólo a Traccón o a ompresón. En funcón de ello para ver cómo trabajan las barras, aslemos el nudo estudemos el equlbro de todas las fueras que concurren en él 5 kn F α m () β F () m β=5,º 5 m α=6,87º = cm Ecuacones de equlbro del nudo : F = F. sen6,87º F. sen 5,º = 5 F = F.cos 6,87º = F.cos 5,º F = 9 kn F = kn Para saber s son de traccón o de compresón se raona de la sguente forma: los sentdos de F F dbujados en la fgura, representan las accones que las barras respectvamente están hacendo sobre el nudo. Por tanto, las accones que el nudo estará hacendo sobre las barras (por el Prncpo de la accón reaccón), serán de sentdos contaros a las dbujadas, es decr:

8 F F traccón compresón Esfueros en las barras: barra : N = F = 9 kn barra : N = F = kn Desplaamento vertcal del nudo : se calculará aplcando el Teorema de los Trabajos Vrtuales: kn V F β α m () β=5,º F () m α=6,87º H H 5 m V = cm Ecuacones de equlbro del nudo : F F = = F. sen 6,87º = F. sen 5,º F.cos 6,87º F.cos 5,º = F =,8 kn F =,6 kn por lo dcho antes en relacón a sus sentdos, en este caso las dos barras trabajarán a compresón barra : N = F =,8 kn Esfueros en las barras: barra : N = F =,6 kn N. N. d Teorema de los Trabajos Vrtuales: F. δ R. = E. sendo F = kn δ = R = ( V =,6 kn, V, H, H ) kn = álculo de la reaccón V : Ecuacón de equlbro: = V.5 =.(.cos 5,º ) V =,6 kn

9 Nota: Sólo se calcula V, pues al descender el apoo vertcalmente, es el únco que producrá trabajo ese trabajo será negatvo, pues el sentdo de V el del desplaamento que sufre son contraros. susttuendo fnalmente: (,8).(9). d (,6).( ). d.,6., =,....6., =,6 m = 6, mm

10 9.8.-En la estructura de la fgura se pde calcular: ) as reaccones en los apoos ) Desplaamento horontal de Datos: vga plar : PE-, E =,. 5 N/mm kn/m H m V m H Ecuacones de equlbro: V F = H = H () H F = V V =. () V = V. = H... () Ha ecuacones de equlbro 5 ncógntas ESTRUTUR HPERESTÁT Estructura sostátca equvalente: H V m m ondcones: = = () (5) H Desarrollemos las ecuacones () (5) aplcando el Teorema de los Trabajos Vrtuales: = () V H m Ecuacones de equlbro: m F = H = kn = =. = kn. m Kg

11 Teorema de los Trabajos Vrtuales: sendo: N. N. d.. d δ = E. E. F. R. ( se despreca efectosv ) F = Kg δ = = R = ( H = kn., = kn. m) = Esfueros en las barras: vga : estructura con c arg a untara : N = = estructura dada con c arg a real : N = H = V... plar : estructura con c arg a untara : N = =. estructura dada con c arg a real : N = V = H. susttuendo:.( H ). d.( V. 5. ). d (. ).( H. ). d =,....5,8., , operando:, 6. H. V. 9. H = () = (5) V m Ecuacones de equlbro: m F = V = kn = =. = kn. m Kg Teorema de los Trabajos Vrtuales: N. N. d.. d δ = E. E. F. R. ( se despreca efectosv ) sendo: F = Kg δ = = R = ( V = kn., = kn. m) =

12 Esfueros en las barras: vga : estructura con c arg a untara : N = =. = estructura dada con c arg a real : N = H = V... plar : estructura con c arg a untara : N = = estructura dada con c arg a real : N = V = H. susttuendo: ( ).( V. 5. ). d ( ).( V ). d =, ,....5,8. operando: resolvendo fnalmente el sstema de ecuacones: (), (), (), () (5): ) Desplaamento horontal de : Estructura sostátca equvalente:, 667. V 8. 6, 667, 66. V = (5) H =,6 kn., V =, 6 kn., = 6, 98 kn. m H =,6 kn., V = 7, 96 kn. = 6,98 kn.m kn/m H =,6 kn V =,6 kn m m H =,6 kn V = 7,96 kn plquemos el teorema de los trabajos Vrtuales:

