FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA: MECÁNICA (1 er cuatrimestre) INGENIERO INDUSTRIAL. Primer Curso. (1999/2000)

Transcripción

1 FUNDAMENTOS FÍSIOS DE LA INGENIERÍA: MEÁNIA ( er cuatrimestre) Ejercicio resuelto : INGENIERO INDUSTRIAL. Primer urso. (999/) inemática del Sólido Rígido. Movimiento relativo. Una esfera de radio R (sólido ), rueda, pivota y desliza sobre un plano horizontal fijo O X Y (sólido ), de manera que todos los puntos P de un eje rígidamente unido a la esfera (eje Z ), tienen igual velocidad. Ésta es siempre perpendicular a dicho eje y de módulo constante v ( v P P ; v = v). El centro de la esfera es un punto del eje, elcuál forma en todo instante un ángulo π/4 con la perpendicular al plano O X Y. Además, la velocidad absoluta del punto de la esfera que ocupa la cota superior B, verifica en cada instante la relación v B =(3/) v.. Razonar una descomposición del movimiento {} en movimientos elementales. Definir el tipo de cada uno de los movimientos (elementales y absoluto).. alcular el vector rotación ω y la aceleración absoluta del centro de la esfera, a. 3. aracterizar cinemáticamente el contacto esfera-plano (velocidades angulares de pivotamiento y rodadura, y velocidad de deslizamiento). 4. Identificar los axoides del movimiento {}.. Descomposición del movimiento Sólido O X Y Z Sólido X Y Z / Z Para caracterizar el movimiento {} utilizamos los siguientes datos del enunciado: P v P = v ; v P ; v P = v en todo instante de tiempo. Por tanto, v P v = ω P= En cuanto a v con el plano O X Y Z. sabemos que t, v = v ; v ω = ω k, y además, v k, pues la esfera siempre está en contacto Para determinar el movimiento de la esfera introducimos un sólido con las siguientes características: Sólido X Y Z / Z O Z k = k t, Y Z k = ( j + k ) Nótese que como forma siempre un ángulo π/4 con la vertical (y con el plano fijo), con esta elección del sólido tendremos que es un eje fijo en el plano Y Z.

2 De esta forma, el movimiento {} estará caracterizado por un vector rotación ω = ω k, arrastre del punto, v sobre la que aún no tenemos datos. y por la velocidad de Movimiento {} De la elección del sólido intermedio se deduce que es un punto fijo en el movimiento {}, ya que lo hemos definido como origen de los sistemas de referencia asociados a ambos sólidos. Por tanto: En cuanto al vector rotación, d k dt v =; a =, t == ω k ω = ω k = ω ( j + k ) Por tanto, el movimiento relativo {} es una ROTAIÓN PERMANENTE cuyo eje de rotación coincide en todo instante con el eje : E.P.R Z Movimiento {} De la composición de movimientos tenemos: ω = ω ω. Teniendo en cuenta las expresiones analíticas obtenidas para dichos vectores, se obtiene la ecuación vectorial ω k = (ω ω )( j + k ) omo por la elección del sólido, el vector ω no puede tener componente en la dirección del eje Y, la solución a la anterior ecuación es ω =, t ω = ω ω = ω De la composición de velocidades: v = v + v = v, t, y teniendo en cuenta los datos sobre el movimiento del eje, al que también pertenece, podemos establecer v = v = v ı Por tanto, el movimiento de arrastre {} es una TRASLAIÓN PERMANENTE según la cuál todos los puntos del sólido realizan un MOVIMIENTO RETILÍNEO UNIFORME respecto del plano fijo (sólido ). Además, puesto que ω =, es posible tomar los ejes X y Y de manera que también sean paralelos en todo instante a O X y O Y, respectivamente, simplificándose así la descripción del movimiento absoluto. De esta forma, además de k = k, establecido inicialmente, tendríamos ı = ı y j = j. Movimiento {} El movimiento absoluto {} queda definido en cada instante por el correspondiente vector rotación y la velocidad absoluta del punto : ω = ω k = ω ( j + k ) v = v ı Puesto que el invariante escalar es ω v =, en todo instante, este movimiento es una ROTAIÓN PURA, resultado de combinar la traslación permanente {} con la rotación permanente {}. Más adelante comprobaremos que dicha rotación pura tiene un carácter INSTANTÁNEO, ya que el E.I.R. se desplaza respecto del sólido. Por otra parte, el hecho de que ω = ω, y que v, nos permite asegurar que el eje instantáneo de rotación del movimiento absoluto y el eje son lugares geométricos distintos, aunque paralelos en todo instante: E.I.R, pero

