Elegir solamente 2 de las 3 preguntas.

Transcripción

1 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN SEGUND PRCIL PRIMER EJERCICI. TIEMP: 40' Elegir solamente 2 de las 3 preguntas. 1. Deducción de la ecuación de equilibrio de un cable sometido a su propio peso. 2. Movimiento rectilíneo de un punto material alrededor de su posición de equilibrio estable. 3. Demostración de la expresión de la energía cinética de un sólido rígido con un punto fijo.

2 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN SEGUND PRCIL SEGUND EJERCICI. TIEMP: 40' Sobre un suelo rugoso inclinado a 45º se encuentra un disco de centro, masa M y radio R. Un cable de peso propio q se encuentra amarrado a la periferia del disco mediante una articulación y pasa por una polea D de dimensiones despreciables. La longitud total del cable es 10R y la del tramo D es 5R. Sabiendo que el disco se encuentra en equilibrio estricto en la posición indicada en la figura ( vertical), calcular: El coeficiente de rozamiento entre disco y suelo. D 4R 0 45º

3 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN SEGUND PRCIL TERCER EJERCICI. TIEMP: 45' Un columpio sin masa que puede oscilar alrededor de un eje horizontal que pasa por su extremo, lleva soldado en su base un disco de centro G, radio R y masa M. Una barra de masa M igual que la del disco y de sección transversal despreciable, se encuentra apoyada sobre el disco no existiendo deslizamiento entre ambos. Determinar la relación que debe existir entre L y R para que la posición indicada sea de equilibrio estable. L Mg G R Mg

4 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN SEGUND PRCIL CURT EJERCICI. TIEMP: 50' Tres masas puntuales iguales, y C de valor M están unidas mediante dos hilos flexibles e inextensibles de longitudes 3a y 2a, como muestra la figura. En el instante inicial la masa permanece fija y las y C se mueven sobre un plano horizontal describiendo circunferencias de centro. Estando el sistema en las condiciones anteriores, se corta el hilo que une las masas y C, comenzado el movimiento de la masa. Sabiendo que no existe rozamiento y que el máximo descenso de la masa corresponde a la posición r = a, determinar: 1) Valor de r 0, es decir, valor de r en el instante inicial (6 puntos). 2) Tensión máxima del hilo que une y durante el movimiento (4 puntos). r 0 2a C 3a-r 0

5 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN SEGUND PRCIL QUINT EJERCICI. TIEMP: 40' Un disco de masa M y radio R se encuentra apoyado sobre un suelo horizontal rugoso, siendo el coeficiente de rozamiento f=1/4. Sobre el disco se apoya una barra, de masa M y longitud 2R 3, no existiendo rozamiento entre barra y disco. Estando el sistema en la posición indicada en la figura, comienza el movimiento. Determinar, en el instante inicial, el valor de la aceleración del centro G del disco. M R M R 3 30º 30º G Mg C

6 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN TERCER PRCIL PRIMER EJERCICI. TIEMP: 40' Elegir solamente 2 de las 3 preguntas. 1. Sólido con eje fijo sometido a percusiones: centro de percusiones. 2. Estabilidad vertical del giroscopio de Lagrange. Datos: = I ψ&sen θ+ I ϕ& + ψ&cosθ cosθ = I ϕ& + ψ&cosθ V ef = x z a a cosθ 2I x 2 sen 2 za f 2 f θ f + MgL cosθ 3. Deducción de las ecuaciones de Euler.

7 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN TERCER PRCIL SEGUND EJERCICI. TIEMP: 50' Un semiaro de masa M y radio R está soldado a un eje vertical. En el mismo plano vertical, también soldado al eje, está una placa cuadrada de masa M, lado R y de espesor despreciable. El sistema gira con velocidad angular w = sent alrededor del eje vertical. Determinar: 1. Par que se debe aplicar sobre el eje para que se cumpla la ley de movimiento. 2. Reacciones en los apoyos y. 3. Posición de una masa puntual de valor M para equilibrar estática y dinámicamente el sistema. R R R R

8 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN TERCER PRCIL TERCER EJERCICI. TIEMP: 50' El sistema de la figura está constituido por un disco homogéneo de masa M y radio R, en cuyo centro se halla soldada una varilla sin masa perpendicular a su plano de longitud 2R, unida en su otro extremo a una masa puntual de valor 5M/11. El centro de gravedad del sistema es una rótula esférica fija. En un instante dado, se comunica al sistema una velocidad angular como la indicada en la figura. Determinar: 1. Velocidad de precesión (3 puntos). 2. Semiángulo en el vértice de los conos correspondientes al axoide fijo y axoide móvil del movimiento (4 puntos). 3. Si M=1 y R=1, calcular la distancia entre el centro de gravedad del sistema y el plano que contiene a la herpolodia (3 puntos). M,R ωο 5M/11 G 3ωο 2R

9 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN TERCER PRCIL CURT EJERCICI. TIEMP: 45' Una barra de longitud L y masa despreciable esta articulada en a un punto fijo y en a otra barra C de longitud L y masa M. Estando ambas barras en reposo y en posición vertical, se lanza contra la barra C un disco de radio R y masa M, animado de movimiento de traslación con velocidad V como muestra la figura. Sabiendo que entre disco y barra se produce un choque con rozamiento muy elevado y coeficiente de restitución ε= 1, determinar el campo de velocidades de los tres sólidos 2 inmediatamente después del impacto. C 60º V

10 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN TERCER PRCIL QUINT EJERCICI. TIEMP: 35' Una barra homogénea de masa M y longitud 2L se encuentra en posición vertical, suspendida de su extremo. tra masa M, que puede deslizar libremente a lo largo de la barra, está unida al extremo mediante un muelle de constante K=Mg/L y longitud sin tensión 2L. Determinar las frecuencias naturales de oscilación en los pequeños movimientos en el entorno de la posición vertical de equilibrio estable. Mg K Mg

11 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL PRIMER EJERCICI. TIEMP: 40' Elegir solamente 2 de las 3 preguntas. 1) Calcular la aceleración del centro instantáneo de rotación. 2) Demostrar el Teorema de los trabajos virtuales. 3) Demostrar el Teorema de Köenig de la energía cinética.