13 H m kn m F = H = kn Teorema de los Trabajos Vrtuales: N. N. d.. d δ = E. E. F. R. ( se despreca efectosv ) sendo: F = Kg δ = = R = ( H = kn.) = Esfueros en las barras: vga : estructura con c arg a untara : N = = estructura dada con c arg a real : N =,6 =,6. 6,98.. plar : estructura con c arg a untara : N = = estructura dada con c arg a real : N = 7, 96 =,6. susttuendo: ().(,6). d. δ H δ =,....5,8. 6 = 8., H = m mm

14 9.9.-a vga de la fgura está empotrada en apoada en tene un cable de sujecón en. Se pde calcular las reaccones en los apoos el esfuero en el cable. Datos: vga: PE-, cable: Φ=8 cm, E =,. 5 N/mm T,5 m R kn/m R m m Ecuacones de equlbro: F = R R T =. () = R. T. =.. () ecuacones de equlbro con ncógntas VG HPERESTÁT Vga sostátca equvalente: condcones: = () = () R kn/m T R m m as flechas e las calcularemos aplcando el Teorema de los Trabajos Vrtuales = () R kn m m Ecuacones de equlbro: F = R = kn = =. = kn. m

15 Teorema de los Trabajos Vrtuales: sendo:.. d δ = E. F. R. ( se despreca efectosv ) F = Kg δ = = R = ( R = kn., = kn. m) = Esfueros en la vga: : vga con c arg a untara : =. = vga dada con c arg a real : = R... : vga con c arg a untara : =. = ( ) vga dada con c arg a real : = R.( ).( ). susttuendo:. = operando: ( ).( R. 5. ). d ( ). R.( ) 5.( ). d, R.9.7,5 8 R., = () = () a) cálculo de : por el Teorema de los Trabajos Vrtuales: R kn m m Ecuacones de equlbro: F = R = kn = =. = kn. m Teorema de los Trabajos Vrtuales:

16 sendo:.. d δ = E. F. R. ( se despreca efectosv ) F = Kg δ = = R = ( R = kn., = kn. m) = Esfueros en la vga: : vga con c arg a untara : =. = vga dada con c arg a real : = R... : vga con c arg a untara : = ( ) vga dada con c arg a real : = R.( ).( ). susttuendo: ( ).(. 5. ) b) álculo de : R d R., 5.,5, 75. = =, ,.89 F. T.,5 T.,5 = E. =,.... π.,. =,.. π., 5 6 gualando ambos resultados por la ecuacón (): R., 5., 5, 75 T.,5 =,.89,.. π., () resolvendo fnalmente el sstema de ecuacones (), (), () (): R =, 7 kn., = 7, 79 kn. m., R =, kn., T =, 696kN

17 9..-a ménsula tene su eje stuado en un plano horontal. Está formada por dos barras de seccón crcular, acodadas a 9º está sometda a la carga vertcal en de kn. Se pde: ) Tensones normales cortantes mámas, ndcando seccón puntos donde se darán ) Desplaamento vertcal de Datos: Φ= cm., E =,. 5 N/mm, G =8,. N/mm Nota: para el cálculo del apartado º se desprecará el efecto de las fueras cortantes V. V T m kn m álculo de las reaccones en el empotramento: Dagramas de esfueros: tramo : F = V = kn = T =. = kn. m = =. = kn. m tramo : V = kn T = kn.m kn kn kn = kn.m m kn.m kn.m m V V _ T _ V = T = =.( ) = = = = V = =.( ) = = = =

18 ) Seccón más solctada: la seccón del tramo V = kn T = kn. m = kn. m Punto de σ má : puntos Punto de τ má : punto punto : τ (T) τ (V ) σ ( ) σ má = σ = = = 8,5 N / mm π.7. punto : T. r...7. T t π τ ( ) = = = 7, N / mm.7. V *. Q..8, 7. τ ( V ) = = =,7 N / mm t. π.7... sendo Q =.( R ) =.(7 ) = 8,7 cm τ = τ = τ ( T ) τ ( V ) = 8,8 N / mm má / / * ) Desplaamento vertcal del etremo : se hará aplcando el Teorema de los trabajos Vrtuales V T m kn álculo de las reaccones en el empotramento: m F = V = kn = T =. = kn. m = =. = kn. m

