SISTEMAS DE REFERENCIA

Transcripción

1 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA: SISTEMAS DE REFERENCIA 1.- Cinemática de la partícula 2.- Coordenadas intrínsecas y polares 3.- Algunos casos particulares de especial interés

2 1.- Cinemática de la partícula Definición de cinemática Sistemas de referencia Posición, elocidad y aceleración Cambios de sistema de referencia

3 1.1.- Definición de cinemática Cinemática: descripción del moimiento (sin tener en cuenta las causas que lo producen) Elementos básicos de la cinemática: Espacio: Se admite la existencia de un espacio absoluto, donde ocurren los fenómenos físicos. Todas las leyes se cumplen rigurosamente en todas las regiones del espacio Tiempo: Se admite la existencia de un tiempo absoluto, que trascurre del mismo modo en todas las regiones del Unierso Móil. El más simple a a ser el punto material o partícula (es una idealización de los cuerpos de la naturaleza)

4 1.2.- Sistemas de referencia Un sistema de referencia o referencial a a describir el moimiento de la partícula en el espacio en función del tiempo. Un sistema de referencia a a quedar definido por: Un origeno, un punto en el espacio físico Una base ectorial del espacio asociado a dicho espacio físico

5 Sistema de coordenadas cartesianas En el espacio 3D, elegimos un punto cualquiera como origen (O) y una base ectorial formada por los ectores unitarios ortogonales {i, j, k}. Se elige por tanto un triedro directo. Una partícula se encuentra en moimiento respecto a un referencial si su posición con respecto a él cambia en el transcurso del tiempo Si la posición no cambia con respecto al referencial, el cuerpo está en reposo en dicho referencial

6 1.3.- Posición, elocidad y aceleración -Posición r(t) : ector cualquiera r(t)= x(t)i + y(t)j +z(t)k Ecuación ectorial x= x(t) y= y(t) z= z(t) Ecuaciones paramétricas s = O O P trayectoria (cura indicatriz de r(t)) s =s(t) Ecuación intrínseca Eliminando el tiempo de las ecuaciones paramétricas: (Intersección de superficies, pérdida de información) f 1 (x, z) = 0 f 2 (y, z) = 0 Ecuación geométrica

7 Problema 1 Una partícula se muee recorriendo una circunferencia de radio r (moimiento en 2 dimensiones), de forma que el ángulo que recorre aría en función del tiempo (t) como =.t, siendo constante. Describir el moimiento de la partícula a traés de la ecuación ectorial del moimiento, ecuaciones paramétricas, ecuación intrínseca y ecuación geométrica.

8 -Velocidad s Z r P r s Q t PQ = s arco PQ = r desplazamiento X O r(t+t)=r+ r Y OQ = r + r Velocidad media r t Dirección y sentido secante a la trayectoria Depende de t: poca información

9 Velocidad instantánea lim t0 r t dr dt r Notemos que es un ector tangente a la trayectoria r s lím t s ds et e dt t0 t lím s0 r s lím t0 s t e t ector unitario tangente a la trayectoria Celeridad: módulo de la elocidad e t

10 En coordenadas cartesianas (ectores unitarios constantes) r=xi+yj+zk dr dt dx dt i dy dt j dz dt k x i y j z k Componentes cartesianas del ector elocidad ds dt 2 x 2 y 2 z

11 -Aceleración Aceleración media a t Aceleración instantánea a lím t0 d t dt La aceleración tiene la misma dirección que el cambio instantáneo de elocidad apunta hacia la concaidad de la cura d 2 dt r 2 a a a

12 Z 2 3 Indicatriz de la posición trayectoria NOTA. Indicatriz de una función ectorial: cura resultante de unir los extremos de dicha función ectorial 1 a a a r 1 r 2 r 3 r 4 O X Y En coordenadas cartesianas (ectores unitarios constantes): d d dy x d z i j k a dt dt dt dt d r d x d y d z i j k dt dt dt dt a 2 x a 2 y a 2 z 4 x i a y j a z k a 4 a 3 a 1 a 2 Indicatriz de la elocidad (también llamada hodógrafa)

