Mecánica I Tema 3 Composición de movimientos

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1 ecánica I Tema 3 Composición de movimientos anuel Ruiz Delgado 22 de octubre de 2 Cinemática de sólidos en contacto Sólidos con singularidades Rodadura, Pivotamiento, Deslizamiento Contacto sobre una curva Contacto sobre una recta Contacto sobre una superficie Junta esférica Superficie de revolución Roscas y tornillos Empotramiento Ángulos de Euler Velocidad angular con los ángulos de Euler Aceleración angular con ángulos de Euler Tangencia de las axoides: definición Tangencia de las axoides: demostración Tangencia de las axoides: consecuencias Tangencia de las axoides: consecuencias Coordenadas esféricas Velocidad en esféricas Aceleración en esféricas Aceleración en esféricas Aceleración en esféricas Aceleración en esféricas

2 Composición de ovimientos Definiciones y notación Derivada de un vector respecto al tiempo: Teorema de Coriolis Composición de velocidades angulares Composición de aceleraciones angulares Composición de velocidades Composición de aceleraciones ovimientos inversos Sólidos en contacto Sobre un punto Sobre una curva o superficie Tangencia de las axoides Velocidad y aceleración en función de los ángulos de Euler Velocidad y aceleración en esféricas anuel Ruiz - ecánica I 2 / 43 Definiciones y notación ovimiento absoluto: El de un sólido S 2 respecto a unos ejes fijos S ovimiento relativo: El del sólido S 2 respecto a unos ejes móviles S ovimiento de arrastre: El de los ejes móviles S respecto a los fijos S z z 2 z x 2 y 2 y Propiedades de Solidos: ω ij ó α ij : Velocidad o aceleración angular del sólido S i en su movimiento respecto a S j Propiedades de Puntos de Sólidos: vij ó γ ij : Velocidad o aceleración del punto del sólido S i en su movimiento respecto a S j anuel Ruiz - ecánica I 3 / 43 2

3 Derivar en ejes móviles: Teorema de Coriolis z z Vector A del espacio, proyectado en ejes S x z y en ejes S y z A = x i + j +z k = i +y j +z k Derivada del Vector A considerando los ejes S como fijos; los ejes S pueden moverse: Fijos Ȧ {}}{ = ẋ i +ẏ j +ż k + x i + j +z k = = ẋ i +ẏ j +ż k }{{} + i +y j +z k }{{} = Sólido {}}{ Ȧ + {}}{ ω i +y ω j +z ω k = = A x y = Ȧ +ω ( i +y j +z k ) Ȧ = Ȧ +ω A anuel Ruiz - ecánica I 4 / 43 Derivar en ejes móviles: Teorema de Coriolis atricialmente: x A = i,j,k y = i,j,k y = R V = R V z z a) b) Ȧ Fijo = R V +R V {}}{ {}}{ = Ṙ V + R V a) R = R Q Ṙ = R Q = R Q T Q = R Ω b) R V = Ȧ Ȧ = Ȧ +R Ω V Ȧ = Ȧ +ω A Nota: la velocidad angular de un sólido ω se deriva igual en ejes fijos S y en ejes ligados al propio sólido S, pero no en ejes ligados a otro sólido. anuel Ruiz - ecánica I 5 / 43 3

