Mecánica Teórica Curso Boletín de problemas 2 Grupo 2

Transcripción

1 Mecánica Teórica Curso Boletín de problemas 2 Grupo 2 Física Teórica, Universidad de Sevilla 6 de octubre de Dar un conjunto de coordenadas generalizadas necesarias para especificar completamente el movimiento en cada uno de los casos siguientes: a) una partícula obligada a moverse sobre una elipse, b) un cilindro que rueda hacia abajo en un plano inclinado, c) En los diferentes sistemas representados en la figura 2- Clasificar los siguientes sistemas según sean ellos: i) esclorónomo o reónomo, ii) holónomo o no holónomo y iii) conservativo o no conservativo Una esfera que rueda hacia abajo desde la parte superior de una esfera fija, Un cilindro que rueda sin deslizar hacia abajo en un plano rugoso inclinado un ángulo α, Una partícula que desliza hacia abajo sobre la superficie interior, con coeficiente de rozamiento µ, de un paraboloide de revolución que tiene su eje vertical y su vértice inclinados, Una partícula que se mueve sobre un alambre muy largo sin rozamiento, el cual rota con velocidad angular constante alrededor de un eje horizontal En la figura del problema 1 3- Determinar la condición de equilibrio del sistema representado en la figura usando el principio de los trabajo virtuales de D Alambert las masas m 1 y m 2 cuelgan de dos poleas fijas concéntricas con radios R 1 y R 2 Las masas de las poleas son despreciables 1

2 4- En la figura tenemos dos masas conectadas por una cuerda que se mueven sin fricción Establecer la ecuación de movimiento usando el principio de D Alambert 5- a) Determinar la Lagrangiana de un péndulo simple, b) obtener la ecuación que describe su movimiento 6- Una masa M 2 cuelga de uno de los extremos de una cuerda que pasa sobre una polea sin rozamiento y que no rota En el otro extremos de la cuerda hay una polea que no rota de masa M 1 sobre la cual pasa una cuerda que sostiene las masas m 1 y m 2 a) Determinar la Lagrangiana del sistema, b) Hallar la aceleración de M 2 7- Usar las ecuaciones de Lagrange para determinar la ecuación diferencial de las masas en oscilación de la figura 2

3 8- Usar la ecuación de Lagrange para hallar la ecuación diferencial de un péndulo compuesto que oscila en un plano vertical alrededor de un eje horizontal fijo 9- Una partícula de masa m se mueve en un campo de fuerza conservativo Hallar, a) la función Lagrangiana, b) las ecuaciones del movimiento en coordenadas cilíndricas (ρ, ϕ, z) 10- Repetir el problema anterior si la partícula se mueve en el plano xy y si el potencial depende únicamente de la distancia al origen 11- Considerar el circuito LC de la figura A baja frecuencia podemos usar la siguiente aproximación Describimos la energía del sistema como la suma de dos componentes E c = Q 2, E 2C L = LI2 Como la corriente I y la carga eléctrica Q en el condensador están ligadas 2 por la ecuación de continuidad dq = I, parece natural declarar la carga como coordenadada dt generalizada Con esta elección, la energía electrostática E C (Q) puede tratarse como energía potencial, V, del sistema, y la energía magnética E L (I), como la energía cinética a) Obtener mediante la función Lagrangiana, la ecuación de movimiento, b) discutir porque la elección anterior no garantiza que la coordenada generalizada y la fuerza generalizada sean únicas (Por ejemplo, podemos usar como coordenada generalizada el flujo magnético Φ a través de la bobina, relacionada con la caida de voltaje V a través del circuito por la ley de Faraday V = dφ Ahora (Φ es la coordenada generalizada, V es la velocidad generalizada, E dt L = Φ2 2L debe entenderse como la energía potencial y E C = CV 2 sería la energía cinética) c) Si los 2 parámetros C y L son constantes en el tiempo comprobar que el circuito se comporta como un oscilador armónico con una frecuencia de oscilación dada por ω 0 = 1 (LC) 2 3

