Movimiento Relativo. Movimiento relativo de Traslación general. Relatividad del movimiento velocidad relativa aceleración relativa

Transcripción

1 Movimiento Relativo Relatividad del movimiento velocidad relativa aceleración relativa Movimiento relativo de Traslación general Movimiento relativo de Rotación pura

2 O X Y Z S.R., respecto del cual el movimiento de un punto material se conoce OXYZ S.R., respecto del que se quiere describir el movimiento de la partícula. Objetivo del tema: Si se conoce la evolución de O X Y Z respecto de OXYZ, se trata de relacionar los vectores de: r,v,a O X Y Z r,v,a OXYZ X Z O r(t) Y P X r (t) Z O Y

3 Definición I: Traslación General Z X t 1 Y O X Y t 2 O Z Se caracteriza por OO (t) X O Z Y Definición II: Rotación Pura Se caracteriza por u fija para OXYZ y O fija. Z u X Z w i,j,k - trayectoria circular X O=O Y Y dˆ i dt = ω i En general: Traslación+Rotación Z u X u Y Se caracteriza: u(t) y O (t).

4 Movimiento relativo de dos puntos materiales Z r A A r BA B S.R OXYZ-fijo X O r B Y v AB, v BA, a AB, a BA Posición relativa de B respecto de A.

5 Movimiento Relativo de Traslación General Se conoce el movimiento de un punto P en O X Y Z Describir el movimiento de P en OXYZ. X Z O r (t) Y P X r '(t) O Z Y

6 Relacionar {r,v,a}oxyz con {r,v,a}o X Y Z

7 Caso particular: Movimiento Relativo de Traslación Uniforme v r = const a r = d v r = 0 dt v r = do O '(t) = const dt OO '(t) = OO '(t 0 ) + v r (t t 0 ) Obtenemos las Transformaciones Galileanas: a (t) = a '(t) v (t) = v '(t) + v r (t), v r (t) = const r (t) = r '(t) + OO '(t) r (t) = r '(t) + OO '(t 0 ) + v r (t t 0 ) Consecuencia importante en la formulación Newtoniana de la mecánica clásica.

8 Movimiento Relativo de Rotación Pura Consideramos O=O En cada una de SR se usa la descomposición del vector r(t) según vectores unitarios de cada SR. u ˆ r(t)=r (t) Z w Z X Y X O=O Y

9 La velocidad del punto P según cada S.R. Se puede escribir como: Como r = r O bien:

10 Se hace extensible a la derivada temporal para cualquier vector A: Aplicamos esta expresión para hallar la a: Analicemos cada termino:

11 Analicemos cada termino:

12 Aplicación al Movimiento de los cuerpos en la Superficie Terrestre: (α = 0 ω=const ) Si consideramos un punto A sobre la superficie terrestre y,donde es la aceleración de la gravedad medida por un observador que no gira: Tierra: Velocidad angular de rotación ω (una vuelta completa (2 π) cada 24 horas (86400 s): El radio de la Tierra: R=6370 km m g 0 = 9.8 m/s 2 λ latitud

13 I. Cuerpo en reposo o con muy pequeña velocidad 1. Dirección y modulo de señala hacia centro de la tierra (dirección radial) g o =9.8 m/s 2 2. Dirección y modulo de la aceleración centrifuga?: (o de magnitud despreciable) Si y Analicemos el vector (aceleración efectiva) se llama acelarción efectiva, medida por un observador en A, moviendose con la Tierra. Hemisferio Norte Hemisferio Sur

14 Situados en el hemisferio Norte (latitud λ). Una partícula situada en un punto A sobre la Tierra describe una circunferencia de radio r=r cosλ. Eje rotación Hemisferio Norte λ es la latitud (ángulo (ACE)) Aceleración centrífuga: Señala en la dirección DA (señala hacia fuera)

15 Aceleración centrifuga en modulo: Si ω = ω = rad/s (eje de rotación Tierra) r = AC = R = m, dirección radial La aceleración centrifuga disminuye del ecuador a los polos. Aceleración centrifuga se descompone en dos componentes según la direccion radial y la dirección Norte-Sur:

16 N λ R A g o λ B S Componente en dirección radial, (linea AB): ω 2 R cos 2 λ (nula en los polos) Componente en dirección Norte-Sur (linea NS) ω 2 R cosλsenλ (nula cuando estamos en el plano ecuatorial λ =0º y en los polos) El efecto de la aceleración centrifuga no depende del estado de movimiento del cuerpo, solo de su posición.

