MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL PRIMER EJERCICIO TIEMPO: Deducir a partir de las siguientes ecuaciones y = αch

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1 MENI PLI I. EXMEN FINL PIME EJEIIO TIEMPO: 50 x x x 1. educir a partir de las siguientes ecuaciones y = αch, ch sh = 1 α α α las expresiones de la longitud y la tensión de la catenaria ( puntos).. En un sólido con movimiento plano de velocidad angular constante 5 rad/s, el centro instantáneo de rotación tiene una aceleración cuyo módulo vale 0 m/s. uánto valdrá el módulo de dicha aceleración si el sólido se mueve con velocidad angular de 5 rad/s y aceleración angular de rad/s, si el centro instantáneo de rotación es el mismo? (1 punto).. efinir componente de pivotamiento y rodadura de la velocidad angular relativa entre dos sólidos. alcularlas en el ejemplo siguiente para el contacto sin deslizamiento entre los sólidos 1 y de velocidad angular absoluta, 1 45º Z X Y 1 = Ω ω k y Ω = ω i + ω k ( puntos). 4. alcular gráficamente la velocidad absoluta de M (1 punto). V 45º L/ Y M L/ X

2 MENI PLI I. EXMEN FINL PIME EJEIIO TIEMPO: En las siguientes figuras calcular el valor de la fuerza de rozamiento Mg Mg indicando si existe equilibrio o no. f=1/ (1 punto) 6. alcular el diagrama de esfuerzos q cortantes y momentos flectores en la L/ L/ L/ viga de la figura ( puntos). 7. uál de estas celosías es isostática? emostrarlo (1 punto). 0º f=1/ O F E O F E

3 MENI PLI I. EXMEN FINL SEGUNO EJEIIO TIEMPO: 40 La guía E se traslada hacia arriba con velocidad constante V. Sobre ella rueda sin deslizar un disco de centro y radio cuyo centro está articulado a la barra, de longitud, siendo fijo. alcular la base o curva polar fija del movimiento del disco en función del parámetro ϕ. Y X ϕ 6 E

4 MENI PLI I. EXMEN FINL TEE EJEIIO TIEMPO: 40 Un disco de radio rueda sin deslizar sobre un suelo plano y la velocidad de su centro O es V constante. Una barra de longitud 4 está articulada al disco en y su extremo recorre el suelo. En está articulada otra barra en cuyo extremo se articula la barra que puede girar alrededor del extremo fijo. La longitud de la barra es. eterminar en la posición que se muestra en la figura: 1. Velocidad angular de la barra. ( puntos). celeración angular de la barra. (7 puntos) V 4 O 0º 90º 60º 4

5 MENI PLI I. EXMEN FINL UTO EJEIIO TIEMPO: 45 El bloque rectangular de la figura tiene una masa de 5M y dos ruedas de radio articuladas en los vértices y. La rueda 1 tiene una masa M y un par aplicado de valor P = Mg en el sentido indicado en la figura. La rueda tiene una masa despreciable. El conjunto está situado sobre una rampa de 45º de inclinación. Para que el conjunto se encuentre en equilibrio estricto, qué valor mínimo del coeficiente de fricción es preciso, y con qué tensión hay que tirar del cable anclado en al bloque? T P M 4 1 5Mg 45º

6 MENI PLI I. EXMEN FINL QUINTO EJEIIO TIEMPO: 45 Un cable de masa despreciable está suspendido entre el punto fijo y una anilla sin masa que puede deslizar sin rozamiento a lo largo de la barra horizontal MN. La tensión del cable en el punto forma 45º con la horizontal y la carga que soporta es de forma triangular continua por unidad de abscisa, de valor nulo en y de valor 10 N/m en. Otro cable pesado de 7 m de longitud y 10 N/m de peso por unidad de longitud está amarrado a la anilla y pasa por una polea de radio despreciable, de modo que el tramo vertical mide 1 m. Sabiendo que los puntos, y están situados a la misma altura, calcular: 1. Tensión en el punto del cable. (1 punto). Fuerza de enlace de la polea sobre el cable. ( puntos). istancia entre los puntos y. ( puntos) 4. Ecuación de la curva del cable, expresada en los ejes de la figura. ( puntos) y x M N 10 N/m

7 MENI PLI I. EXMEN FINL SOLUIONES.- 1. X 1 = cosϕ tgϕ Y1 = senϕ.- 1. Ω = V k. α = 7 V 6 k f = 8 1. T = Mg T = 50 i + 10 j. = 50 i + 50 j. = 15 m 4. x y = 450 x