4 12- Una partícula de masa m se mueve bajo la atracción gravitatoria de una masa fija M situada en el origen Tomando coordenadas polares r, θ como coordenadas generalizadas obtener las ecuaciones de Lagrange Mostrar que θ es una coordenada cíclica y encontrar (e identificar) el momento conservado p θ (a) Problema 1 (b) Problema Una partícula de masa M desliza a lo largo de un alambre recto liso El cable tiene un extremo fijo en el origen O, y se hace rotar en el plano xy con velocidad angular Ω Sea r, la distancia desde P a O, la coordenada generalizada, obtener la ecuación de Lagrange Inicialmente la partícula está a una distancia a desde O y se encuentra en reposo relativo en el cable Encontrar su posición en el tiempo t Encontrar también la función energía h y mostrar que se conserva incluso aunque hay una ligadura dependiente del tiempo 14- Un disco uniforme de masa M y radio a puede rodar a lo largo de un rail horizontal rugoso Una partícula de masa m está suspendida del centro C del disco por una cuerda ligera inextensible de longitud b El sistema completo se mueve en el plano vertical siguiendo el rail Tomar como coordenadas generalizadas x, el desplazamiento horizontal de C, y θ, el ángulo entre la cuerda y la vertical hacia abajo Obtener las ecuaciones de Lagrange Comprobar que x es una coordenada cíclica y encontrar el momento correspondiente que se conserva, p x Es p x el momento lineal horizontal del sistema? 15- Una bola uniforme se masa m rueda hacia abajo por una cuña rugosa de masa M y ángulo α (figura), que a su vez desliza sobre una superficie horizontal suave El sistema completo efectúa un movimiento plano Cuantos grados de libertad tiene el sistema? Obtener las ecuaciones de Lagrange Para el caso especial en que M = 3m/2, encontrar, i) la aceleración de la cuña, y ii) la aceleración de la bola relativa a la cuña 4

5 16- La Lagrangiana relativista para una partícula de masa m 0 en reposo que se mueve a lo largo del eje x bajo la influencia de un campo potencial armónico simple está dado por L = m o c 2 1 V = 1 2 m 0Ω 2 x 2 ( 1 ẋ2 c 2 ) 1/2 1 2 m 0Ω 2 x 2 Obtener la integral de energía para este sistema y comprobar si es una constante de movimiento 17- Dos bloques de masas iguales están conectados por una barra rígida de longitud l y se mueven sin fricción a lo largo de una trayectoria dada (ver la figura) La atracción de la Tierra actúa a lo largo del eje y negativo La coordenada generalizada será el ángulo α (correspondiente a un único grado de libertad del sistema) Encontrar la función Lagrangiana, la ecuación de movimiento, y la trayectoria del sistema, α(t) 18- Dos masas m y M están unidas por una cuerda de longitud total constante l = r + s La masa de la cuerda es despreciable frente al valor m + M La masa m puede rotar con la cuerda (con variación parcial de la longitud r) sobre el plano (ver la figura) La cadena lleva a m a través de un agujero en el plano, donde la masa M cuelga de la cuerda estirada firmemente (con la longitud parcial también variable s = l r) Dependiendo de los valores de la velocidad angular, ω, de rotación de m en el plano, el arreglo puede deslizarse hacia arriba o hacia abajo Por lo tanto, la masa M se mueve solo a lo largo del eje z Las limitaciones que caracterizan al sistema son las ligaduras holónomas y esclerónomas Esta disposición tiene dos grados de libertad Los dos correspondientes a las coordenadas generalizadas ϕ y s que describen unívocamente el estado de movimiento del sistema conservativo a) Encontrar la función Lagrangiana del sistema, b) las ecuaciones de movimiento y c) el momento angular Discutir los movimientos posibles del sistema según que el momento angular supere o no al valor del momento angular en la posición s 0 de equilibrio del sistema 5

6 19- Obtener la ecuación de movimiento para una partícula de carga q, masa m que se mueve a la velocidad v, en una región libre de carga donde actúa un campo eléctrico, E, y un campo magnético, B Tanto E(t, x, y, z) como B(t, x, y, z) son funciones continuas del tiempo y de la posición y derivan de un potencial escalar (t, x, y, z) y de un potencial vector A(t, x, y, z) mediante E = φ A t, B = A La fuerza sobre la carga puede obtenerse a partir del siguiente potencial dependiente de la velocidad U = qφ q A v, la lagrangiana es L = 1 2 mv2 qφ + q A v 20- Dos masas puntuales de masa m están unidas por una varilla rígida sin peso de longitud l, el centro de la cual está ligado a moverse sobre un circulo de radio a Obtener la energía cinética en coordenadas generalizadas 21- Una partícula se mueve en un plano bajo la influencia de una fuerza, que actúa hacia un centro de atracción, cuya magnitud es F = 1 ( ) 1 ṙ2 2 rr r 2 c 2 con r la distancia de la partícula al centro de atraccíon Encontrar el potencial generalizado del que resulta tal fuerza, y con el la Lagrangiana para el movimiento en un plano 6