19 Dagramas de esfueros: (se desprecará según el enuncado el efecto de las V ) Tramo Tramo V = kn T = kn.m kn kn kn = kn.m m kn.m kn.m _ m T _ T = =.( ) = = = = Teorema de los Trabajos Vrtuales: =.( ) = = = =.. d T. T. d δ = E. G. t F. R. ( se despreca efectosv ) sendo: F = Kg δ = R = ( V = kn., T = kn. m., = ) = susttuendo:. [ ] [ ] [ ] [ ].( )..( ). d.( )..( ). d = 5 6 π d 8, π.7 8,..... operando: =, 8 m =,8 cm

20 9..-Una pea poco esbelta, empotrada en su etremo nferor lbre en el superor, está sometda en su etremo superor a una carga ecéntrca de compresón de 5 kn, tal como se ndca en la fgura. Se pde: ) Tensones en los puntos: a, b, c d de la seccón de empotramento. ) Poscón del eje neutro en la seccón de empotramento. ) ndcar s la carga ecéntrca está actuando dentro o fuera del núcleo de la seccón. ) Desplaamentos en,,, del centro de gravedad de la seccón superor de la pea. Datos: E=,. 5 N/mm 5 kn 8 cm,5 cm d c,5 cm = 5. = cm =..5 =.5. = 565 cm = cm a b cm 5 cm levando la carga de 5 Kg al centro de gravedad de la seccón donde actúa se tendrá: 5 kn 5 kn.cm 6,5 kn.cm = 5., 5 = 6,5 kn. cm = 5.,5 = 5 kn. cm álculo de las reaccones: 8 cm a d b V c cm F = V = 5 kn = = 6,5 kn. cm = = 5 kn. cm 5 cm

21 Dagramas de esfueros: 5 kn.cm 5 kn 6,5 kn.cm 8 N = 5kN = 6, 5 kn. cm = 5 kn. cm 5 6,5 5 _ 5 kn 5 kn.cm 6,5 kn.cm N Tensones en los puntos a, b c d: N.. σ = 5. 6, 5...( 7, 5.) 5...(.) σ a = =, 7 N / mm , 5...( 7, 5.) 5...(.) σ b = =, 5 N / mm , 5...( 7, 5.) 5...(.) σ c = =,75 N / mm , 5...( 7, 5.) 5...(.) σ d = =, 8 N / mm Eje neutro: 565 n = n = = = = 5cm e e,5 n = n = = = =, cm e e,5 n traccón 5 cm d 5 cm a c compresón cm, cm b omo el eje neutro corta a la seccón la carga de 5 kn actúa fuera del núcleo de la seccón Desplaamento en del etremo superor: n

22 kn álculo de reaccones: Esfueros: 8 N = F = V = kn susttuendo: Teorema de los Trabajos Vrtuales: sendo: Desplaamento en del etremo superor: (Se despreca el efecto de las V ) kn álculo de reaccones: Esfueros: Teorema de los Trabajos Vrtuales: sendo: F = kn δ = δ R = ( H = kn., = 8 kn. cm) = susttuendo: 8 Desplaamento en del etremo superor: (Se despreca el efecto de las V ) sendo: V H. δ =. δ = Kg álculo de reaccones: Esfueros: F. δ R. = Teorema de los Trabajos Vrtuales: H N. N. d E. F = kn δ = δ R = V = kn = 8 ( ).( 5). d 5,.... δ = 6,5. F = H = kn cm = =.8 = 8 kn. cm 8 =. 8 = 8 F.δ R. = ( 8).( 6,5). d 5, E.. d δ =,7. F = H = kn cm = =.8 = 8 kn. cm 8 =. 8 = 8 F.δ R. =. E.. d F = Kg δ = δ R = ( H = kn., = 8 kn. cm) = susttuendo:. δ = 8 ( 8).( 5). d 5,.... δ =,9. cm