17 Aceleración efectiva: La aceleración efectiva es maxima en los polos y minima en el ecuador. B Se analiza el vector a lo largo de la dirección radial AB y la linea SN en el puntoa (hemisferio Norte): S λ A N Comp. aceleración efectiva (dirección radial): g AB = g 0 -ω 2 R cos 2 λ (disminuye la aceleración g 0 de la gravedad) Comp. aceleración efectiva (plano horizontal): g NS = ω 2 R cosλsenλ (nula cuando estamos en el plano ecuatorial λ =0º.)

18 Analizemos la desviación del vector respecto de la dirección radial: (aceleración efectiva) B S λ α A N

19 Por lo tanto si: La desviación de respecto de es muy pequeña. La dirección de nos da la linea de la plomada. Si ahora consideramos un cuerpo que cae: Se comprueba que la aceleración centrifuga (la componente en el plano horizontal) lo desvia hacia el Sur en en Hemisferio Norte: B AB dirección radial S A α A N Hemisferio Norte

20 Aceleración centrífuga en el Hemisferio Sur: Situados en el hemisferio Sur (latitud λ). Una partícula situada en el punto A describe una circunferencia de radio r= R cosλ. La aceleración centrífuga (dirigida hacia afuera) de modulo: a c = r = ω 2 r = ω 2 R cosλ. ω S Se descompone en dos componentes: λ R g o A N λ B Por lo tanto, disminuye de ecuador hacia los polos: Ecuador (λ = 0) Μax Polos (λ = 90) Min.

21 Aceleracíon efectiva en el Hemisferio Sur: La dirección de g nos da la linea de la plomada. Como α es pequeño, está desviación es despreciable. Si ahora consideramos un cuerpo que cae en el Hemisferio Sur: Se comprueba que la aceleración centrifuga (la componente horizontal) lo desvia hacia el Norte en en Hemisferio Sur. B AB dirección radial S A α g o A g N Hemisferio Sur

22 2. Cuerpo en movimiento y el termino de Coriolis 1. Cuerpo que cae: B v ' A λ N ω H.N. S N B A v ' v λ S B H.S. Hemisferio Norte W A A E

23 El vector velocidad angular ω forma un ángulo igual a la latitud λ con la dirección Norte-Sur. La aceleración de Coriolis en el hemisferio Norte y Sur está dirigida hacia el Este y su módulo es: a Cor = ( ω v ') = 2ω v cosλ La aceleración de Coriolis de un cuerpo que cae es: nula en los polos (λ =90º). En los polos ω v por tanto. máxima en el ecuador (λ =0º). En el Hemisferio Sur: W B v ' N λ ω A A Para un cuerpo que cae con velocidad v. E S

24 Por lo tanto, la trayectoria de una cuerpo que cae tanto en el hemisferio norte como en el hemisferio sur, experimenta una desviación hacia el Este, debida a la aceleración de Coriolis. v ' W E W A A E A A v ' g o H.N. H.S. g o El efecto conjunto sobre la trayectoria de las aceleraciones de Coriolis y la aceleracioón Centrifuga es: HN-> desviación hacia sureste (SE) HS -> desviación hacia noreste (NE)

25 3. Cuerpo que se mueve en un plano horizontal. Componentes del vector según el plano horizontal: No influye en la desviación a la trayectoria Desvía la trayectoria hacia la derecha en HN y hacia la izquierda en HS. B Plano horizontal en el H.N. ω λ W a V N E A v a H S Plano horizontal en el H.S. B N W S a V λ v ω a H E

26 Casos particulares, cuando el cuerpo se mueve en un plano horizontal: En el ecuador (λ = 0), a H = 0, tiene dirección radial. N ω B N A ω H A v S S Si un cuerpo se mueve según un meridiano: ω H v a V = 0, a H # 0 Si un cuerpo, en el ecuador, se mueve según un meridiano, ω H v : a V = 0, a H = 0 Si un cuerpo se mueve en los polos (λ = 90), en un plano horizontal: a V = 0, a H # 0

27 Ejemplo de la aceleración de Coriolis en el movimiento horizontal: 1. Remolino de un huracan: Centro de baja presión-> el viento fluye hacia él. a cor desvía las moleculas de aire hacia: la derecha en el HN la izquierda en el HS Da lugar a un movimiento de la masa del aire en el sentido contrario a las agujas de reloj en HN (remolino); en el HS las rotaciones son en el sentido contrario.

