Composición de movimientos

Transcripción

1 Capítulo 3 Composición de movimientos 3.1. Composición de movimientos Además de los problemas y ejercicios de este capítulo, es conveniente resolver los del anterior con las técnicas de composición de movimientos, y comparar las ventajas de uno u otro camino. Ejercicio 3.1.1: Un disco de radio r (sólido 2) rueda sin deslizar por el interior de una circunferencia fija de radio 2r y centro (Sólido 1). El eje del sistema intermedio 0 contiene en todo momento al centro del disco C. En un instante genérico, se pide: Velocidades angulares relativa y absoluta. Aceleración del punto de contacto I por composición de movimientos. Aceleración de I mediante el campo de aceleraciones del sólido 2. Razonar los pasos que habría que dar para calcular la aceleración de I derivando su vector posición. Se trabajará en ejes 0, dejando los resultados en función de las derivadas del ángulo que forman x 1 y. C I x 1 Ejercicio 3.1.2: Sea S 1 un sistema de referencia con origen en el Sol y direcciones fijas en el espacio; el eje Sz 1 es normal a la órbita de la Tierra. Sea S 0 un sistema con origen en el Sol, eje Sz 0 Sz 1, y el eje S pasa siempre por el centro de la Tierra. Finalmente, sea S 2 un sistema de referencia unido a la Tierra, con origen en su centro. Se llama día solar al periodo de rotación de la Tierra respecto al radio vector desde el Sol S. Se llama día sidéreo a su periodo de rotación respecto a los ejes de direcciones fijas. Se supondrá, para simplificar, que el eje de rotación absoluta de la Tierra ω 21 (Eje de polos)esparaleloasz 1.Sesupondrátambién que la órbita de la Tierra es circular y se recorre con velocidad uniforme. Inicialmente coinciden S 1 ys 0.Sabiendo que el periodode la órbita (año) vale aproximadamente 365,25 días y que el día solar dura 24 horas, calcular la duración del día sidéreo. x 1 9 z 1 z 0 ω 21 y 0 y 1

2 10 CAPÍTUL 3. CMPSICIÓN DE MVIMIENTS Ejercicio 3.1.3: Se repetirá el ejercicio anterior, pero teniendo en cuenta la inclinación del eje polar: la dirección de la velocidad angular absoluta de la Tierra ω 21 es paralela al plano Sx 1 z 1 y forma un ángulo = 23,45 o con Sz 1, en la dirección negativa de Sx 1. Comparar la duración del día sidéreo con la calculada antes. (El International Earth Rotation Service da un valor ω 21 = 0, rad/s). x 1 z 1 z 0 ω 21 y 0 y 1 Ejercicio 3.1.4: Un disco S 2 de radio R rueda y pivota sin deslizar sobre un plano fijo x 1 y 1 manteniéndose siempre perpendicular a él. Sean (x, y) las coordenadas en ejes S 1 de la proyección del centro del disco. Expresar en función de estas coordenadas, de los ángulos de Euler y de sus derivadas la condición cinemática de no deslizamiento. z 1 z 0 ϕ ψ C ϕ y 0 ψ x 1 I y 1 z 1 Ejercicio 3.1.5: Un disco S 2 de radio R rueda y pivota sin deslizar sobre un plano fijo x 1 y 1. Sean (x,y) ψ ϕ las coordenadas en ejes S 1 de la proyección del centro ϕ del disco. Expresar en función de estas coordenadas, C y delos ángulos de Euler y desus derivadas la condición 0 ψ cinemática de no deslizamiento. x 1 I y 1 Ejercicio 3.1.6: Una esfera de radio R (sólido S 2 ) rueda y pivota sin deslizar sobre un plano fijo x 1 y 1. Sean (x,y,r) las coordenadas de su centro en dichos ejes. Expresar la condición cinemática de no deslizamiento en función de las coordenadas, de los ángulos de Euler de la esfera, y de sus derivadas. Ejercicio 3.1.7: En la película 2001: Una odisea del espacio, se presenta un sistema para crear gravedad artificial en una astronave. Setratadeuncilindro girandoalrededor desueje, ylosastronautas viven en la superficie interior. La fuerza centrífuga proporciona una sensación de gravedad. Suponiendo un radio de 10m, calcular la velocidad angular del cilindro en rpm para obtener una gravedad de 0,1g. Sea un caso genérico con un cilindro de radio R girando con velocidad angular ω. Un astronauta corre por la superficie interior del cilindro con velocidad constante en el mismo sentido de la rotación. Calcular la gravedad que experimenta (se puede despreciar la altura del astronauta frente al radio del cilindro. Supóngase ahora que corre en sentido opuesto a la rotación. A qué velocidad empezaría a flotar? Problema 3.1.1: La rueda de un ferrocarril de radio r se mueve rodando sin deslizar z 0