13 Problema 2 Una partícula se muee recorriendo una circunferencia de radio r (moimiento en 2 dimensiones), de forma que el ángulo que recorre aría en función del tiempo (t) como =.t, siendo constante. Determinar los ectores y a de la partícula en coordenadas cartesianas {X,Y}. Y X

14 1.4.- Cambios de sistemas de referencia Un cierto ector tendrá unas determinadas componentes en un sistema de referencia. Puesto que el S.R. no es único, si elegimos otros S.R., las coordenadas (la descripción) del ector cambia. Debemos saber relacionar este tipo de cambios. Y Por ejemplo, en 2D: r(t)= x(t)i + y(t)j y j a b i r x X Cómo escribir r en la base {a,b}? Lo más sencillo es escribir a y b en términos de i y j, y hacer las transformaciones Veremos a continuación otros sistemas de referencia posibles para la descripción del moimiento de las partículas.

15 Problema 3 Considérense, en el plano, dos sistemas de coordenadas con el mismo origen O, dados por: (S.R.) 1 {i, j} (S.R.) 2 {a, b}, con a = (1,1), b = (0,2) Escribir los ectores 1 =(1,0), 2 =(2,-1) y 3 =(3,1) en el sistema de referencia (S.R.) 2.

16 2.- Coordenadas intrínsecas y polares Coordenadas intrínsecas (tangencial y normal) Coordenadas polares planas

17 2.1.- Coordenadas intrínsecas (tangencial y normal) Las componentes de los ectores de moimiento dirigidas según la tangente t y según la normal n a la trayectoria cura en la posición instantánea del punto móil proporcionan la descripción más corriente y útil del moimiento curilíneo. El sentido positio de t se toma en la dirección de aance, y el sentido positio de n se toma hacia el centro de curatura O de la trayectoria.

18 Notemos que: e t Deriando la expresión de la elocidad: a d dt d ( e dt t d ) e dt t de t dt Trayectoria rectilínea: e t cte a // de t dt e t Trayectoria curilínea: de t dt 0 0 Aceleración: no necesariamente paralela a la elocidad

19 La elocidad de una partícula a lo largo de la trayectoria tiene siempre dirección tangencial y su módulo es: d dt donde es el radio de curatura de la trayectoria en la posición considerada. La aceleración se obtiene deriando la elocidad, y en este sistema tenemos: a 2 e n d dt e t a n a t La componente normal nos da la ariación de la dirección de la elocidad en el tiempo, mientras que la componente tangencial nos da la ariación del módulo de la elocidad (celeridad) en el tiempo.

20 Problema 4 Una partícula se muee recorriendo una circunferencia de radio r (moimiento en 2 dimensiones), de forma que el ángulo que recorre aría en función del tiempo (t) como =.t, siendo constante. Determinar los ectores y a de la partícula en coordenadas intrínsecas. Y X

21 2.2.- Coordenadas polares planas Las coordenadas polares planas (r, ) se definen de la siguiente forma: La coordenada r es la distancia del punto P al punto O. Puede ariar entre los alores 0 y. La coordenada es el ángulo que forma el ector de posición con el eje OX. Puede ariar entre los alores 0 y 2. La base ectorial en este sistema de coordenadas iene dada por los ectores unitarios {e r, e } (sentidos positios en la dirección radial y en la dirección de aance de ángulos)

22 La relación entre las componentes cartesianas y polares de un ector iene dada por: x y r cos rsen r x 2 arctg y y x 2 La deriación del ector de posición r en este sistema conduce a las expresiones de elocidad y aceleración: r e r r e θ a 2 r r e r r 2r e θ

23 Problema 5 Dado el ector (12,5) en coordenadas cartesianas, escribirlo en coordenadas polares planas. Dado el ector (15,25º) en coordenadas polares planas, escribirlo en coordenadas cartesianas.