4 Composición de velocidades angulares Aplicaremos el teorema de Coriolis a un vector arbitrario A en los movimientos absoluto (2/), relativo (2/) y de arrastre (/): Ȧ = Ȧ + ω A + Ȧ = Ȧ 2 + ω 2 A Ȧ = Ȧ 2 + ω 2 A Ȧ = Ȧ + (ω 2 ω 2 ω ) A (ω 2 ω 2 ω ) A = A ω 2 = ω 2 +ω La velocidad angular absoluta (2/) es la suma de la de la relativa (2/) y la de arrastre (/). anuel Ruiz - ecánica I 6 / 43 Composición de velocidades angulares La composición de giros es producto de matrices: R = R Q R 2 = R Q 2 = R Q Q 2 = R Q 2 Por definición, la velocidad angular absoluta será R 2 = R Q 2 = R 2 Q T 2 Q 2 = R 2 Ω 2 Ω 2 2 = Q T 2 Q 2 = (Q Q 2 )T (Q Q 2 ) = = Q T 2 Q T ( Q Q 2 +Q Q ) 2 = = Q T 2 Q T Q }{{} Ω Q 2 +Q T 2 Q T Q Q 2 = = Q T 2 Ω Q 2 +Ω 2 2 = Ω 2 +Ω 2 2 Ω 2 = Ω +Ω 2 anuel Ruiz - ecánica I 7 / 43 4

5 Composición de aceleraciones angulares Derivando la expresión de composición de velocidades angulares, ω 2 = nada (*) {}}{ ω 2 + ω = ω 2 = ω 2 +ω = α 2 = T a Coriolis {}}{ ω 2 +ω ω 2 +α α 2 = α 2 +α +ω ω 2 La aceleración angular absoluta es la relativa, más la de arrastre, más un término complementario. (*) Por definición, la aceleración angular es la derivada de la velocidad angular de un sólido respecto a otro, considerando este último como fijo. anuel Ruiz - ecánica I 8 / 43 Composición de velocidades z Se descompone el vector posición del punto del sólido S 2, y se deriva: z = + = + = +ω + y Por definición, el Vector velocidad de un punto relativa a unos ejes es la derivada de su vector posición en esos ejes, considerados como fijos al derivar: = v 2 =?? = v 2 = v Por tanto, v 2 = v 2 +ω +v Los dos últimos términos forman el campo de velocidades de S : cada término varía al cambiar el origen, pero la suma es siempre la misma. anuel Ruiz - ecánica I 9 / 43 5

6 Velocidad de puntos sucesivos En la expresión de la composición de velocidades, v 2 = v 2 +v +ω z z si se aplica el campo de velocidades del sólido S, se llega a una forma más compacta: v 2 = v 2 +v Absoluta = Relativa + Arrastre y Forma simple e intuitiva: si uno se mueve sobre un vehículo en movimiento (p.e., una escalera mecánica), su velocidad es la suma de la relativa al vehículo más la del punto del vehículo que está pisando en cada momento. Pero engañosa: no es siempre el mismo punto de S, sino el que en cada momento coincide con (p.e., el escalón que se está pisando). v no se puede derivar para obtener una aceleración: ningún punto tiene siempre esa velocidad: en cada momento la tiene un punto distinto. anuel Ruiz - ecánica I / 43 Tres aspectos de la velocidad En los problemas de mecánica, hay que distinguir tres tipos de velocidad: Velocidad de un punto que es siempre el mismo: un punto material de un sólido, que podemos marcar : la velocidad absoluta v2 y la relativa v 2. Se puede obtener derivando el vector posición, y se puede derivar para obtener la correspondiente aceleración. Velocidad de un punto de un sólido que en cada momento es distinto: la velocidad de arrastre v, o el punto de contacto entre dos sólidos. No se puede obtener derivando, ni se deriva. Se obtiene por campo de velocidades o por composición. Velocidad de sucesión: en el contacto entre sólidos, velocidad de un punto independiente (se considera parte de un tercer sólido), que ocupa siempre una posición relativa de interés, p.e., el punto de contacto o el CIR. Se puede obtener derivando, con cuidado de distinguir los sólidos. Se usa para composiciones de movimiento entre los tres puntos presentes: el del sólido S 2, el del sólido S, y el independiente I S. Con frecuencia, el punto independiente I es el único que es siempre el mismo. I 2 I I anuel Ruiz - ecánica I / 43 6

