Problema 8: DIFERENCIAL

Transcripción

1 Problema 8: DIFERENCIAL En las figuras se muestran diversos esquemas de un mecanismo planetario (de ruedas o engranajes cónicos) usado como diferencial en los automóviles (mecanismo planetario diferencial, mecanismo diferencial o diferencial). Este mecanismo se utiliza para la conexión de las ruedas traseras (motrices) con el motor (eje motor) y se intercala en el eje de las ruedas con objeto de que éstas giren con distintas componentes (ω D, ω I ), de rotación de rodadura y en consecuencia no patinen o deslicen cuando el automóvil no va en linea recta. Si las ruedas tuviesen eje (no motor) fijo común, sucedería que en cualquier trayectoria no rectilínea y por tanto curva, el centro de la rueda exterior ( la derecha o la izquierda) en relación con el centro de curvatura de la trayectoria, recorrería más camino que la interior y por tanto daría más vueltas de acuerdo con el mayor camino que debe recorrer. Es decir si ambas tuvieran la misma velocidad de rotación (componente de rodadura) como consecuencia de tener un eje que fuese su eje motor común, una de ellas forzosamente tendría que deslizar sobre el pavimento. En consecuencia se intercala el mecanismo (diferencial) en el hipotético eje común motor de ambas, para así tener cada una su eje motor propio, a la vez que está conectado con el arbol motor, proveniente del motor del vehículo. El diferencial adapta la diferencia de velocidades entre las ruedas derecha e izquierda cuando el vehículo describe trayectorias curvas. Este mecanismo si bien permite que las ruedas puedan tener distintas velocidades de rotación, hace que se cumplan las siguientes condiciones o lo que es equivalente se verifiquen las siguientes propiedades: 1) Siempre su semisuma es igual a la velocidad de rotación (de rodadura) de la corona ( marco, caja de satélites o portasatélites). ω cor = 1 2 (ω D + ω I ) Nota: Si una de las ruedas se mantiene estacionaria y la otra puede girar libremente, ésta girará a una velocidad dos veces más alta que la del portador (caja portasatélites)[esto es una desventaja cuando el coche está atascado en nieve o lodo]. 2) Siempre su semidiferencia es proporcional a la velocidad de rotación relativa del satélite (engranaje cónico intermedio) respecto a la corona. ω sat/cor = 1 2 k(ω ext ω int ) 3) Cuando la trayectoria del automóvil es rectilínea se tiene: ωcor = ω D = ω I ω sat/cor = 0 k R piñón rueda R satélites Se pide verificar las condiciones que se establecen en el mecanismo a través de la obtención de las relaciones anteriormente expresadas en 1), 2) y 3), para lo cual se recomienda como metodología posible, entre otras, servirse de: a) Tómese como sistema de referencia S (O, u, e, u e). Donde O, es el punto de concurrencia de los ejes de los satélites y de los piñones de las ruedas; u es un vector unitario de dirección la del eje de las ruedas y sentido, por ejemplo, desde la rueda izquierda hacia la derecha, y e vector unitario de dirección la del eje de los satélites y sentido hacia uno de ellos. Según lo anterior dicha referencia es solidaria al sistema corona-caja portasatélites. b) Verificar que las condiciones geométricas de construccción implican la condición cinemática de ω 53 = ω 63. c) Son conocidas las direcciones de ( ω 53, ω 54, ω 43 ) o alternativamente las de ( ω 63, ω 64, ω 43 ) y en forma correspondiente en las que interviene el elemento 4 con relación al 5 y 6. d) La construcción geométrica junto con las relaciones de aditividad entre las rotaciones anteriores establece una relación f (ω 53, ω 43 ) = 0 o bien f (ω 63, ω 43 ) = 0 y en forma correspondiente en las que interviene el elemento 4 con relación al 5 y 6. NOTA: Puede visualizar el funcionamiento del diferencial a través de varias animaciones en la página web del Departamento entrando en MecFunNet, Cinemática esférica, Diferencial (