8 MENI PLI I. EXMEN FINL PIME EJEIIO TIEMPO: En la viga de la figura calcular el diagrama de esfuerzos cortantes y momentos flectores ( puntos). q ql L/ L L L. eterminar el par necesario para que el disco de masa M y radio esté en M equilibrio (1 punto). 0º f = 1. Indicar cuáles son el eje instantáneo de rotación y deslizamiento y los axoides fijo y móvil en el movimiento relativo entre el cono y el 1, si entre ambos no hay deslizamiento (1 punto). O 1 4. Indicar, si el disco rueda sin deslizar, cuál de los siguientes movimientos corresponde al de la barra y por qué (1 punto): a) otación instantánea. b) Traslación instantánea c) otación permanente d) Traslación permanente. V O I 0º

9 MENI PLI I. EXMEN FINL PIME EJEIIO TIEMPO: eterminar mediante el principio de los trabajos virtuales cuál tiene que ser el valor del par P para que el sistema, que carece de rozamiento, se encuentre en equilibrio cuando θ = 45º ( puntos) P θ M, L M, L 6. omprobar si es posible que los puntos (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) de un sólido r r r r r r r r rígido tengan las siguientes velocidades: V = i + j, V = i k, V = j k (1 punto). 7. os sólidos S 1 y S animados de movimiento plano tienen las siguientes velocidades r r r r ω = tk, ω = t + 1 k, respectivamente. alcular la aceleración angulares: ( ) 1 angular relativa del sólido S respecto al S 1. ( puntos)

10 MENI PLI I. EXMEN FINL SEGUNO EJEIIO TIEMPO: 50 El sistema de la figura consta de: un cono 1 de semiángulo en el vértice de 0º gira a velocidad angular ω constante alrededor de un eje fijo; un tronco de cono de eje vertical fijo y semiángulo 60º que en el contacto con el cono 1 no tiene deslizamiento; y un cilindro interior fijo de radio. Si entre el tronco de cono, el cilindro interior, y el suelo se sitúa una esfera de radio no existiendo deslizamiento en los puntos de contacto,, y. alcular: 1. Velocidad angular del sólido. (1 punto). Velocidad angular y eje instantáneo de rotación de la esfera. ( puntos). celeración angular del sólido y de la esfera. ( puntos) 4. celeración del centro de la esfera. (1 punto) 5. celeración del punto de la esfera. ( puntos) Z 1 O 0º ω 1 X Y 4 E

11 MENI PLI I. EXMEN FINL TEEO EJEIIO TIEMPO: 5 Un disco de radio asciende con velocidad angular constante ω por un plano inclinado π que forma 45º con la horizontal. No hay deslizamiento entre plano y disco. En el punto del disco se encuentra articulada una barra de longitud cuyo otro extremo recorre el plano π mediante una deslizadera en el punto. En el instante en que la barra forma 45º con π, se pide: 1. Velocidad angular de la barra ( puntos).. Velocidad de la deslizadera en (1 punto). celeración angular de la barra ( puntos) 4. celeración de la deslizadera en ( puntos) 5. Polo de aceleraciones de ( puntos). ω 45º

12 MENI PLI I. EXMEN FINL UTO EJEIIO TIEMPO: 45 os barras iguales y de masa M y longitud L están articuladas a los puntos fijos y respectivamente, el extremo de la barra está en contacto con el punto medio de la barra y el punto medio E de la barra está unido a un extremo del resorte ideal EF de constante elástica K. Sabiendo que en existe rozamiento al deslizamiento de valor f y que la longitud del resorte es L, calcular: 1. Módulo de la fuerza de rozamiento en, en el supuesto de que para que el sistema esté en equilibrio. (4 puntos) Mg K = y L. Valores mínimo y máximo de K para que el sistema esté en equilibrio, si el coeficiente de rozamiento al deslizamiento vale 1 f =. (4 puntos) 1 f =,. Valor mínimo de f necesario para que el sistema esté en equilibrio si se sustituye el resorte por un hilo. ( puntos) E 45º 45º 45º F

