Tema 8: Movimiento relativo

Transcripción

1 Tema 8: Movimiento relativo Física I, º, Grado en Ingeniería Energética, Robótica y Mecatrónica Departamento de Física Aplicada III Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla

2 Índice Introducción Derivación en triedros móviles Notación y definiciones Composición de velocidades Traslaciones Rotaciones Composición de aceleraciones Traslaciones Rotaciones Pares cinemáticos. Sólidos en contacto puntual Dinámica en sistemas de referencia no inerciales

3 Movimiento relativo: traslación Z Z Z Y X Trayectoria del coche vista desde el suelo X Z Y X Y Y X Trayectoria del coche vista desde el tren Y Y X X 3

4 Movimiento relativo: rotación Z Z Z Y X Y Y X X Trayectoria del coche vista desde el sistema que gira con la plataforma Y X Trayectoria del coche vista desde el sistema fijo al suelo Y X 4

5 Movimiento relativo: aplicaciones Rotación de la Tierra Z Z Un sistema solidario a la tierra es un sistema en rotación Y X Y X Composición de movimientos El movimiento de un punto de la hélice se describe más fácilmente intercalando un sistema de referencia auxiliar Y P X Z Z Y Z X X Y 5

6 Índice Introducción Derivación en triedros móviles Notación y definiciones Composición de velocidades Traslaciones Rotaciones Composición de aceleraciones Traslaciones Rotaciones Pares cinemáticos. Sólidos en contacto puntual Dinámica en sistemas de referencia no inerciales 6

7 Derivación temporal en triedros móviles: fórmulas de Poisson El vector a(t) se mueve solidariamente con el sólido (triedro) P Z Z Q Y Y X X es el vector rotación total instantáneo del movimiento del sólido respecto al sólido Z Z X Y X La fórmula también funciona a la inversa, suponiendo el sólido en reposo y el moviéndose Y 7

8 Derivación temporal en triedros móviles: fórmulas de Poisson Z Z i k i j X k Los vectores de la base del triedro se mueven respecto al triedro j Y Y X Un vector cualquiera puede expresarse en los dos sistemas Variación temporal del vector A(t) respecto al triedro Variación temporal del vector A(t) respecto al triedro 8

10 Notación y definiciones Cada sólido rígido es un triedro infinito, tenga o Z no partes materiales Al moverse, los sólidos se atraviesan unos a otros X Z X Y Y Cada punto geométrico del espacio pertenece Z P simultáneamente a todos los sólidos definidos P En cada punto geométrico del espacio se superponen en cada instante varios puntos P X X X puntos superpuestos se mueve con su sólido correspondiente X Y Y Z Y Y X Z En el instante posterior, cada uno de esos Z Z Y

11 Notación y definiciones {ij} mov. del sólido i respecto al sólido observador j Magnitudes cinemáticas Velocidad angular del sólido i respecto al j Aceleración angular del sólido i respecto al j Vector de posición del punto P perteneciente al sólido i respecto al sólido j Vector de velocidad del punto P perteneciente al sólido i respecto al sólido j Vector de aceleración del punto P perteneciente al sólido i respecto al sólido j

12 Notación y definiciones Z Si sólo hay tres sólidos P sólido de referencia sólido intermedio sólido problema X Z P Y P X Z X Y Y {} mov. absoluto {} mov. relativo {} mov. arrastre

13 Notación y definiciones Z Para dos sólidos genéricos i, j P X Y P X Y Z X Campos de velocidad y aceleración Z P Y El movimiento entre dos sólidos se puede descomponer en dos movimientos introduciendo un sólido intermedio {ij}={ik}+{kj} Leyes de composición 3

15 Composición de velocidades Z En un instante dado Z P X Y Esta expresión no es derivable en el tiempo El punto P no está asignado a un sólido determinado Para cualquier instante X Z X Y Y Cada uno de los vectores esta asociado a un punto de un sólido Esta expresión es derivable en el tiempo 5

16 Composición de velocidades Derivamos respecto del tiempo Z Z P X Y X Z X Derivable en el tiempo Y Y Con validez instantánea No derivable en el tiempo 6

17 Composición de velocidades angulares Ley de composición de velocidades Z Z P Ecuación del campo de velocidades X Y X Z X Reagrupando Y Y Ley de composición de velocidades angulares Esta expresión es derivable en el tiempo Tomando i=j 7

18 Composición de velocidades: traslación Z Z Z Coche respecto al paso a nivel {} P Tren respecto al paso a nivel {} X X X Y Y Y Coche respecto al tren {} 8

19 Composición de velocidades: rotación Z Z Z = X Y Y P X X X X P Plataforma respecto al suelo {} Y Y Y d(t) = X Coche respecto al suelo {} Coche respecto a la plataforma {} Distancia recorrida sobre la plataforma 9

20 Índice Introducción Derivación en triedros móviles Notación y definiciones Composición de velocidades Traslaciones Rotaciones Composición de aceleraciones Traslaciones Rotaciones Pares cinemáticos. Sólidos en contacto puntual Dinámica en sistemas de referencia no inerciales

21 Composición de aceleraciones Z Ley de composición de velocidades derivable en el tiempo Z P Derivación respecto del tiempo desde el sólido X Y P X Y X Z Y Derivable en el tiempo

22 Composición de aceleraciones Z Buscamos una expresión mas sencilla en términos de composición de movimientos Z P X Y P X Validez instantánea Y X Z Y Teorema de Coriolis Tomando i=j