7 Composición de velocidades - Ej: ciĺındricas z z Ciĺındricas: ejes móviles S u r u u z / : Giro alrededor de z u v = v +ω = u r u u z = + r z = r u x u r 2/ : Cartesianas en u r u z = ru r +zu z 2/ : Velocidad en ciĺındricas v 2 = ṙu r +r u +żu z v 2 = ṙu r +żu z x u r r u z ż ṙ u r anuel Ruiz - ecánica I 2 / 43 Composición de aceleraciones (a) {}}{ Derivamos la expresión v2 = v2 + (b) {}}{ ω + (c) {}}{ v a) b) c) dv 2 dt dω dt = dv 2 dt +ω v2 = γ 2 + ω v2 ( ) d +ω dt +ω = = α + ω v2 + ω (ω ) dv dt = γ (v2 +v no se puede derivar porque no es siempre el mismo punto) anuel Ruiz - ecánica I 3 / 43 7

8 Composición de aceleraciones Agrupando los términos, γ 2 = γ γ + α + ω (ω ) + + 2ω v 2 Aceleración absoluta = Relativa + Arrastre + Coriolis Si se aplica el campo de aceleraciones de S, se llega a γ 2 = γ 2 + γ + 2ω v2 más simple, pero hay que tener cuidado al calcular γ porque (siempre el mismo) coincide en cada momento con un punto de S distinto. anuel Ruiz - ecánica I 4 / 43 Composición de aceleraciones - Ej: ciĺındricas z z Aceleración en ciĺındricas: ejes móviles S u r u u z u / : Giro alrededor de z γ = γ +α + +ω (ω ) = x u r = +r u r 2 u r 2/ : Cartesianas en u r u z v 2 = ṙu r +żu z γ 2 = ru r + zu z r 2 r u z z x u r r u r anuel Ruiz - ecánica I 5 / 43 8

9 Composición de aceleraciones - Ej: ciĺındricas z z Aceleración de Coriolis : γ Cor = 2ω v 2 = u r u u z = 2 ṙ ż = 2ṙ u u x u r 2/ : Aceleración absoluta en ciĺındricas γ 2 = ru r + zu z + r u r 2 u r + 2ṙ u = ( ) = γ 2 = r r 2 ( ) u r + r + 2ṙ u u + z u z anuel Ruiz - ecánica I 6 / 43 Composición de aceleraciones - Ej: ciĺındricas Dos términos idénticos en la Aceleración de Coriolis, debidos a: Varía v 2 al girar S dv 2 dt = dv 2 dt + ω v2 Varía v debido a v 2 d dt (ω ) = = + ω v En ciĺındricas, γ Cor = 2ṙ u dr ṙ v 2 ṙd ṙ u r r u r ṙ dr d r anuel Ruiz - ecánica I 7 / 43 9

10 ovimientos inversos { / : S visto desde S ovimientos inversos: / : S visto desde S Cálculo: Composición de movimientos con S S 2 / = /+/ Reposo ω = = ω +ω ω = ω α = = α +α + ω ω α = α v = = v +v v = v γ = = γ +γ +2ω v γ = γ +2ω v Si es un punto fijo de S, en cada momento coincide con un punto distinto de S anuel Ruiz - ecánica I 8 / 43 ovimientos inversos: ejemplo y / y / v = R,, x v = R x y y R R 2, 2R 2 R 2 R x, x anuel Ruiz - ecánica I 9 / 43

11 Contacto entre sólidos: condición geométrica Sólidos rígidos S y S limitados por superficies regulares en el punto de contacto C ( sólido independiente S 2 ) Condición geométrica de contacto: Planos tangentes π y π comunes en el punto de contacto C π π π C C C C π Si no fueran π π, un sólido penetraría en el otro C como punto independiente ( S 2 ) recorre: Curva C sobre S : Puntos C que sucesivamente serán de contacto Curva C sobre S : Puntos C que sucesivamente serán de contacto anuel Ruiz - ecánica I 2 / 43 Cinemática de sólidos en contacto ovimiento relativo /, apoyándose en el punto de contacto C Se proyecta según el plano tangente común y la normal Pivota Velocidad de deslizamiento: ω v C π Velocidad angular de: v C Pivotamiento: ω p π Rueda Desliza Rodadura: ω r π ω = ω p +ω r = (ω n ) n +n (ω n ) 5 Grados de Libertad: ω p (), ωr (2), vc (2) jo: velocidad de deslizamiento de dos sólidos en contacto (v C π ) velocidad de mínimo deslizamiento del campo de velocidades de un sólido (v D ω ) anuel Ruiz - ecánica I 2 / 43