23 9..-En la marquesna de la fgura se pde calcular: ) Dagramas de esfueros ) Dmensonamento a resstenca de la seccón de la vga el plar, utlando un crtero plástco ) Desplaamento vertcal horontal del etremo derecho de la vga Datos: vga: PE, plar: HE, E=,. 5 N/mm, f = 75 N/mm ; coefcente de mnoracón del materal: γ =,; coefcente de maoracón de cargas: γ =,5 Nota: En el cálculo del apartado º se desprecará el efecto de las fueras cortantes V kn/m 5 kn m m D 5 kn/m m H V áculo de las reaccones F = H = 5. = 5kN H F = V = 5. = kn V = = ,5.. = 5,5 kn. m

24 Dagramas de esfueros: kn/m 5 kn N m m D 5 kn/m m _ H = 5 kn =5,5 kn.m V = kn V _ 5 _ 5 5,5 Vga V =. = V = = V = =.. = = = = V = 5.( ) = V = = V = 5 ( ) = 5..( ). = = = = Plar N = V = 5 5. = V = 5 = V = = 5. 5, = = 5, 5 = =

25 Observacón: con el objeto de comprobar los resultados de los dagramas de esfueros se pueden hacer comprobacones del equlbro de los nudos de la estructura. sí por ejemplo s se asla el nudo de unón entre vga plar le aplcamos las solctacones de las tramos que llegan a él se tendría: kn kn kn kn.m kn.m kn.m secumpleel equlbro del nudo F = = : Dmensonamento a resstenca de la seccón de la vga (crtero plástco): a fleón : = W. f susttuendo : * pl, d pl d 75 N / mm...,5.. 96, N mm Wpl Wpl mm tablas : PE a cor tan te : f V V =. sendo h. t =.,5 = 5 mm * d pl, d v v f susttuendo S sec umple! :..,5 = 85 75/, N / mm N 5 mm. = 779,9 N * 779,9 ademas como : V = 85 N. Vpl, d = = 897, N No es necesaro combnar el flector con la cor tan tev! vga D : PE

26 Dmensonamento a resstenca de la seccón del plar (crtero plástco): a fleón : = 5,5 kn. m = W. f susttuendo : * pl, d pl d 75 N / mm 5,5...,5.. 65, tablas : HE 8 * pl, d pl, d má N mm Wpl Wpl mm combnacón : al fleón : = 5,5 kn. m; N = kn N N * má susttuendo :..,5 5,5...,5 =,9 < s cumple! N / mm sendo : N pl, d =. f d =,. mm. = 85 N, 75 pl, d = Wpl ( HE 8). fd = 5.. = 85 N. mm, a cor tan te : V * f d Vpl, d = v. sendo v h. t f = 8.8 = 5 mm 75/, N / mm susttuendo : 5..,5 = 5 N 5 mm. = 776, N S sec umple! * 776, ademas como : V = 5 N. Vpl, d = = 67, 7 N Noes necesarocombnar el flector el al N con la cor tan tev! plar : HE 8 má

27 Desplaamento vertcal de D: se aplcará el Teorema de los Trabajos Vrtuales. (Se desprecará el efecto de las R ) kn m m D álculo de las reaccones: m F = V = kn V = =. = kn. m = kn.m V = kn Esfueros en la vga: = =.( ) Esfueros en el plar: N = = Teorema de los Trabajos Vrtuales: sen do: N. N. d.. d δ = E. E. F. R. ( se despreca efectosv ) F = kn δ = R = ( V = kn., = kn. m. ) = susttuendo: D ( ).( ). d ( ).(5. 5,5 5.. ). d. D = ,....,., [ ] ( ).( ). 5.( ).( ).. d 5 6 8,..... operando: D = 6,6 cm Desplaamento horontal de D: se aplcará el Teorema de los Trabajos Vrtuales. (Se desprecará el efecto de las R ) kn m m D álculo de las reaccones: m F = H = kn H = =. = kn. m H = kn =kn.m

28 Esfueros en la vga: Esfueros en el plar: N = = N = = =. sendo:.. d F. R. ( se despreca efectosv ) N. N. d δ = E. E. F = Kg δ = R = ( H = kn., = kn. m. ) = D susttuendo:. = (. ).(5. 5,5 5.. ). d D 5 6 8, operando: D =, 69 cm