13 MENI PLI I. EXMEN FINL QUINTO EJEIIO TIEMPO: 45 Una estructura reticular EF formada por triángulos equiláteros de lado L y situada en un plano vertical está articulada en a la pared y en equilibrio. En F actúa una carga P a determinar y en está amarrado un cable que pesa 0 N/m y pasa sobre un punto fijo G. La tangente al cable en es horizontal y la tangente en G forma 0º con la horizontal. La longitud GH es de 10 metros. eterminar el valor de los esfuerzos en las barras y, indicando si son de tracción o compresión. L 60º G 0º 60º 60º E 60º L F H P

14 MENI PLI I. EXMEN FINL SOLUIONES. 1. Ω = ωe. X = 0 Ω = ω e e ; Y + Z =. 9 α = 0 ; α = ω e a = ω e a = ω e + e Ω = 0. V = ω i + j. ω α = k 4. = ω a i + j 5. X = X Y = Y Fr = 0. Mg < L. f = 0 5. F = 75 F = 75 + K < 4Mg L

15 MENI PLI I. EXMEN FINL PIME EJEIIO, TIEMPO: educir la primera fórmula de Frenet. ( puntos). educir la expresión de la aceleración del centro instantáneo de rotación. ( puntos). educir la longitud y la tensión de la catenaria en un punto a partir de la ecuación x de la catenaria: y = αch. ( puntos) α 4. La barra de longitud L se mueve de modo que sus extremos recorren los ejes coordenados y el punto tiene una velocidad V constante. alcular las componentes tangencial y normal de la aceleración del punto medio G. ( puntos) 45º G V r 5. Si la esfera de la figura pivota sobre el suelo con velocidad angular Ω y entre la esfera y el cilindro no existe deslizamiento. Qué velocidad angular tiene el cilindro, expresada en el sistema de referencia de la figura? uál es la velocidad angular de rodadura y pivotamiento en el contacto esfera- cilindro? ( puntos) Z Y X

16 MENI PLI I. EXMEN FINL SEGUNO EJEIIO, TIEMPO: 40 El mecanismo de la figura consta de una barra O de longitud sobre un plano π que se mueve con una velocidad angular ω constante como se indica en la figura, una barra de longitud perpendicular al plano π y eje de giro de un disco de radio que gira con una velocidad angular ω constante en el sentido que se indica en la figura. eterminar en el instante en que ωt=45º: 1. La velocidad angular absoluta del disco y la velocidad absoluta de ( puntos).. El eje instantáneo de rotación y deslizamiento del disco ( puntos).. celeración angular absoluta del disco (4 puntos). 4. celeración absoluta del punto ( puntos). e ω 90º π O ωt

17 MENI PLI I. EXMEN FINL TEE EJEIIO, TIEMPO: 45 Las barras O, de longitud, y O pueden girar alrededor del punto fijo O. La barra O lleva sólidamente unido un disco de radio y el conjunto gira con velocidad angular ω constante en el sentido indicado en la figura. Sobre la periferia del disco rueda sin deslizar la barra con velocidad angular relativa ω constante en el sentido indicado. El extremo esta unido mediante una deslizadera articulada a la barra O. eterminar en el instante en que O=E= y la barra O es horizontal: 1. Velocidad angular de la barra (1 punto). Velocidad angular de O ( puntos). Velocidad del punto relativa a O (1 punto) 4. celeración de E relativa al disco. ( puntos) 5. celeración del punto E de la barra ( Puntos) O 60º 0º ω E 90º ω

18 MENI PLI I. EXMEN FINL UTO EJEIIO, TIEMPO: 50 La viga está articulada al nudo de la celosía y conectada mediante una barra biarticulada sin masa al nudo G de la misma, además está sometida a una carga distribuida tal y como se indica en la figura. 1. alcular los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores de la viga. ( puntos). alcular las fuerzas soportadas por las barras GH, HF, y FE de la celosía, e indicar si trabajan a compresión o tracción. (4 puntos). alcular las fuerzas soportadas por las barras, y de la celosía, e indicar si trabajan a compresión o tracción. ( puntos) m m m 10N/m 0º H 4m G 4m O 0º 60º 60º 4m F 4m E

19 MENI PLI I. EXMEN FINL QUINTO EJEIIO, TIEMPO: 45 El extremo de la barra de masa M y longitud L está apoyado en una superficie horizontal rugosa con coeficiente de rozamiento al deslizamiento de valor f = y el Mg a un cable de peso propio q = que pasa por una polea de radio L despreciable y tiene su extremo atado a un punto fijo. Sabiendo que y están a la misma altura, que la tangente al cable en es horizontal 4 y que la tensión en forma con la horizontal un ángulo ϕ tal que tg ϕ =, calcular: 1. Fuerza de rozamiento en. (1 punto). Tensión del cable en. (1 punto). Longitud del tramo de cable. ( puntos) 4. Expresión vectorial de la tensión del cable en. ( puntos) 5. Fuerza de enlace sobre la polea. ( puntos) 6. Longitud del cable. ( puntos) L 8 45º