12 Sólidos con singularidades Si la superficie que limita a uno de los sólidos tiene una singularidad en el punto de contacto: Su plano tangente no está definido en ese punto Si el otro sólido tiene plano tangente, se aplica todo lo anterior Si los dos tienen singularidad, ya no es un contacto simple entre sólidos, sino otro tipo de ligadura (e.g., una articulación) anuel Ruiz - ecánica I 22 / 43 Rodadura, Pivotamiento, Deslizamiento Rueda y pivota sin deslizar manteniéndose vertical Rueda y pivota sin deslizar z No desliza: z z v I 2 = z ψ ϕ ψ ϕ ϕ y ϕ y ψ ψ x I x I I I ω 2 = ψk + ϕj ω p 2 = ψk ω r 2 = ϕj ω 2 = ψk + i + ϕj 2 ( ) ω p 2 = ψ ϕ cos ω r 2 = i + ϕ sinj k anuel Ruiz - ecánica I 23 / 43 2

13 Contacto sobre una curva Las sucesivas posiciones de la superficie Σ del sólido móvil S forman una familia de superficies en ejes fijos S La envolvente de esa familia es una superficie Σ fija al sólido S En cada momento Σ y Σ son tangentes en una curva Se usa en engranajes, levas, máquinas herramienta, roscas En todos los puntos de la curva se tiene que cumplir v C π Condiciones grados de libertad anuel Ruiz - ecánica I 24 / 43 Contacto sobre una recta z C ω p B ω r ẏ y Entre superficies regladas: planos, cilindos, conos, hiperboloide de revolución, helicoide... Cumplir la condición de contacto v C π en todos los puntos de la recta quita grados de libertad. Para superficies desarrollables, si v B 2 k : ẋ A v A 2, v C 2 k ω 2 j Quedan 4 GDL: ẋ (), ẏ (), ω p (), ω r () La ligadura quita 2 GDL: ż (), ω r y () anuel Ruiz - ecánica I 25 / 43 3

14 Contacto sobre una superficie Cuando dos sólidos tienen una superficie de contacto z ω p B C ẏ y La condición de contacto v C π se tiene que cumplir en todos los puntos de la superficie Esto reduce los grados de libertad ẋ A Apoyo sobre un plano v2 A,vB 2,vC 2 π 2 ω r =. Quedan tres grados de libertad: ẋ (), ẏ (), ω p () anuel Ruiz - ecánica I 26 / 43 Junta esférica En todos los puntos de la esfera, la normal común tiene dirección radial: n = u r Ningún punto de la esfera puede tener velocidad radial El movimiento se reduce a un giro arbitrario alrededor del centro: ω Ru r u r ω 3 GDL: ω x, ω y, ω z 3 ligaduras: ẋ =, ż =, ż = Es equivalente a fijar el centro de la esfera: sólido con punto fijo. anuel Ruiz - ecánica I 27 / 43 4

15 Superficie de revolución Sólidos en contacto sobre una superficie de revolución: sólo un grado de libertad, la rotación alrededor del eje de revolución. Si la superficie es un cilindro de sección circular, hay otro grado de libertad: desplazamiento ż según el eje del cilindro GDL z z 2 GDL ż y y x anuel Ruiz - ecánica I 28 / 43 x Roscas y tornillos Contacto sobre un helicoide { generalizado de paso H: rotación alrededor del eje GDL desplazamiento paralelo al eje z } ż = 2π H H ż r = r 2π H ż y x anuel Ruiz - ecánica I 29 / 43 5