24 Problema 6 Una partícula se muee recorriendo una circunferencia de radio r (moimiento en 2 dimensiones), de forma que el ángulo que recorre aría en función del tiempo (t) como =.t, siendo constante. Determinar los ectores y a de la partícula en coordenadas polares planas. Y X

25 Cartesianas Intrínsecas Polares planas

26 Cartesianas Intrínsecas Polares planas

27 3.- Algunos casos particulares de especial interés Moimiento rectilíneo Moimiento parabólico

28 3.1.- Moimiento rectilíneo Moimiento rectilíneo uniforme =cte x=x 0 +t Moimiento rectilíneo uniformemente acelerado a cte at x x0 0t at

29 Moimiento rectilíneo uniforme cte 0 a e x x0 0t t t t Moimiento rectilíneo uniformemente acelerado 0 a.t a e x x 0 0 t 1 2 a.t 2 t t t

30 3.2.- Moimiento parabólico No hace falta aprenderse las ecuaciones. Es la superposición en dos ejes perpendiculares de un moimiento rectilíneo uniforme (eje X) y un moimiento rectilíneo uniformemente acelerado (eje Y).

31 Problema 7 Determinar las constantes de un moimiento rectilíneo uniformemente acelerado, si el móil tiene una elocidad de 17 m/s a los 4 s de empezar a contar el tiempo y en los tiempos t 1 =2 s y t 2 =4 s las posiciones son 12 y 40 m respectiamente. Representar las gráficas s-t, -t y a-t del moimiento.

32 Problema 8 Un jugador de frontón situado a 3 metros de la pared, lanza contra la misma la pelota desde una altura respecto al suelo de 2 m y con una elocidad inicial o =8i+8j. Al chocar la pelota contra la pared del frontón la componente horizontal de la elocidad se inierte y la componente ertical no aría. Determinar la distancia de la pared del frontón al punto en que caerá la pelota al suelo.

33 Problema 9 La guía con la ranura horizontal asciende por el borde ertical de la placa fija con celeridad constante y =2 m/s hasta inertir el sentido de su moimiento en y=18 cm. El pasador P está obligado a moerse en las ranuras horizontal y circular. Calcular la aceleración angular de la linea OP en el instante en que y=10 cm.

34 Problema 10 El ector de posición de una partícula P es r=3ti-t 2 j+8k en unidades del sistema internacional. Hallar: a) la elocidad de la partícula a los 2 minutos de iniciado el moimiento; b) las componentes intrínsecas de la aceleración y el radio de curatura de la trayectoria a los 2 s.

35 Problema 11 El desplazamiento de un punto material que se muee a lo largo de una recta iene dado por: s=2t 3-24t+6 donde s se mide en metros, desde un origen coneniente, y t, en segundos. Determinar: a) el tiempo que emplea el punto en adquirir una elocidad de 72 m/s; b) la aceleración del punto cuando =30 m/s; c) el desplazamiento del punto en el interalo de t=1 s a t=4 s; d) la distancia total recorrida en dicho interalo de tiempo.

36 Problema 12 El moimiento de una partícula está definido por: x=2t 3-15t 2 +24t+4 donde x y t se expresan en metros y segundos respectiamente. Hallar: a) cuándo es nula la elocidad; b) la posición y distancia total recorrida cuando es nula la aceleración; c) la posición y distancia recorrida cuando t=5 s.

37 Problema 13 Un pequeño objeto se lanza pendiente abajo en la forma indicada. Calcular la celeridad inicial u.

38 Problema 14 El pasador P está obligado a moerse en las guías ranuradas, las cuales se desplazan perpendicularmente entre sí. En el instante representado, A tiene una elocidad hacia la derecha de 20 cm/s que decrece a razón de 75 cm/s cada segundo. Al mismo tiempo, B se muee hacia abajo con una elocidad de 15 cm/s decreciente a razón de 50 cm/s cada segundo. Calcular para este instante el radio de curatura de la trayectoria seguida por P.

39 Problema 15 El pasador B de 115 g puede moerse libremente en un plano horizontal a lo largo del brazo OC y en la ranura DE, de radio b=0.5 m. Despreciando el rozamiento y suponiendo que =15 rad/s y =250 rad/s 2 para la posición =20º, hallar en ese instante: a) la elocidad y aceleración del pasador B; b) las fuerzas P y Q ejercidas sobre B por la arilla OC y la ranura DE respectiamente.