29 9.5.-En el plar de la fgura, se pde:.-onsderando que la curva elástca es producda sólo por las cargas laterales, calcular: ) Ecuacón de momentos flectores momento flector mámo ) Ecuacón de la elástca ) Flecha máma ) omprobacón a resstenca de la seccón con crtero elástco.-onsderando que la elástca producda por las cargas laterales se amplfca por la carga de compresón, calcular: ) Ecuacón de la elástca ) Flecha máma ) Ecuacón de momentos flectores momento flector mámo ) omprobacón a resstenca de la seccón con crtero elástco Datos: f = 75 N/mm ; γ =,; γ =,5; E =,. 5 N/mm ; HE- F= kn 6 kn.m 6 m.-onsderando que la curva elástca es producda sólo por las cargas laterales H F= kn 6 kn.m 6 m H N V álculo de reaccones: Dagramas de esfueros V F = V = kn 6 F = H = H H = kn N = V = = H.6 = 6 H = kn =. =. = 6 kn. m ma = = = 6 = 6 = ma

30 Ecuacón línea elástca d d E d E d =.. (. ). = = =. d E... E.... d 6 condcones de contorno : = = = = = = = = 6 6,. 6. = , d flecha máma : =, 6 m d omprobacón a resstenca de la seccón con crtero elástco: seccón más solctada: omprobacón a fleón N N * * pl, d el, d = = m N = kn = kn m V = kn 6., 6.., ma = ( =, 6 m) =, 6 mm N =..,5 = 5. N = 6..,5 = 9. N. mm * * 6 N 75 pl, d =. f d = 9.. = 75. N, 75 el, d = Wel. fd = ( tablas HE ) = 569, 6.. =. N. mm, susttuendo en la fórmula : =,8 s cumple 75.. omprobacón a cortadura f * d V Vpl, d = v. V V =..,5 = 5. * pl, d 75, =.9. = 65,. susttuendo en la fórmula :5. 65,. N * además se cumple : V. Vpl, d no ha quecombnar con flectores N s cumple

31 .-onsderando que la elástca producda por las cargas laterales se amplfca por la carga de compresón: Ecuacón línea elástca : d d F = = = d E. d E. ( sendo :. ) F (. ) d F F. = ( : = = =,5 d E E E hacendo k , d d (. ) k. = = = 8,6.. E.,.5696 esta ecuacón dferencal tene una solucón de la forma : =. senk..cos k.. er ( observacón : la solucón partcular es del msmo grado que, osea será de grado :. ) Para obtener las cons tan tes se procederá del sguente mod o : d d dervando : =. k cos k.. k. senk. dervando de nuevo d =. k. senk.. k.cos k. llevando esta ep resón la de a la ec. df : d. k. senk.. k.cos k. k.(. senk..cos k.. = 8,6.. operando : k.. k. = 8,6.. ( como : k =,5),5..,5. = 8,6..,5. = 8,6.,5. = =, = la ecuacón de la elástca : =. senk ( sendo : k..cos k =,5 para hallar las cons tan tes.. k =,58) =. sen,58..cos,58.,. se ponen las condcone s de contorno : = = se obtene : =, = = 6 = así quedará fnalmente como ecuacón de la línea elástca : =,. sen(,58. ),. d flecha máma : = =, m d ma = ( =, m) =, 7 mm

32 omento flector. : d d = = E.. =,.5696.(,., 5. sen(,58. )) d E d = 7,966. sen(,58. ) = = = 6m = 6 kn. m =, m =,95 kn. m Otra forma de obtenerlo sería: = F. =..(,. sen(,58. ),. ) S representamos la elástca los dagramas de esfueros ahora serían: H H F= kn 6 kn.m 6 m,7,6, 6 6, , N V V omprobacón a resstenca de la seccón con crtero elástco: seccón más solctada: = 6m N = kn., = 6 kn. m., V = kn en este caso son los msmos esfueros que en la seccón : ( = 6 kn.m = ), luego no es necesara la comprobacón