20 MENI PLI I. EXMEN FINL SOLUIONES. 1. Ω isco = ω e + ω e 6 X = 5. Z Y = 5 = 1. α isco ω e 4. = ω e1 ω e a. 1. Ω = ω k 4. a. Ω O ω = k. V relo = ω i V = ω e1 + ω e 5. a x z ω 1 = ω i + ω j = ω i + ω j Erelisco E O e 90º y ωt π V 10 M 4 6 X Mg F roz = Mg. T =. l = L F GH = 15 N ompresión F FH = 5 N Tracción F FE = 5 N Tracción. F = 10 N ompresión F = 10 N Tracción X 4. T 4 = Mg i + Mg j F 1 7 = Mg i + Mg j l = L 8

21 MENI PLI I. EXMEN FINL PIME EJEIIO, TIEMPO educir la expresión de la aceleración del centro instantáneo de rotación. ( puntos). Obtener las ecuaciones intrínsecas de un cable a partir de las ecuaciones vectoriales. ( puntos). ircunferencias notables. (4 puntos)

22 MENI PLI I. EXMEN FINL SEGUNO EJEIIO, TIEMPO 40 El sólido, que gira alrededor del eje vertical fijo con velocidad angular ω constante, lleva solidarios con él los ejes de revolución de dos conos de semiángulo en el vértice 45º y generatriz de longitud. Si las velocidades angulares de los conos alrededor de sus ejes de revolución, es decir las velocidades angulares relativas al sólido, son las indicadas en la figura, calcular: 1. Velocidad angular del cono 1 y, y velocidad del punto del cono 1. ( puntos). Eje instantáneo de rotación y deslizamiento del cono 1. (1 punto). omponentes de pivotamiento y rodadura en el contacto cono 1-suelo. (1 punto) 4. omponentes de pivotamiento y rodadura en el contacto cono 1-cono. (1 punto) 5. celeración angular del cono 1. ( puntos) 6. celeración del punto. ( puntos) ω ω ω 1

23 MENI PLI I. EXMEN FINL TEE EJEIIO, TIEMPO 50 Para el mecanismo de la figura y en la posición indicada sabiendo que ω = ω es constante y no hay deslizamiento entre el disco de radio y la barra E, se pide: 1.- Velocidad angular del disco. (4 puntos).- celeración angular del disco. (6 puntos) E F 60º 0 º 60º = E = 6 = = ω = cte

24 MENI PLI I. EXMEN FINL UTO EJEIIO, TIEMPO 40 Para la estructura de la figura. alcular: 1. Esfuerzos en las barras E, E, y, mediante el método de las secciones. ( puntos). Esfuerzos en las barras EF y F, mediante el método de los nudos. ( puntos). iagramas de momentos flectores y esfuerzos cortantes en la barra FG. (4 puntos) 6 m F m 10 m G 0º 0º E 0º 0º 6kN 6kN 6kN

25 MENI PLI I. EXMEN FINL QUINTO EJEIIO, TIEMPO 50 Sean dos masas puntuales de valor M unidos por el cable de peso por unidad de longitud q, longitud 6 y flecha. Se pide: 1. obtener el parámetro de la catenaria. ( puntos). si el coeficiente de rozamiento entre bloque y suelo es 1 f = y el peso por unidad 1 Mg de longitud de cable q = obtener los valores admisibles de F para que el sistema este en equilibrio. ( puntos). obtener para el mismo valor de q el valor mínimo del coeficiente de rozamiento para el cual el sistema sigue estando en equilibrio sin tener que aplicarle ninguna fuerza F horizontal. ( puntos) 4. si los dos bloques se alejan, y la flecha pasa a valer λ donde 0 < λ < 1, obtener el nuevo parámetro de la catenaria (en función de λ) y el valor mínimo del coeficiente de rozamiento para que el sistema este en equilibrio sin aplicar ninguna fuerza horizontal (para Mg q = ). ( puntos) 5. es posible separar los dos bloques de forma que la flecha de la catenaria sea nula? Qué valor tomaría T O? (1 punto) F F

26 MENI PLI I. EXMEN FINL SOLUIONES