Tema 4: Dinámica del punto I

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1 Tema 4: Dinámica del punto I FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Aeroespacial Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla 1

2 Índice Introducción Leyes de Newton Fuerzas activas y de reacción vincular Fuerzas activas Fuerzas de reacción vincular Equilibrio estático del punto Leyes del rozamiento seco 2

3 Introducción La Dinámica estudia las causas que originan el movimiento de los cuerpos Junto con la Cinemática, permite determinar los movimientos de los cuerpos Estas causas se caracterizan con la magnitud física de fuerza Una fuerza es toda causa capaz de modificar el estado de equilibrio o movimiento de un cuerpo, o de producir en él estados de tensión Se representa con un vector La masa de un cuerpo determina la intensidad con que una fuerza afecta a su estado de movimiento 3

4 Concepto de fuerza Es la causa que cambia el estado de reposo o movimiento de un cuerpo Es vectorial: magnitud, dirección y sentido En general depende del tiempo, la posición y la velocidad Puede provocar diferentes efectos Acelerar un cuerpo: empujar un coche Deformar un cuerpo: estirar un muelle Provocar una rotación: rueda girando No producir ningún efecto: empujar un edificio La representación de una fuerza es un vector 4

6 Leyes de Newton Fueron enunciadas por Isaac Newton en 1687: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica Primera Ley o Ley de Inercia Introduce el concepto de inercia y sistema de referencia inercial Segunda Ley Relaciona fuerza, masa y aceleración Tercera Ley o Principio de acción y reacción Relaciona las fuerzas mutuas que ejercen los cuerpos Esta relacionada con la conservación de la cantidad de movimiento 6

7 Primera Ley de Newton Todo punto material libre, no sometido a ninguna interacción, se mantiene indefinidamente en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme respecto a un sistema de referencia inercial Un sistema de referencia inercial (SRI) es un sistema en reposo o con velocidad constante Su rotación es cero Un sistema que se traslada con velocidad uniforme respecto a un SRI también es un SRI Todos los SRI miden la misma aceleración para un punto material cualquiera Z1 P 1 SRI 0 SRI Y1 O1 O X0 Y0 X1 7

8 Segunda Ley de Newton Todo punto material sometido a una fuerza experimenta una aceleración en la misma dirección y sentido en que actúa la fuerza y de módulo proporcional al módulo de la fuerza La magnitud m es la masa inercial de la partícula Mide la resistencia de la partícula a cambiar su estado de movimiento (su inercia) La fuerza se mide en Newtons en el S.I. : 1 N = 1 kg m s-2 Si se conoce la fuerza proporciona una ecuación diferencial para describir el movimiento Si se conoce la aceleración y la masa permite medir la fuerza 8

9 Tercera Ley de Newton Si un punto material B ejerce una fuerza (FA B) sobre otro punto material A, entonces A responde con otra fuerza sobre B (FB A) de igual módulo y dirección, pero de sentido contrario A B Cada fuerza se aplica en cuerpos diferentes La aceleración que adquiere cada partícula depende de su masa inercial Aceleración de la masa Aceleración de la Tierra Tierra 9

10 Principio de superposición Si sobre un mismo punto material actúan dos fuerzas simultáneamente, la aceleración que adquiere es la suma vectorial de las aceleraciones que le comunicarían cada una de las fuerzas por separado Cuando la partícula está sometida a n fuerzas se generaliza 10

12 Fuerzas activas y de reacción vincular Fuerzas activas Son conocidas antes de resolver el problema Ejemplos de fuerzas activas R Fuerza gravitatoria Fuerza de un muelle Fuerzas eléctricas y magnéticas Fuerzas de reacción vincular (f.r.v.) Son responsables de que se cumplan las ligaduras Son incógnitas del problema Vínculo liso o rugoso 12

14 Fuerza gravitatoria Propiedades Siempre atractiva Proporcional al producto de las masas Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia Dirigida en la dirección que une las dos masas Constante de gravitación universal Cumple la tercera ley 14

15 Campo gravitatorio A cada punto del espacio alrededor de la masa M se le asigna un vector g (aceleración de la gravedad) La fuerza sobre una masa en un punto alrededor de la masa M es Se dice que la masa M crea un campo de fuerzas en el espacio 15

16 Campo gravitatorio: cerca de la superficie terrestre En los puntos cerca de la superficie la aceleración de la gravedad es uniforme Usando Taylor Cerca de la superficie la dirección también es uniforme 16

17 Fuerzas activas: Fuerza elástica de un muelle Ley de Hooke: Estirado k es la constante elástica (N/m) l0 es la longitud natural P O l es la elongación Relajado Si la longitud natural es cero O Un muelle calibrado permite medir la P Contraído intensidad de una fuerza (Dinamómetro) O P 17

19 Punto vinculado Está sujeto a vínculos: limitaciones impuestas a su posición o movimiento Y Bilaterales: cumplen una ecuación de ligadura Esclerónomo: no aparece explícitamente el tiempo Reónomo: aparece explícitamente el tiempo R Geométrico: no aparece explícitamente la velocidad Cinemático: aparece explícitamente la velocidad X Liso: no hay rozamiento Rugoso: sí hay rozamiento Grados de libertad r = 3- h (h es el número de vínculos) Las fuerzas de reacción vincular (f.r.v.), i, hacen que el vínculo se cumpla Se adaptan a las fuerzas activas: no son completamente conocidas a priori. 19