23 Composición de aceleraciones angulares Z Ley de composición de velocidades angulares Z P Derivamos respecto al tiempo desde el sólido X Y P X Y X Z Y Ley de composición de aceleraciones angulares Tomando i=j 3

24 Composición de movimientos Z Velocidades Z P Instantánea X Y P X Velocidades angulares Y X Z Y Aceleraciones Instantánea Aceleraciones angulares 4

26 Pares cinemáticos Z X Z Y El sólido rígido libre tiene 6 grados de libertad La reducción cinemática en cualquier punto tiene 6 componentes independientes X Y Z X Z Y X Y El sólido rígido vinculado tiene sus movimientos limitados, por tanto tiene menos grados de libertad El numero de componentes independientes de la reducción cinemática es igual al número de grados de libertad Un par de sólidos vinculados y en movimiento relativo es un par cinemático 6

27 Sólidos en contacto puntual (par esférico instantáneo) Las superficies de los sólidos están siempre en contacto puntual es el plano tangente común rodadura: es la componente de la rotación paralela al plano pivotamiento es la componente de la rotación perpendicular al plano es la velocidad de desplazamiento, paralela al plano La semiesfera tiene 5 grados de libertad 7

28 Pares cinemáticos: ejemplos Par cilíndrico Par de revolución Z Par esférico Par helicoidal Z Z Z Y X Y Cojinete de sustentación grados de libertad X X Y Bisagra grado de libertad h Y X Rótula Tornillo 3 grados de libertad grado de libertad 8

30 Sistemas de referencia no inerciales Consideramos un punto material que realiza un movimiento circular con velocidad angular constante Z Z,Z Y Y R X P X,X Aplicamos la Segunda Ley de Newton en el sistema XYZ para obtener la fuerza Se puede aplicar la Segunda Ley de Newton pues el sistema es un S.R.I. En este caso particular obtenemos la fuerza a partir del movimiento conocido en el S.R.I. Es una fuerza centrípeta 3

31 Sistemas de referencia no inerciales Se puede aplicar la Segunda Ley de Newton en el sistema? Y Es un sistema no inercial No se puede aplicar la Segunda Ley Hay alguna forma de analizar el problema desde el sistema? Z Z,Z R Y X P X,X En el sistema la partícula está en reposo Para poder analizar la dinámica en el sistema hemos tenido que corregir la Segunda Ley introduciendo fuerzas de inercia -map es, en este caso, la fuerza centrífuga, que no es la reacción de la centrípeta 3

32 Sistemas de referencia no inerciales Segunda Ley de Newton en un sistema no inercial en el caso general ( y/o a ) m F es la fuerza neta real en el S.R.I (debida a interacciones) Fa r r es la fuerza de arrastre Fc o r es la fuerza de Coriolis Propiedades de la fuerzas de inercia P S.R. no inercial S.R.I. Son aparentes o ficticias para el observador inercial, pero para el no inercial tienen los mismos efectos que una fuerza real (realizan trabajo, pueden ser conservativas) Son proporcionales a la masa No añaden incógnitas al problema dinámico {} (conocido el movimiento {}) 3

33 Fuerza de Coriolis El sólido es un punto P moviéndose con velocidad v Z,Z paralela la superficie de la Tierra Derecha P El término de Coriolis empuja hacia la derecha en el Y Y P hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur X Hemisferio norte Izquierda X Derecha Hemisferio sur Izquierda 33

34 Fuerza de Coriolis Este efecto se deja sentir sólo en sistemas de tamaño muy grande o que se mueven muy rápido, o en los que se acumula el efecto en el tiempo Huracanes Péndulo de Foucault El efecto en el sentido de giro del agua en los desagües es despreciable 34

35 Fuerza de Coriolis: sentido de giro de los huracanes En las tormentas, una zona de bajas presiones relativas atrae el aire formando un corriente convergente de aire En el hemisferio norte el flujo de aire se desvía hacia la derecha, y en el hemisferio sur hacia la izquierda, formando la estructura espiral del torbellino Hemisferio norte Hemisferio sur 35

36 Fuerza de Coriolis: péndulo de Foucault El término de Coriolis hace girar el plano de oscilación de un péndulo En cada oscilación, el término de Coriolis empuja al péndulo hacia la derecha (en el hemisferio norte) Z,Z B B Y X Y X A A A lo largo del tiempo, el plano de oscilación gira respecto a la Tierra, pero no respecto al espacio (si estuviese en el Polo Norte o Sur). Esto demuestra que la Tierra tiene un movimiento de rotación 36

37 Fuerza de Coriolis: péndulo de Foucault Experimento de Foucault en el Pantheon en París, 85 Péndulo de Foucault en el Pantheon en París 37

38 Resumen Fórmulas de Poisson Describe como varía en el tiempo un vector solidario con un sólido rígido Notación y definiciones Velocidad, aceleración, velocidad angular y aceleración angular Leyes de composición Velocidades Aceleraciones Velocidades angulares Aceleraciones angulares 38

39 Resumen Pares cinemáticos El sólido vinculado tiene menos grados de libertad Ejemplos de pares Contacto puntual Revolución (bisagra) Esférico (rótula) Helicoidal (tornillo) Cilíndrico (cojinete) Dinámica en sistemas de referencia no inerciales Fuerzas de inercia 39