16 Empotramiento Si dos sólidos están en contacto sobre una superficie arbitraria Σ, En general, no es posible conciliar en todos los puntos de la superficie las dos condiciones: Campo de velocidades del sólido Velocidad relativa contenida en el plano tangente común No hay movimiento relativo: empotramiento ω = v = GDL Se mueven como un único sólido anuel Ruiz - ecánica I 3 / 43 Ángulos de Euler Ángulos de Euler: tres giros sucesivos en secuencia z-x-z z z 2 z 2 z 3 z 3 z 4 ψ y 3 ϕ y 4 y 3 y 2 x x 2 x 2 x 3 y 2 y 3 x 4 Precesión Nutación Rotación propia Dos composiciones de movimientos sucesivas: 4/ = 4/3+ 3/ = 4/3+ 3/2 + 2/ ω 4 = ω 43 +ω 32 +ω 2 = ϕk 3 + i 3 + ψk anuel Ruiz - ecánica I 3 / 43 6

17 Velocidad angular con los ángulos de Euler Ejes cuerpo: proyectamos primero en ejes intermedios 3 (precesión + nutación): z 4 z 3 ϕ z ψ y 4 ω 4 = ϕk 3 + i 3 + ψk = x 4 ψ sin ψ cos+ ϕ 3 = ψ sin sinϕ+ cosϕ = ψ sin cosϕ sinϕ ψ cos + ϕ 4 Ejes fijos: proyectamos primero en ejes 2 (precesión) cosψ + ϕ sin sinψ ω 4 = ϕ sin = sinψ ϕ sin cosψ ψ + ϕ cos ψ + ϕ cos 2 ϕ z z 2 ψ y 2 ψ x x 2 anuel Ruiz - ecánica I 32 / 43 Aceleración angular con ángulos de Euler Por definición, para un sólido α 4 = dω 4 dt = dω 4 dt + ω 4 ω 4 4 Se obtiene derivando las componentes de ω 4 en ejes fijos Y también derivando las componentes en ejes sólido 4 La composición de aceleraciones no compensa, pues hay que hacerla en dos fases α 4 = α 43 +α 3 +ω 3 ω 43 = = α 43 +(α 32 +α 2 +ω 2 ω 32 )+(ω 32 +ω 2 ) ω 43 y los términos correctores la hacen mucho más complicada que la de velocidades. anuel Ruiz - ecánica I 33 / 43 7

18 Tangencia de las axoides: definición { Fija Lugar geométrico del E.I.R. en ejes fijos Axoide óvil Lugar geométrico del E.I.R. en ejes sólido En todo momento el E.I.R. es común a las dos superficies En todos los puntos de contacto (E.I.R.), las dos axoides tienen el plano tangente común π (hay que demostrarlo) Por tanto, cuando el sólido se mueve la axoide móvil y la fija son dos sólidos en contacto: Rueda: ω r = ω E.I.R. π No pivota: ω p = Desliza: v = vd E.I.R. En todos los puntos de contacto (E.I.R.), la velocidad de deslizamiento (contacto entre sólidos) coincide con la velocidad de mínimo deslizamiento (campo de velocidades del sólido) anuel Ruiz - ecánica I 34 / 43 Tangencia de las axoides: demostración Punto independiente S 2 siempre sobre el E.I.R. v D recorre la curva C sobre la A v 2 tg(c ) v 2 π C recorre la curva C sobre la AF v 2 tg(c ) v 2 π v 2 E.I.R. Composición de movimientos: v 2 v D C v D v 2 v2 = v2 +v = v2 +v D v2, } vd π v2, π π vd π E.I.R. Q.E.D. v 2 anuel Ruiz - ecánica I 35 / 43 8

