Mecánica. Cecilia Pardo Sanjurjo. Tema 04. Cables. DPTO. DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL Y MECÁNICA

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1 Mecánica Tema 04. Cables. Cecilia Pardo Sanjurjo DPTO. DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL Y MECÁNICA Este tema se publica bajo Licencia: CreaHve Commons BY NC SA 3.0

2 Cables Los hilos o cables son elementos ampliamente utilizados en ingeniería, unas veces como elemento de sujeción (puente colgante, catenaria de un tren, teleférico ) y otras como elemento que hay que sustentar (líneas de alta tensión) Vamos a considerar hilos ideales: sólidos deformables de sección despreciable y longitud constante (inextensibles) pero que no presentan resistencia alguna a flexión altonivel.com ojodigital.com

3 Catenaria de tren eliatron.blogspot.com Mecánica.upm

4 Hilos sin carga: Los tramos sin carga (ni peso) son elementos a dos fuerzas, siempre a tracción (tensión). No admiten compresiones (se aflojan, no mantienen nada) T T Hilos con cargas en algunos de sus puntos: Los puntos donde están aplicadas las cargas han de estar en equilibrio. Cada tramo de hilo por la tensión correspondiente y se plantea el equilibrio de esos puntos. La curva de equilibrio es una línea quebrada. A B Vamos a suponer un ejemplo algo más sencillo, con cargas sólo verticales.

5 A B Ecs. equilibrio nudos: F x F y = 0)T 1x = X A nudo A = 0)T 1y = Y A F x F y = 0)T 1x = T 2x nudo Q = 0)T 1y = T 2y + Q F x F y = 0)T 2x = T 3x nudo W = 0)T 2y + T 3y = W F x F y = 0)T 3x = X B nudo B = 0)T 3y = Y B Cuando las cargas son verticales, la componente horizontal de la tensión es la misma en cualquier punto del hilo

6 Componentes de las tensiones: T x = T 1 cosα 1 T 1y = T 1 senα 1 T 1 = T x 2 + T 1y 2 tgα 1 = T 1y T x Y análogamente para T 2 y T 3 Relaciones ángulos y distancias: tg α 1 = y 1 x 1 ; tg α 2 = y 2 y 1 x 2 ; tg α 3 = y 2 y 3 x 3 La longitud del hilo: L = L 1 + L 2 + L 3 L 1 = x y 1 2 L 2 = x ( y 2 y 1 ) 2 L 3 = x ( y 2 y 3 ) 2 Relaciones distancias y tensiones: T 1y T 1x = y 1 x 1 ; T 2y T 2x = y 2 y 1 x 2 ; T 3y T 3x = y 2 y 3 x 3 La tensión máxima es la del tramo con mayor inclinación (en uno de los apoyos)

7 Ejemplo: Hallar la tensión del hilo en cada tramo, así como su longitud Equilibrio del sistema completo M A = 0)9 Y B = Y B = 18 kp F y = 0)Y A = 24 kp F x = 0) X A = X B

8 Equilibrio de nudos: F y F x = 0)T 3 sen = 18 T 3 = 30 kp = 0)T 3 cos36.87 = X B X B = 24 kp F y = 0)T 2 senα = 26 T 2 30 kp F x = 0)T 2 cosα 2 = 24! º tgα 2 = = 1 3 α 2 = 18.4º T 2 = 8 10 kp 26 T 1! º 8!10 F y = 0) = T 1 senα 1 F x = 0)24 = T 1 cosα 1 16 tgα 1 = 1 α 1 = 45º T 1 = 24 2 kp

9 Una alternativa es plantear el equilibrio de un trozo mayor de la estructura, cortando el hilo por donde interese ( 3 incógnitas) y aplicando las ecs del sólido rígido: M A = 0)0.8T T 3 5 = T 3 = 30 kp F x = 0)X A = 24 F y = 0)Y A = Y A = 24 Resueltas las tensiones y ángulos se completa la geometría y se puede calcular la longitud del hilo: L 1 = 2 2 m ; L 2 = = 10 m ; L 3 = 5 m L=L 1 + L 2 + L 3 11 m

10 Si el número de cargas aumenta, los tramos rectos cada vez son más cortos hasta que dejan de apreciarse y el hilo adquiere una curvatura continua cuando la carga lo es. En cualquier caso, la tensión en un punto del hilo es tangente a la curva del hilo en dicho punto Sólo vamos a estudiar los casos más importantes en ingeniería: - Cable que mantiene carga constante por unidad de longitud horizontal - Cable pesado (carga constante por unidad de longitud de cable)

11 Cable parabólico: carga constante por unidad de longitud horizontal Y luz x P flecha O s y X p o Supongamos que tenemos un hilo colgado de dos puntos situados a la misma altura y que está sometido a una ley rectangular de carga en la dirección horizontal p o N/m. Se trata de un sistema simétrico con un mínimo central. Luz: distancia entre los puntos de apoyo del cable Flecha: distancia vertical desde un apoyo al punto más bajo del cable Aislamos un trozo comprendido entre el mínimo y un punto P de coordenadas ( x, y).