2 Hoja de figuras 1 de 3

3 Hoja de figuras 2 de 3

4 Hoja de figuras 3 de 3

5 RESOLUCIÓN De los esquemas representativos del mecanismo se obtienen las siguientes consideraciones: a) La disposición constructiva hace que el movimiento relativo entre ruedas entre sí y entre ruedas y la coronacaja satélites sea de rotaciones con eje fijo, siendo la dirección de dicho eje la del vector u considerado. b) Por otra parte el movimiento general de las ruedas con respecto al suelo, así como el de la corona respecto al suelo, es de una rotación con pivotamiento y rodadura, siendo en la conducción conveniente que el movimiento de las ruedas sea de rodadura y pivotamiento sin deslizamiento. La componente de pivotamiento es normal al suelo y la de rodadura es paralela al mismo y de direccción la del vector u considerado. En el caso de movimiento rectilíneo del coche, la rotación de las ruedas y de la corona, consta sólo de rodadura siendo entonces la dirección del vector u, constante. NOTA.- Las componentes verticales de las rotaciones respecto al suelo de las ruedas (componentes de pivotamiento) y de la corona-caja satélites son las mismas para los tres elementos, no así las componentes horizontales respecto al suelo de las ruedas (componentes de rodadura) y de la corona-caja-satélites que son distintas para los tres elementos. Si definimos el vector t, según el eje longitudinal del chasis y sentido del eje trasero al delantero, se tiene que sirviéndonos del vector ya definido u, es: Siendo los referenciales: u t k (suelo (1)) S (O, u, e, u e) corona-caja satélites S ch (O, u, t, u t = k) chasis vehículo Las componentes verticales (pivotamiento en su caso) y horizontales (rodadura en su caso) en relación al suelo, son: Cumpliéndose: ω = ( ω k) k + ( k ω) k ω 51 k ω piv,i = ω 61 k ω piv,d = ω 31 k ω 51 u = ω I ω rod,i ω 61 u = ω D ω rod,d ω 31 u = ω cor c) El movimiento relativo entre satélites y corona es de rotación con eje fijos. d) El movimiento relativo entre satélites y piñones de las ruedas es rodadura exterior sin deslizamiento entre las superficies cónicas asociadas a los mismos y siendo por tanto común el vértice de ambos conos. Al existir doble contacto de cada satélite con los dos piñones de las ruedas, el vértice es común a los tres conos y está sobre el eje de las ruedas, punto de simetría del conjunto satélites-piñones ruedas. e) La conexión física de transmisión por contacto en la caja portasatélites y sus entradas y salidas se efectúa a través de los elementos: (2) (3) [ (4) (4 ) ] [ (5) (6) ]

6 I.- Movimientos de (5) y (6) en relación a (3): ω53 = ω 54 + ω 43 ω 63 = ω 64 + ω 43 Se ha hecho intervenir al elemento (4), si bien se puede hacerlo también con el elemento (4 ), con las expresiones similares correspondientes, para obtener las mismas conclusiones a través de uno u otro elemento. Al ser: ω53 = ω 53 u ω 63 = ω 63 u ω 43 = ω 43 e ω54 (e.i.r) 54 [generatriz contacto] ω 64 (e.i.r) 64 [generatriz contacto] a) Al efectuar las dos sumas anteriores y siendo común el vector ω 43, y conocer las direcciones de los otros vectorers de cada suma, se obtiene que : ω 53 = ω 63 ω 53 + ω 63 = 0 b) Así mismo de los triángulos correspondientes de cada suma, es: ω53 = ω 43 tan α ω 63 = ω 43 tan α tan α = R piñón rueda R satélites k II.- Movimientos de (5) y (6) en relación a (1): ω51 = ω 53 + ω 31 ω 61 = ω 63 + ω 31 Para tener en cuenta las componentes de la rodadura o rotaciones de rodadura de las ruedas y de la corona, al multiplicar escalarmente por u, es: ω51 = ω 53 + ω 31 ω 61 = ω 63 + ω 31 ( u) ωi = ( ω 53 u) + ω cor ω D = ( ω 63 u) + ω Cor a) ωi = ( ω 53 u) + ω Cor (+) ω ω D = ( ω 63 u) + ω cor = 1 Cor ( ω 53 = ω 63 ) 2 (ω D + ω I ) ω cor = 1 2 (ω D + ω I ) NOTA.- La anterior expresión manifiesta que el diferencial es un mecanismo con dos grados de libertad, al tener una única relación que liga a las tres variables entrada-salida del mecanismo, es decir se pueden fijar dos de ellas libremente y ya queda determinada la tercera o bien si se fija una de ellas existe una relación entre las otras dos. b) ωi = ( ω 53 u) + ω Cor ω D = ( ω 63 u) + ω Cor ( ) ( ω 53 = ω 63 ) ω I ω D = ± 2 ω 53 = ± 2 ω 63 Y teniendo en cuenta que la rueda Izquierda puede ser la exterior o la interior en relación a una curva a derecha o izquierda respectivamente y la rueda Derecha puede ser la exterior o la interior en relación a una curva a izquierda o derecha respectivamente, se tiene: ω53 = ω 63 = ω 43 tan α ω 43 k ω I ω D = ± 2 ω 53 = ± 2 ω 63 ω 43 ω sat/cor = 1 2 k (ω ext ω int ) ω sat/cor = 1 2 k (ω ext ω int )