19 Tangencia de las axoides: consecuencias Si una axoide es superficie reglada alabeada, La otra es también alabeada, y tiene los mismos: Planos asintóticos Plano central { r = y(u)+vi(u) Parámetro de distribución p(u) = [y,i,i ] Líneas de estricción I siempre en contacto + + anuel Ruiz - ecánica I 36 / 43 Tangencia de las axoides: consecuencias Si una axoide es superficie reglada desarrollable, La otra es también desarrollable, y tiene: El mismo plano tangente en toda la generatriz Aristas de retroceso I siempre en contacto Si una es cilindro (A.R. ), la otra también (o plano) Si una es desarrollable tangencial, la otra axoide (cono, des. tang.) se mueve deslizando una A.R. sobre la otra Si una es cono (A.R. vértice) y no hay deslizamiento, la otra es también un cono con el mismo vértice (o un plano) anuel Ruiz - ecánica I 37 / 43 9

20 Coordenadas esféricas Ejes móviles u ρ, u ϕ, u siguen a : z z ρ: Distancia del origen al punto ϕ: Ángulo del plano z con el xz : Ángulo de con xy Descomponemos el movimiento de en: u u ρ u ϕ z z Arrastre / : Giro ϕ del plano z (S ) x ϕ k u ϕ Relativo 2/ : ovimiento en polares de (S 2 ) dentro del plano z u x ϕ u ρ i anuel Ruiz - ecánica I 38 / 43 Velocidad en esféricas z z / : Giro ϕ alrededor de z v = v +ω = + u ρ u ϕ u + ϕsin ϕcos ρ = ρcos ϕu ϕ u ω u ρ u ϕ 2/ : Polares en z x ϕ = ρu ρ v 2 = ρu ρ +ρ u 2/ : Velocidad en esféricas v 2 +v = v 2 = ρu ρ +ρcos ϕu ϕ +ρ u anuel Ruiz - ecánica I 39 / 43 2

21 Aceleración en esféricas Aceleración de arrastre / : z z γ = γ +α + Giro ϕ alrededor de z +ω (ω ) = u ρ u ϕ u = + ϕsin ϕcos ρ + x u α ω u ρ ϕ u ϕ u ρ u ϕ u ρcos 2 ϕ 2 + ϕsin ϕcos ρcos ϕ = ρcos ϕ ρcossin ϕ 2 anuel Ruiz - ecánica I 4 / 43 Aceleración en esféricas k ρ ρ Aceleración relativa 2/ : Polares en z u u ρ γ 2 = ρu ρ + ρ u ρ + v 2 = ρu ρ +ρ u i + ρ u +ρ u +ρ u = ( = ρ ρ 2) ( u ρ + 2 ρ ) +ρ u k Donde u ρ = u y u = u ρ, de las coordenadas polares. u 2 ρ ρ ρ 2 ρ u ρ i En el movimiento absoluto, u ρ y u tendrían que incluir la variación con ϕ. anuel Ruiz - ecánica I 4 / 43 2

22 Aceleración en esféricas z z Aceleración de Coriolis : ω γ Cor = 2ω v2 = u ρ u ϕ u = 2 ϕsin ϕcos ρ ρ = x u u ρ ϕ u ϕ = 2 ρ ϕcos ρ ϕsin anuel Ruiz - ecánica I 42 / 43 Aceleración en esféricas ω α u u ρ u ϕ Aceleración absoluta 2/ : ϕ γ 2 = γ 2 + γ + γ Cor = u 2 ρ ρ ρ 2 u ρ ρ ρ ρ 2 ρcos 2 ϕ 2 = ρcos ϕ + 2 ρ ϕcos 2ρ ϕsin 2 ρ +ρ + ρcossin ϕ 2 ω Triedro a derechas: u ρ u 2 ϕ = u 3 u u ρ u ϕ ϕ anuel Ruiz - ecánica I 43 / 43 22