3 3.1. CMPSICIÓN DE MVIMIENTS 11 sobre un raíl que traza una circunferencia de radio R en el plano horizontal. El plano que define la rueda es en todo momento tangente al raíl y perpendicular al plano horizontal. Supongamos que el centro geométrico de la rueda se mueve con una velocidad de módulo constante (v 0 ). Consideremos un sistema de referencia S 0 ligado al movimiento de la rueda: su origen está en el centro de la rueda, el eje Z 0 es perpendicular a su superficie, Y 0 es vertical y X 0 es perpendicular a los dos anteriores. Utilizar coordenadas cartesianas referidas a estos ejes para responder a las siguientes preguntas: 1) Velocidad angular y aceleración angular de la rueda respecto al sistema de referencia S 0 y respecto a otro fijo en la vía. (7 puntos) 2) Velocidad y aceleración del punto más alto de la rueda respecto al sistema de referencia S 0 y respecto al fijo en la vía. (7 puntos) X0 R r Z 0 3) Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento de la rueda, así como su velocidad de mínimo deslizamiento. (6 puntos) Problema 3.1.2: Un proyectil cilíndrico gira con velocidad angular constante Ω alrededor de su eje. A su vez, el centro geométrico del cilindro describe, respecto a un sistema de referencia absoluto S 1, una trayectoria plana que es tangente en todo momento al eje del cilindro. Definimos un sistema de referencia S 0 asociado al movimiento del proyectil: está centrado en el punto de forma que el eje Y Ω X coincide conel eje desimetría del cilindro. El eje Y está en X todo momento contenido en el plano del movimiento del centro Y 1 del cilindro, y es perpendicular a la trayectoria que describe el punto. Finalmente Z se define de forma que el sistema de ejes está orientado positivamente (a derechas). Estudiaremos dos casos: 1 X1 1) El punto describe una circunferencia de radio R con velocidad de módulo constante v 0. Expresar en el sistema de ejes S : a) Velocidad y aceleración angular absolutas del proyectil (7/20). b) Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento. Velocidad de mínimo deslizamiento (6/20). 2) El punto describe la trayectoria correspondiente a un tiro parabólico de ángulo 45 sobre la horizontal y velocidad inicial v 0, sometido a un valor arbitrario g de la aceleración de la gravedad. Expresar en el sistema de ejes S : c) Velocidad angular absoluta del proyectil en el punto más alto de la trayectoria (7/20). Problema 3.1.3: Un disco de radio R gira sobre el plano horizontal con velocidad angular constante Ω alrededor de un eje vertical que pasa por su centro. Lo ejes dibujados en la figura pertenecen a un sistema de referencia S 0 solidario al movimiento del disco. Sobre el disco hay dos barras, AB y CD, con las siguientes propiedades:

4 12 CAPÍTUL 3. CMPSICIÓN DE MVIMIENTS Durante el movimiento del disco ambas barras permanecen en el plano Y 0 Z 0. La barra AB tiene una longitud 2R y su extremo A está unido al borde del disco. Z 0 D B La barra CD tiene una longitud R. Gira con velocidad angular constante 2ω en el plano Y 0 Z 0 de forma que su extremo C permanece fijo en el centro del disco y el extremo D desliza a lo largo de la barra AB mediante una corredera. A R X 0 C 2ω Y 0 Se pide calcular: 1) Velocidad angular de la barra AB relativa al sistema de referencia S 0 ligado al disco (4 puntos). 2) Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento de la barra AB respecto al sistema de referencia absoluto. Hallar la velocidad de deslizamiento (4 puntos). 3) Velocidad y aceleración del punto B relativas al sistema S 0. Velocidad y aceleración absolutas del punto B (2 puntos). Problema 3.1.4: Se quiere estudiar el movimiento de las hélices durante el despegue y transición a vuelo horizontal de la aeronave de rotores pivotantes sprey. Para simplificar se supondrá que los rotores son sólidos rígidos, que giran con velocidad angular constante respecto a ejes ligados a la barquilla, ω r i 0 el derecho y ω r i 0 el izquierdo. Inicialmente los motores están verticales( = π/2),ysevaninclinando hasta alinearse con el eje longitudinal del aparato x 1, según una ley conocida (t). Losejes ligadosal aparato,x 1 y 1 z 1 se mantienen siempre paralelosalosfijosen tierra, y a todos los efectos se considerarán como fijos. Se conoce A = a, AB = b y BC = R. Todos los resultados se proyectarán en los ejes 0. Se pide: 1. Velocidad angular absoluta del rotor derecho (sólido 2), ω 21, proyectada en los ejes y 0 z 0 solidarios a las barquillas de los motores, en función de ω r y las derivadas de. 2. Aceleración angular absoluta de este rotor, α En el instante inicial, aceleración respecto al sistema fijo 1 (ejes aparato) del extremo C de la pala, que en ese momento se encuentra en (b,a + R,0), aplicando las expresiones del campo de aceleraciones del sólido Calcular esa misma aceleración a C 21 mediante la composición de movimientos 2/0 + 0/1, y comprobar que se obtiene la misma expresión. z T T z 1 x 1 x T

5 3.1. CMPSICIÓN DE MVIMIENTS 13 ω r ω r B C x 1 A y 1 y 0 z 0 z 1 Problema 3.1.5: Unvehículo rectangular (sólido 0),de4Rdelargoy2Rdeancho, tiene cuatro ruedas de radio R en los vértices. Todas están contenidas en planos verticales, y ruedan y pivotan sin deslizar sobre el plano horizontal 5 x 5 y 5. Las dos delanteras (1 y 2) son directrices y sus planos forman ángulos φ 1 y φ 2 con z 0. Las dos traseras (3 y 4) son motrices y sus planos están fijos respecto a 0. Para que no deslicen en las curvas, el motor las mueve a través de un diferencial, de modo que sus velocidades angulares de rodadura cumplen la relación ω45 r +ωr 35 = 2ω, siendo ω constante. Se pide: 1. Determinar φ 2 en función de φ 1 para que el movimiento 0/5 sea posible. 2. Determinar ω r 45, ω r 35 y la velocidad angular del vehículo en función de ω y φ En el caso tanφ 1 = 2, hallar razonadamente la base y ruleta del movimiento del vehículo y la trayectoria de (punto medio del eje trasero). En el instante inicial, está sobre 5 y los ejes tienen las mismas direcciones. Con las mismas condiciones iniciales, y manteniendo ω constante, el vehículo se mueve de modo que recorre el arco de cicloide x = R(1 cosu), y = R(u sinu), u [0,2π]. Se pide: 4. Determinar la ley horaria u = u(t). 5. Hallar la ley de mando de la rueda, φ 1 (t), para que recorra dicha trayectoria.