28 Ejemplo de la aceleración de Coriolis en el movimiento horizontal: 1. Oscilaciones de un péndulo (1851 Jean Leon Foucault, con un péndulo de 67m de largo, demostró que su plano de oscilación rotaba. ) Si soltamos el péndulo en A, volvería en B, si la Tierra no estuviera rotando. A causa de la aceleración de Coriolis, se demuestra que la trayectoria de la rotación del péndulo se desvía respecto de B hacia: la derecha en el HN la izquierda en el HS Debida a esta desviación continua, el plano de oscilación esta rotando:

29 Transformaciones de Lorentz 1. Si tenemos dos sistemas de referencia con movimiento de traslacion uniforme se obtienen las transformaciones Galileanas: r (t) = r '(t) + OO '(t) r (t) = r '(t) + OO '(t 0 ) + v r (t t 0 ) v (t) = v '(t) + v r (t), v r (t) = const a (t) = a '(t) Si suponemos que O=O (los origenes del sistema de referencia movil y fijo) coinciden en t=t =0 y el movimiento de traslacion uniforme es a lo largo de la direccion positiva del eje X con velocidad constante, obtenemos: x(t) = x'(t) + ut; y(t) = y'(t); z(t) = z'(t) v r (t) = uˆ i dx dt = dx' dt + u; v = v'+u; d 2 x dt 2 = d 2 x' dt 2 ; a = a'

30 Conclusion: estas ecuaciones son validas solo cuando v <<c. v = v'+u = c + u v > c Si v =c se contradice la hipotesis de Einstein (la velocidad de la luz es una invariante física que tiene el mismo valor para todos los observadores)!!! Se debe reemplazar la transformacion Galileana, por otra para que la velocidad de la luz sea una invariante. Supongamos que pata t=t =0 y O=O se emite un pulso de luz. La luz ha llegado al punto P en un tiempo t para el observador O y en un tiempo t para el observador O.

31 (1) El observador en O: r = ct r 2 = x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 (2) El observador en O : r'= ct' r' 2 = x' 2 +y' 2 +z' 2 = c 2 t' 2 Objetivo: relacionar (1) y (2) Como y=y y z=z y la velocidad de O es u ( OO '= utˆ i ), se cumple que x = ut cuando x =0 Esto hace suponer que: x'= k(x ut) t'= a(t bx) Sustituyendo en (2), se obtiene: Donde: k, a, b son constantes a determinarse. Para la transf. Galileana: k=a=1, b=0 (k 2 b 2 a 2 c 2 )x 2 2(k 2 u ba 2 c 2 )xt + y 2 + z 2 = (a 2 k 2 u 2 /c 2 )c 2 t 2

32 Como este resultado debe ser identico a (1), se obtiene: (k 2 b 2 a 2 c 2 ) =1, (k 2 u ba 2 c 2 ) = 0, (a 2 k 2 u 2 /c 2 ) =1 Resolviendo este conjunto de ecuaciones, obtenemos: k = a = 1 1 u 2 c 2, b = u /c 2 Se obtienen asi las Transformaciones de Lorentz: x'= k(x ut) = t'= a(t bx) = x ut 1 u 2 c 2 2 t ux /c 1 u 2 c 2 y = y' z = z' Son compatibles con la invariancia de la velocidad de la luz.

33 Ley de transformacion de Lorentz para las velocidades: La velocidad de A medida por un observador en O: v x = dx dt, v y = dy dt, v z = dz dt, La velocidad de A medida por un observador en O : v' x = dx' dt', v' y = dy' dt', v' z = dz' dt', Si diferenciamos las ecuaciones de Lorentz, se obtiene: dx'= dt'= dx udt 1 u 2 c 2, dy = dy', dz = dz' dt udx /c 2 1 u 2 c 2

34 O, que es lo mismo: dx'= v x u 1 u 2 c 2 dt, dy = dy', dz = dz' dt'= 1 uv x /c 2 1 u2 c 2 dt Es decir, se obtienen las ecuaciones de la ley de Lorentz para las velocidades: v' x = dx' dt' = v x u 1 uv x c 2 ; v' y = dy' dt' = v y 1 u 2 c 2 1 uv x c 2 ; v' z = dz' dt' = v z 2 1 u c 2 1 uv x c 2

35 Caso particular: Si una particula se mueve en la direccion X: v x = v ; v y = v z = 0 v'= v u 1 uv v = v'+u 1 uv' c 2 c 2 Consecuencias de la transformación de Lorentz: k = Contracción de la longitud 1 1 u 2 c 2 Dilatación del tiempo