12 La ley de carga rectangular se sustituye por su resultante en el centro de gravedad: p o x en x/2 T y Esa fracción de hilo está en equilibrio: po x x/2 P T x F x = 0) T x = T o F y = 0) T y = p o x T o y M P = 0) p o x x 2 = T o y y = 1 2 p o T o x 2 O x p o Hemos obtenido así las componentes de la tensión en cualquier punto y la curva de equilibrio del hilo: una parábola respecto a ejes XY con origen en el mínimo de la misma La componente horizontal de la tensión es la misma en todos los puntos La tensión en el punto P: T= T x 2 + T y 2 = T o 2 + p o 2 x 2 Nótese que el punto del cable en dónde la tensión es máxima corresponde al más alejado del mínimo o de máxima altura

13 T p o x x/2! P T x = Tcosθ = T o T y = Tsenθ T o O x y tgθ = T y T o Si queremos saber que longitud de hilo hay de O a P: ds = dx 2 + dy 2 = dx 1+ dy dx 2 = dx 1+ p o 2 x 2 T o 2 L OP s = P x O ds = dx 1+ p o 2 x 2 0 = 1 2 T o 2 x 1+ p o 2 x 2 2 T o + T o ln p o x + 1+ p o 2 x 2 p o T 2 o T o

14 A veces los apoyos no están a la misma altura: la ecuación de la curva es la misma refiriendo las coordenadas al sistema de ejes en el mínimo

15 Puente colgante: el tablero de peso P y longitud L, cuelga mediante muchos hilos equiespaciados en la dirección horizontal, de forma que cada uno transfiere la misma carga a cada punto del cable colgado entre los pilares del puente y que, por tanto, tiene forma parabólica.!! p o = P L carga por unidad de abscisa que llega a cada punto del cable colgado

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17 Dos formas de mantener una carga uniforme Mediante elementos a tensión pura (cables) Curva de equilibrio parabólica Mediante elementos a compresión Misma curva de equilibrio, invertida: Arco parabólico

18 Ortigosa de los Cameros Arcos parabólicos

19 Carga constante por unidad de longitud de cable (catenaria) Otro caso de hilo sometido a carga continua que tiene interés es el cable sometido a una carga constante por unidad de longitud (de cable) que puede ser propio peso del cable p o Ejemplos: X eliatron.blogspot.com

20 La ecuación de equilibrio del hilo se puede integrar, obteniéndose: Y T y T x 1) Ec. de equilibrio del hilo s y y = c Ch x c catenaria c c = parámetro de la catenaria O x X Coseno hiperbólico: Ch x = ex + e x 2 Seno hiperbólico: Sh x = ex e x 2 Ch 0 = 1 Sh 0 = 0 2) Tensión en un punto: T x = T o = p o c = cte T y = T o Sh x T = T o Ch x c c 3) Longitud desde el mínimo a un punto: s = c Sh x c

21 Cuando los ángulos de inclinación de los tramos de hilo respecto a la dirección horizontal son pequeños, los ds y dx son muy parecidos: en ese caso la luz entre los apoyos es muy grande comparada con la flecha y la parábola y la catenaria son también muy parecidas, pudiéndose aproximar una por la otra. Cuando se da esa situación se suele utilizar la expresión de la longitud de la catenaria para calcular la longitud de la parábola: L OP s par s cat = c Sh x c con c tal que c = T o p o cuando flecha luz 1 o bien x c 1

22 Teleférico: catenaria + cargas discretas (cabina) Equilibrio de nudo + tramo BC (catenaria 1)+ tramo AC (catenaria 2)

23 Catenarias a tensión y a compresión Hectorscerbo.com.ar (Puente Kinta- Kyo)

24 31) La luz del arco central del puente colgante representado en la figura es de 500 m. La flecha en su centro es de 50 m. Los cables pueden resistir una tensión máxima de 5000 kn. Determinar: a) La carga por metro horizontal de calzada que puede resistir. b) La longitud del cable en la cuerda central

25 31) La luz del arco central del puente colgante representado en la figura es de 500 m. La flecha en su centro es de 50 m. Los cables pueden resistir una tensión máxima de 5000 kn. Determinar: a) La carga por metro horizontal de calzada que puede resistir. b) La longitud del cable en la cuerda central 500 m B 50 m A Apoyos misma altura: simétrica, mínimo central T máx en el punto más alto T máx =T A =T B =5000 kn

26 y par A T Ay T o Equilibrio de media cuerda: T o 50 m F y 250 p o M A = 0) 50 T o = 250p o = 0)T Ay = 250 p o ( )125 T o = 625 p o O 250 m 125 x par T máx = T A = T 2 2 o + T Ay = 5000 Sustituyendo T o y T ay y elevando al cuadrado: = p o p o 2 p o 7.43 kn/m Se podrían haber empleado las fórmulas de la parábola: y A = p o x A 2 2T o 50 = p o T o T o = 625 p o T Ay = p o x A = 250 p o

27 Longitud del hilo entre A y B: L = 2 s A = x A 1+ x 2 A c + 1 c ln x A c + 1+ x A c 2 = m (exacta) En donde se ha sustituido c = T o p o = 625 m x A = 250 m Aproximada mediante una catenaria: flecha luz = = L aprox = 2 s A = 2 c Sh x A c = Sh = m

28 Quedan muchos puentes por hacer