6 14 CAPÍTUL 3. CMPSICIÓN DE MVIMIENTS y 5 2 φ 2 x 0 y φ 1 5 ψ x 5 Problema 3.1.6: Un sistema material (un ratón de bola) está apoyado sobre el plano fijo 1 x 1 y 1 y consta de: Un paralelepípedo (S 0 ) que se apoya y desliza sobre el plano fijo; lleva asociado el sistema xyz de ejes paralelos a los lados. Una esfera de radio R (S 2 ) cuyo centro está fijo en el punto de S 0 ; rueda y pivota sin deslizar sobre el plano fijo. z A α z 1 x z z B β y Dosdiscosderadior(S 3 ys 4 )quepueden girar libremente alrededor de ejes fijos en S 0 ; sus centros son (R+r,0,0) 0 y (0,R+r,0) 0, respectivamente, y sus velocidades angulares relativas ω 30 = (0, α,0) y ω 40 = ( β,0,0); están en contacto sin deslizamiento con la esfera en los puntos A y B respectivamente. y β α y 1 (ξ,η,0) x 1 x Se usarán: (ξ,η), coordenadas en ejes fijos de la proyección de ;, ángulo entre 1 x 1 y una paralela a x; ángulos α y β girados por los discos S 3 y S 4 alrededor de sus respectivos ejes (ver figuras); velocidad angular absoluta de la esfera, proyectada en ejes S 0 : ω 21 = (ω x,ω y,ω z ) 0. Los resultados se proyectarán en ejes S 0, salvo los que por definición exigen otros. Se pide: 1. Ecuaciones de la ligadura de no deslizamiento de la esfera sobre el plano fijo, proyectadas en ejes S Expresar las componentes de la velocidad angular ω 21 en función de α, β y. 3. A continuación se estudia un movimiento particular: Se coloca sobre el eje 1 z 1, con los ejes S 0 paralelos a los fijos, y se mueve el ratón de modo que v 01 = ΩRi 1 y = Ω, ambos constantes. Calcular ω 21 (t). 4. Ecuaciones paramétricas de la axoide fija de la esfera, r AF (t,λ) 5. Identificar qué superficie es. 6. Por razonamientos geométricos, identificar la axoide móvil. 7. btener α(t) y β(t), suponiendo que ambas sean nulas en t = Calcular la aceleración angular relativa de la esfera, ω 20.

7 3.1. CMPSICIÓN DE MVIMIENTS 15 Problema 3.1.7: Una esfera de radio a rueda y pivota sin deslizar por el interior de una superficie cónica de revolución de eje z 1 y semiángulo cónico 60 o. El centro C de la esfera describe, con velocidad angular ω constante, una circunferencia de radio a contenida en un plano perpendicular a z 1 y con centro sobre este eje. Una figura representa la vista general del sistema y la otra es un corte por el plano auxiliar xz que contiene el centro de la esfera y que gira alrededor de z en el curso del movimiento con velocidad angular ω. Se pide: 1. Demostrar que con las condiciones impuestas, el vector velocidad angular de la esfera Ω ha de quedar contenido en el plano xz. En lo sucesivo supondremos que la relación entre las velocidades de rodadura y de pivotamiento se mantiene constante a lo largo del movimiento. 2. Demostrar que con esta nueva condición el eje instantáneo de rotación de la esfera corta a z 1 en un punto fijo. 3. Determinar las superficies axoides y la velocidad angular Ω en los siguientes movimientos particulares: a) Cuando en todo momento la velocidad de pivotamiento es nula. b) Cuando la axoide fija se reduce a un plano. c) Cuando el movimiento de la esfera es un movimiento plano. d) Cuando el punto de tangencia H de la esfera y el eje z 1 se mantiene fijo. 4. Calcular dω/dt en el movimiento particular a). 5. calcular la aceleración de H en este caso particular. Problema 3.1.8: El sistema material de la figura está constituido por: a) Un cono circular recto (Sólido 1) fijo en el espacio de semiángulo en el vértice 30 o, radio de la base R y eje vertical z 1. b) Un cilindro circular recto (Sólido 2) móvil de altura R y radio de la base R/2. El cilindro rueda, pivota y desliza sobre la superficie exterior del cono de forma que en todo momento tienen una generatriz común. Se sabe que la generatriz de contacto cilindro/cono gira con velocidad angular constante ω alrededor del eje z 1, y que la base inferior del cilindro rueda sin deslizar sobre la base del cono. En el movimiento cilindro/cono descrito se pide: 1. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento. 2. Velocidad angular. 3. Velocidad angular de rodadura y pivotamiento.