20 Punto vinculado: Principio de liberación Todo punto material sometido a vínculos puede ser tratado como si estuviese libre de ellos si se sustituyen dichos vínculos por fuerzas de reacción vincular Y Y R R Liberación X X Las f.r.v. cumplen la misma función que los vínculos sustituidos: se oponen a cualquier estado de reposo o movimiento incompatible con ellos Son perpendiculares a los vínculos geométricos cuando el vínculo es liso Las f.r.v. son incógnitas del problema. Son desconocidas a priori 20

22 Equilibrio del punto material Un punto material está en equilibrio mecánico si la resultante del conjunto de fuerzas que actúan sobre él es nula Punto libre 3 grados de libertad Fuerzas activas Punto vinculado El movimiento posible está restringido Menos de 3 grados de libertad Fuerzas activas Fuerzas de reacción vincular 22

23 Punto sobre una superficie lisa Las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la superficie 2 grados de libertad La f.r.v. es normal a la superficie Condición de equilibrio P Las incógnitas son y las dos coordenadas que fijan la posición de equilibrio en la superficie Hay 3 ecuaciones para tres incógnitas 23

24 Punto sobre una curva lisa Las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la curva 1 grado de libertad La f.r.v. es perpendicular a la curva Condición de equilibrio P Las incógnitas son N, B y la coordenada que fija la posición de equilibrio en la curva Hay 3 ecuaciones para tres incógnitas 24

25 Equilibrio en un sistema de referencia no inercial La masa está en equilibrio desde el punto de vista de un observador que se mueve con la plataforma, pero no desde el punto de vista de un observador S.R.N.I S.R.I fijo al suelo Para el observador fijo al suelo la masa tiene una aceleración centrípeta Aplicamos la Segunda Ley en el sistema 1 (Inercial) Z1 El hilo está inclinado con respecto a la vertical S.R.I S.R.I X1 25

26 Equilibrio en un sistema de referencia no inercial Para el observador fijo a la platafora la masa está en equilibrio Z0 S.R.N.I Aplicamos la Segunda Ley en el sistema 0 ( No Inercial) FALTA ALGO!! Para que la segunda ley tenga sentido en un SRNI hay que añadir las fuerzas de inercia X0 Utilizando el resultado obtenido en el SRI Fuerza centrífuga (en este caso) En un sistema de referencia no inercial La forma general de las fuerzas de inercia se verá más adelante 26

28 Rozamiento seco El origen es la interacción entre las superficies en contacto de los cuerpos en movimiento relativo Depende de la naturaleza de las superficies en contacto Coeficiente de rozamiento Tipos de rozamiento Estático: cuerpos en reposo relativo Dinámico: cuerpos en movimiento relativo Rotación: un cuerpo rueda sobre el otro Su efecto depende de la situación Frenar el movimiento: bloque deslizando sobre un plano Originar el movimiento: caminar, movimiento de un coche 28

29 Comportamiento experimental de la fuerza de rozamiento Fuerza activa Fuerza de reacción vincular deslizamiento inminente 2 1 región estática Región estática región dinámica Región dinámica No se produce deslizamiento (vínculo Se produce deslizamiento (vinculo resistivo) prohibitivo) Disipación de energía y deterioro de las superficies 29

30 Leyes de Coulomb Situación estática El módulo máximo de la fuerza de rozamiento estático es proporcional a la fuerza normal El módulo máximo de la fuerza de rozamiento no depende del área de la superficie de contacto e es el coeficiente de rozamiento estático, depende de la naturaleza de las superficies de contacto Situación dinámica El módulo de la fuerza de rozamiento dinámico es proporcional a la fuerza normal e > d El módulo de la fuerza de rozamiento no depende de la velocidad (modelo de Coulomb) 30

31 Deslizamiento inminente El equilibrio de un sólido puede romperse por deslizamiento o por vuelco deslizamiento inminente 2 1 Fuerzas Equilibrio Condición de no deslizamiento La fuerza de rozamiento sólo es e l en condiciones de deslizamiento inminente e puede ser infinitamente grande (cremallera) 31

32 Resumen Introducción Concepto de fuerza Fuerzas activas Datos del problema Fuerzas de reacción vincular Hacen que se cumplan los vínculos Son incógnitas del problema Equilibrio del punto Sumatorio total de fuerzas nulo Rozamiento Estático, dinámico o de rotación Proporcional a la normal 32

33 Coordenadas polares: definición Movimiento en un plano Y Relación con las cartesianas Base vectorial X u señala la direcicón del desplazamiento cuando varía y es constante u señala la direcicón del desplazamiento cuando varía y es constante Derivadas de los vectores: los vectores de la base polar dependen de 33

34 Coordenadas polares: variables cinemáticas de una partícula Relación con las cartesianas Vector de posición Y X Vector velocidad Vector aceleración 34