3 . Vector rotación del movimiento absoluto y aceleración absoluta de En el caso del vector rotación del movimiento absoluto, sólo hay que determinar el módulo ω. Para ello utilizamos los siguientes datos y relaciones: v B v = ω B v B = 3 v B= R k v = v ı = Por tanto ω = v R ( j + k ) Rω ı ω = v R Para calcular la aceleración absoluta del punto podemos derivar directamente: a = d v dt = d v dt + ω v = o bien, utilizar resultados del movimiento relativo: a = a + a + ω v a = a = d v dt + ω v = 3. aracterización cinemática del contacto Para ello comenzaremos por reducir el sistema de vectores deslizantes que caracteriza el movimiento {} en el punto de contacto A; es decir, en el instante considerado, describiremos dicho movimiento mediante el torsor cinemático S {} [ ω ; v ]. A La descomposición del vector ω, en un vector ω p perpendicular al plano de tangencia común a ambos sólidos Π τ, y otro ω r contenido en dicho plano, lleva a identificar los movimientos de pivotamiento y rodadura, respectivamente, en que puede descomponerse la rotación instantánea del movimiento {}. En nuestro caso, Π τ coincide con el plano fijo O X Y... Π τ O X Y k, Π τ ω = ω p + ω r donde ω p = ω r = v R k v R j La velocidad v A es la velocidad instantánea de deslizamiento de la esfera respecto del plano fijo, en el punto de contacto: v A = v + ω A= v ı 3

4 4. Axoides del movimiento {} Para identificar los axoides es necesario conocer el E.I.R.. En el primer apartado hemos determinado su dirección (paralelo a en todo instante), pero aún necesitamos conocer un punto de dicho eje. Por otra parte, puesto que el invariante escalar del movimiento {} es nulo, podemos establecer que I v I =. Ecuación vectorial del E.I.R. : I= H +λ k, donde H= ω v ω = R ( j k ) y teniendo en cuenta la expresión de k en el sistema de referencia asociado al sólido, obtenemos: ) ( ) (λ) ] : I= (R + λ j R λ k Y Z, t Obsérvese que, puesto que R y λ son parámetros geométricos, el E.I.R. es un eje fijo respecto del sistema de referencia, contenido siempre en el plano Y Z. omo el movimiento {} es una traslación permanente, tendremos que el se traslada respecto del sólido fijo, demostrándose así que el movimiento {} es una ROTAI ÓN PURA INSTANTÁNEA. Axoide fijo Σ F El argumento anterior nos permite también identificar cualitativamente Σ F : al ser una recta fija del plano Y Z,el axoide fijo será la superficie generada por dicho eje al moverse respecto del sólido según el movimiento {}. Puesto que se trata de una traslación permanente, Σ F va a ser un plano Π F paralelo a y situado en todo instante a una distancia H = R del punto. Obviamente, Π F cortará al plano O X Y formando ambos un ángulo π/4. Para determinar analíticamente el axoide fijo, expresamos el E.I.R. en el sistema de referencia : ] : O I= O H +λ k = O + H +λ k Teniendo en cuenta que el punto realiza un movimiento rectilíneo uniforme con velocidad v y tomando como condiciones iniciales O (t =)=R k ; ı = ı ; j = j ; k = k (según vimos en el primer apartado): ( ) O (t) =vt ı + R k Σ F (t, λ) ] : O I= vt ı + R + λ j + λ k 4

5 Por tanto, las ecuaciones parámetrica e implícita del AXOIDE FIJO serán: x = vt Σ F : y = R + λ z = λ Σ F Π F : y z = R que, efectivamente, corresponden al plano Π F descrito anteriormente. Axoide móvil Σ M Al ser una recta fija del plano Y Z, el axoide móvil será la superficie generada por dicho eje al moverse respecto del sólido según el movimiento {}, que es el opuesto al {}. Se trata, por tanto, de una rotación permanente alrededor del eje que, obviamente va a ser también el E.P.R.. omo en todo instante y están separadas una distancia R, la superficie reglada generada por el E.I.R. según el movimiento {} (axoide móvil Σ M ), será un cilindro recto de radio R y cuyo eje de simetría es. Para determinar Σ M analíticamente, obtenemos la expresión de (t, λ) en el sistema de referencia, teniendo en cuenta que el vector H está contenido en todo instante en el plano X Y, ya que siempre se cumple H k. Asumiendo que en un instante genérico H forma un ángulo φ(t) ( variable en el tiempo!), con el eje X, tendremos H (t) = R [ ] cos φ(t) ı +senφ(t) j.así: ] I= H +λ k Σ M (t, λ) ] : [ ] I= R cos φ(t) ı +senφ(t) j + λ k : Las ecuaciones parámetrica e implícita del AXOIDE MÓVIL serán: Σ M : x = R cos φ(t) y = R sen φ(t) z = λ Σ M : x + y =R que se corresponden con la superficie cilíndrica anteriormente descrita. Luego el movimiento del sólido (esfera), respecto del sólido (plano O X Y ), puede describirse en términos de un cilindro Σ M solidario con la esfera, de radio R y eje, que rueda sin deslizar sobre un plano fijo Π F que corta al plano O X Y formando un ángulo π/4. 5