8 16 CAPÍTUL 3. CMPSICIÓN DE MVIMIENTS 4. Axoides fija y móvil. 5. Aceleración angular. 6. Velocidad del punto M situado en la base superior del cilindro según se indica. Nota: todos los cálculos deben realizarse en los ejes y 0 z 0 que se indican en la figura y que en todo momento acompañan a la generatriz de contacto cilindro/cono. Problema 3.1.9: Se considera el sistema material constituido por: a) Una esfera E, de centro 1 y radio R (sólido 3) cuyo movimiento respecto a un sistema fijo (sólido 1) es una rotación pura de valor ω constante alrededor de un diámetro vertical AB. b) Un plano horizontal π (sólido 4) cuyo movimiento respecto al sólido 1 es también una rotación pura de valor Ω constante alrededor de la vertical AB. Dicho plano está situado a una distancia 2R por debajo del centro 1 de la esfera E. c) Un cono circular recto C (sólido 2) de vértice el punto (intersección de la recta AB y el plano π), que rueda sin deslizar por el exterior de la esfera y por la cara superior del plano π. En la figura se representa la sección meridiana del sistema material considerado. Los ejes y 0 z 0 están ligados a dicha sección y deben utilizarse para el cálculo de todas las magnitudes vectoriales que intervienen en el problema. Se pide: 1. Velocidad angular absoluta del eje del cono. 2. Velocidad angular absoluta del movimiento absoluto del cono. 3. Axoides fija y móvil del movimiento absoluto del cono. 4. Aceleración angular absoluta del cono. Para el caso en que Ω = ω/2. 5. Cuáles son las superficies axoides? 6. Aceleración del punto M del cono en contacto con la esfera.

9 3.1. CMPSICIÓN DE MVIMIENTS 17 Problema : Un diferencial de automóvil está formado por dos conos iguales (sólidos 1 y 2) de eje común y semiángulo en el vértice de 30 o. Dichos conos pueden girar libremente alrededor de su eje con movimientos independientes. El tercer cono (sólido 3) de semiángulo en el vértice de 60 o, puede moverse sobre los conos anteriores girando alrededor de su eje E 3 y rodando sin deslizar sobre las generatrices de contacto con los conos 1 y 2. El eje del cono 3, E 3, es un radio fijo de una corona circular (sólido 4) cuyo plano es constantemente perpendicular al eje de los conos 1 y 2, y a la que se comunica una velocidad angular constante Ω 4. Si la velocidad angular del cono 1 es Ω 1, se pide: 1. Velocidades angulares ω 30 y ω Eje instantáneo de rotación en el movimiento del sólido Axoides fija y móvil del movimiento anterior. 4. Para una velocidad angular Ω 4 dada, qué valor debe tomar Ω 1 para que el módulo de ω 34 sea mínimo? Cuál será en ese caso la velocidad angular ω 20? 5. Representar gráficamente ω 20 en función de Ω 1 para una Ω 4 dada y determinar el valor de Ω 1 que hace máxima la rotación de ω 20. Problema : Un disco infinitamente delgado (sólido 2), de radio R, rueda y pivota sin deslizar sobre un plano fijo x 1 y 1 (sólido 1). Sea I el punto de contacto del disco y el plano. Para especificar su configuración se usarán: ξ, η coordenadas en ejes 1 de la proyección del centro del disco C sobre el plano; ψ, y ϕ, ángulos de precesión, nutación y rotación propia del disco, respectivamente. Los resultados se proyectarán en los ejes auxiliares I y 0 z 0 (sólido 0), con origen en el punto de contacto y girado el ángulo de precesión respecto a S 1. Para el caso general, se pide: 1. Velocidad angular del disco en función de los ángulos de Euler y sus derivadas. 2. btener ξ y η en función de los ángulos de Euler y sus derivadas. Del movimiento del disco se sabe que la axoide fija es un cono circular con centro en el origen, eje z 1, radio de la base R, y semiángulo en el vértice 30 o. En el instante inicial el punto I está sobre el eje y 1. La proyección de C se mueve sobre el plano con velocidad de módulo constante ωr ( 1+ 3/2 ). Para este movimiento, se pide:

10 18 CAPÍTUL 3. CMPSICIÓN DE MVIMIENTS 3. Basándose en las propiedades de las axoides, deducir razonadamente: a) Dirección del vector velocidad angular en el momento inicial b) Axoide móvil c) Valores de los ángulos de Euler en el momento inicial. 4. Velocidad angular del disco. 5. Aceleración angular del disco z 1 z 0 y 3 ϕ z 1 z 3 C y 0 x 1 ψ I x 3 y 1 I y 1 Problema : Una esfera de radio a y centro C (S 2 ) rueda y pivota sin deslizar sobre un cilindro circular fijo de radio R (S 1 ). El punto de contacto M recorre sobre el cilindro la hélice z z 0 M β C R(cosi 1 +sinj 1 +tanαk 1 ) con velocidad Rω. Sobre la esfera recorre una circunferencia deradio acosβ.delasdosposiciones posibles, la circunferencia queda por encima del centro C. En la resolución convendrá usar los ejes intermedios M y 0 z 0 asociados a las coordenadas cilíndricas del punto de contacto. Salvo que algún resultado exija otra cosa, las soluciones vectoriales se proyectarán en estos ejes. Se pide: x M C y y 0 1. Velocidad angular de M y 0 z Eje instantáneo de rotación del movimiento 2/0. 3. Módulo de la velocidad angular ω Aceleración angular absoluta α Axoide fija del movimiento 2/1. Problema : Una esfera de radio a se mueve sobre un cilindro circular fijo, de eje vertical y radio R, de manera que:

11 3.1. CMPSICIÓN DE MVIMIENTS 19 La esfera rueda sin deslizar sobre el cilindro. La velocidad angular de la esfera es un vector de módulo ω(t), contenido en el plano tangente común a los dos sólidos, y que forma un ángulo constante con la vertical. En un instante arbitrario la posición del punto geométrico de contacto M viene dada por sus coordenadas cilíndricas (ψ,z), y su velocidad v forma un ángulo α con la horizontal. Se pide: 1. Trabajando en los ejes auxiliares M y 0 z 0, determinar la condición de no deslizamiento de la esfera sobre el cilindro, en función de ω,, α y v. 2. Hallar v y α en función de ω y. Identificar la trayectoria del punto ( 2 M sobre el cilindro para las condiciones iniciales ψ(0) = 0, z(0) = 0, v(0) = v j ) 2 k Identificar la trayectoria de M sobre la esfera. Para ello puede ser útil introducir como sistema intermedio el triedro intrínseco de la trayectoria de M sobre el cilindro. 4. Ecuaciones paramétricas de la axoide fija. Identificar la axoide móvil, sin necesidad de hallar su ecuación. 5. Aceleración del punto M considerado como de la esfera en el movimiento absoluto. 6. Se estudia ahora el movimiento de la esfera respecto a unos ejes paralelos a los fijos con origen en el centro de la esfera: identificar las axoides fija y móvil, sin hallar sus ecuaciones.

12 20 CAPÍTUL 3. CMPSICIÓN DE MVIMIENTS 3.2. Movimiento plano Ejercicio 3.2.1: En un movimiento plano, una recta del plano móvil pasa siempre por un punto fijo, y un punto de la recta describe una circunferencia que pasa por. Hallar la base y la ruleta. Ejercicio 3.2.2: La base de un movimiento es una recta, y un punto del plano móvil recorre otra recta que forma un ángulo ϕ con la anterior. Hallar la ruleta. Ejercicio 3.2.3: En un cuadrilátero plano ABCD, AB = CD = a, BD = AC = b > a, CD es fijo. Hallar la base y la ruleta del movimiento de AB. Ejercicio 3.2.4: Repetir el ejercicio anterior para el caso b < a. Ejercicio 3.2.5: En un movimiento plano la base es una recta y un punto del plano móvil describe una circunferencia tangente a la base. Hallar la ruleta. Ejercicio 3.2.6: En un movimiento plano, la base es una recta y un punto describe la catenaria y = acosh x. Hallar la ruleta. a Ejercicio 3.2.7: En un movimiento plano, una circunferencia del plano móvil pasa siempre por un punto fijo P, y un punto M de esta circunferencia describe una recta r que pasa por P. 1. Hallar la base y la ruleta del movimiento. 2. Ecuación del movimiento del punto que tiene trayectoria rectilínea admitiendo que la velocidad de sucesión de los centros instantáneos es una constante v. Problema 3.2.1: Los engranajes A, B, C, que aparecen en la figura, están unidos por un pasador en su centro a la barra ABC. El engranaje A es fijo, mientras que la barra ABC gira en sentido contrario a las agujas del reloj con una velocidad angular ω constante. Sabiendo que en su movimiento los engranajes ruedan sin deslizar sobre sus circunferencias primitivas de radios R A > R B > R C, calcular: 1. Velocidad angular del engranaje B en su movimiento absoluto. 2. Base y ruleta del engranaje B en dicho movimiento. 3. Velocidad angular del engranaje C en su movimiento absoluto. Depende del tamaño del engranaje intermedio? 4. Velocidad del engranaje C respecto del engranaje B. 5. Base y ruleta del engranaje C en su movimiento absoluto. 6. Aceleración lineal del diente del engranaje C situado en cada instante en el punto de tangencia entre las circunferencias primitivas de los engranajes C y B.