7 22- Un cable curvado de forma parabólica rota con velocidad angular constante ω alrededor del eje z En esta rotación una bolita de masa m se mueve insertada en el cable en el campo gravitacional terrestre ( g = g e z ) Si el cable se encuentra en el plano yz (figura) tendremos para la posición de la masa, z = αy 2 con (α > 0)) a) Encontrar las ligaduras, Cuántos grados de libertad tiene el sistema? b) Usar coordenadas cilíndricas (ρ, ε, z) para calcular la Lagrangiana c) Para el caso especial ω = 2αg obtener la Lagrangiana y demostrar que (1 + 4α 2 ρ 2 ) ρ 2 es una cantidad que se conserva (integral del movimiento) 23- Una partícula de masa m se mueve en una dimensión tal que la Lagrangiana es L = m2 ẋ mẋ2 V (x) V 2 (x), siendo V una función diferenciable de x Encontrar la ecuación de movimiento para x(t) y describir la naturaleza física del sistema a partir de esta ecuación 24- Obtener la ecuación de movimiento para una partícula que cae verticalmente bajo la influencia de la gravedad actuando sober ella una fuerza de fricción que se puede deducir de una función de disipación 1 2 kv2 Integrar la ecuación para obtener la velocidad en función del tiempo y mostrar que la velocidad máxima posible de caida desde el reposo es v = mg k 25-Deducir las ecuaciones de Lagrange cuando el sistema está sometido a ligaduras no holónomas conservativas y no conservativas usando los multiplicadores de Lagrange 26- Una partícula de masa m se mueve bajo la acción de la gravedad sobre la superficie interna de un paraboloide de revolución con ecuación x 2 + y 2 = az que no presenta rozamiento Obtener las ecuaciones del movimiento 27- a) Demostrar que la partícula del paraboloide del ejercicio 22 describe un círculo horizontal en el plano z = h siempre y cuando se le imprima una velocidad angular de magnitud igual a ω = 2g b) Demostrar que si la partícula se desplaza ligeramente de su trayectoria circular, entrará en oscilación alrededor de su trayectoria con una frecuencia dada por (1/π) 2g/a a c) Discutir la estabilidad de la partícula en la trayectoria circular 7

8 28- En la figura, AB es un alambre recto y liso, fijo en el punto A sobre el eje vertical OA AB gira alrededor del eje OA con velocidad angular constante ω Una bolita de masa m está obligada a moverse sobre el alambre a) Determinar la Lagrangiana b) Escribir las ecuaciones de Lagrange c) Determinar el movimiento en función del tiempo 29- Una pequeña esfera se desliza sin rozamiento en un alambre liso doblado en forma de cicloide cuya ecuación es x = a(θ sen θ), y = a(1 + cosθ) donde 0 θ 2π Encontrar a) la función Lagrangiana, b) la ecuación de movimiento 30- Una esfera de radio a y masa m reposa en la parte superior de una esfera rugosa fija de radio b La primera esfera se desplaza ligeramente de su posición de manera que rueda sin deslizarse hacia abajo sobre la segunda esfera a) En qué punto abandonará la primera esfera a la segunda? b) Obtener las ecuaciones para la esfera que rueda empleando las ecuaciones de Lagrange 31- Una partícula de masa m y carga e se mueve en el campo magnético producido por una corriente I que fluye a lo largo de un alambre recto infinito con dirección del eje z El potencial vector A del campo magnético inducido está dado por A r = A θ = 0, A z = ( ) µ0 I lnr, 2π donde r, θ, z son coordenadas cilíndricas polares Encontrar la Lagrangiana de la partícula Mostrar que θ y z son coordenadas cíclicas y encontrar los momentos conservados correspondientes 8