13 3.2. MVIMIENT PLAN 21 Problema 3.2.2: La figura representa un tren de engranajes planetario con los siguientes elementos: Sol: Rueda de radio 2r que gira respecto de su eje fijo a tierra. Planetarios: Ruedas de radio r cuyos ejes están articulados al brazo AB. Brazo: Barra AB articulada tanto al engranaje sol como a los planetarios. Posee una velocidad angular constante ω 0 en el sentido de las agujas del reloj. Corona: Engranaje estático y concéntrico con el sol. Teniendo en cuenta que durante la transferencia del movimiento rotatorio las ruedas acopladas ruedan sin deslizar, calcular: 1. Velocidad angular de los engranajes planetarios respecto al brazo. 2. Velocidad angular absoluta de los engranajes planetarios. 3. Velocidad angular absoluta del engranaje sol. 4. Velocidad lineal absoluta del punto C del planetario. 5. Aceleración lineal absoluta del punto C del planetario. NTA: se recomienda utilizar los ejes XYZ ligados al brazo y la numeración de sólidos de la figura. Problema 3.2.3: Una varilla AB, de longitud 2a, se mueve en un plano, referido a unos ejes ortogonales 1 X 1 Y 1 de forma que su extremo A describe el eje 1 X 1 con velocidad constante v, mientras que la velocidad del extremo B forma con la varilla el mismo ángulo que esta forma con el eje 1 X 1.

14 22 CAPÍTUL 3. CMPSICIÓN DE MVIMIENTS En el instante inicial la varilla está situada sobre el eje 1 Y 1 encontrándose el extremo B en la parte negativa de dicho eje. Se pide: 1. Determinar en función del tiempo la velocidad angular y de la varilla Determinar la base y la ruleta correspondientes al movimiento de la varilla. 3. Determinar el valor máximo de la aceleración angular de la varilla. Problema 3.2.4: Consideremos un plano horizontal referido a dos ejes ortogonales xy. Sea z la vertical que pasa por. Sobre los ejes x, y ruedan sin deslizar dos discos iguales A y B de radio R que quedan contenidos respectivamente en los planos xz, yz. Sean x,y las distancias de los centros de los discos al eje z. Un plano P que se mantiene horizontal en todo momento se apoya en ambos discos rodando y pivotando sobre ellos sin deslizamiento. El movimiento del disco B viene determinado por la ecuación y = asin ωt y el disco A vendrá obligado por las ligaduras cinemáticas que tiene impuestas. Si inicialmente vale x = a, se pide: 1. Demostrar que la distancia entre los centros de ambos discos se mantiene constante a lo largo del movimiento verificándose la relación x 2 +y 2 = a Calcular la velocidad angular Ω del plano P. 3. Determinar la base del plano P. 4. Determinar e identificar la trayectoria del punto de P que inicialmente se proyecta en. 5. Determinar la ruleta del movimiento de P. 1 v B B A v x 1