12 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL SEGUND EJERCICI. TIEMP: 40' Una circunferencia de centro C y radio R gira alrededor del punto de su periferia con velocidad angular constante ω. Una barra gira alrededor de con velocidad angular constante ω de sentido contrario al anterior. tra barra articulada en es siempre tangente a la circunferencia. Determinar en el instante en que pasa sobre el centro C: 1) Velocidad angular de la barra respecto al suelo y velocidad relativa de C respecto a la barra.(4 puntos) 2) celeración angular de la barra respecto al suelo y aceleración relativa de C respecto de la barra. (6 puntos) 30º C Ω =ω Ω circ =ω

13 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL TERCER EJERCICI. TIEMP: 40' El tubo sin masa de la figura gira alrededor del eje vertical e con velocidad angular constante ω= 6g. En un instante dado, se introduce por el extremo una bola de R masa M y dimensiones despreciables, con una velocidad relativa al tubo v o. No existe rozamiento entre masa y tubo. La masa sale por el extremo con una velocidad relativa de módulo v o 2. Calcular: 1. Velocidad v o con que se introduce la bola (6 puntos). 2. Reacción entre tubo y bola cuando ésta se halla en el punto más bajo del tubo (4 puntos). e V o R θ ω M

14 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL CURT EJERCICI. TIEMP: 45' Un disco homogéneo de radio R y masa M, que tiene soldada en su periferia una masa puntual de valor M, está apoyado en un bloque de masa M. Entre el disco y el bloque existe rozamiento suficiente para asegurar la rodadura, no habiendo rozamiento entre bloque y suelo. Sabiendo que el sistema está situado en un plano vertical y que parte del reposo cuando ϕ = π 2, calcular: 1. Energía potencial para una posición cualquiera del sistema (1 punto). 2. Energía cinética para una posición cualquiera del sistema (2 puntos). 3. Ecuaciones diferenciales del movimiento (3 puntos). 4. Razonar qué valores de ϕ son compatibles con el movimiento (2 puntos). 5. Máximo desplazamiento del bloque (2 puntos). ϕ M

15 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL QUINT EJERCICI. TIEMP: 50 El sistema de la figura, situado en un plano vertical, está constituido por : - una barra de masa M y longitud L articulada en y unida a 2 muelles iguales de L constante K y longitud sin tensión a la altura del centro de gravedad G de la barra 2 2 y cuyos otros extremos C y D están fijos en el suelo. - dos barras y M de masas despreciables articuladas entre sí en el punto, y de longitudes respectivas, a y L/2, - una masa puntual de valor M en el punto M. Sabiendo que la barra es siempre perpendicular a, determinar: 1. Las condiciones que deben verificar a y K para que la posición de la figura sea de equilibrio estable. (4 puntos). 2. Las frecuencias de las pequeñas oscilaciones del sistema alrededor de la posición de equilibrio estable tomando K = 16Mg. (6 puntos). L a M L/2 G D L/2 L/2 C

16 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL PRIMER EJERCICI. TIEMP: 40 Elegir solamente 2 de las 3 preguntas. 1) Demostrar la expresión de la velocidad de sucesión en función de la rotación del sólido y de los radios de curvatura de base y ruleta. 2) Ecuaciones intrínsecas del equilibrio de un cable. 3) Demostrar el Teorema de Köenig del momento cinético.

17 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL SEGUND EJERCICI. TIEMP: 40 Una masa puntual M se mueve sin rozamiento sobre el interior de una superficie cónica de eje vertical, y semiángulo en el vértice de 45º. La masa está unida a un resorte de constante K y longitud sin tensión 2 del cono. 2 h, cuyo otro extremo se halla unido al vértice Cuando la masa se halla a una altura h sobre el vértice, la velocidad es horizontal de valor gh. La máxima altura que alcanza la masa es 2h. Determinar el valor de la constante del muelle. z 45º M K y x

18 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL TERCER EJERCICI. TIEMP: 45 El mecanismo de la figura se mueve en un plano vertical por la acción del par P, de manera que la barra gira con velocidad angular constante de valor ω en el sentido indicado. Sabiendo que no existe rozamiento y que las dos barras son iguales, de masa M y longitud L, calcular: 1. Valor del par P en función del ángulo ϕ y de ω (5 puntos). 2. Reacción del suelo sobre la barra en un instante cualquiera (3 puntos). 3. Valor máximo de ω para que la barra permanezca siempre en contacto con el suelo (2 puntos). P ω ϕ

19 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL CURT EJERCICI. TIEMP: 50 Un disco de centro y radio R rueda sin deslizar sobre un suelo plano de modo que su centro avanza hacia la izquierda con velocidad V a determinar. Sobre el disco se apoya permanentemente una barra C articulada en el punto a la barra de longitud R y que gira con velocidad angular constante ω alrededor del punto (ver figura). Para el instante indicado en la figura calcular: 1. Valor de V para que no exista deslizamiento entre el disco y la barra C. (3 puntos) 2. celeración del punto D del disco en contacto con la barra respecto a la barra C. (3 puntos) 3. celeración angular de la barra C. (4 puntos) C D R V 30º R ω R 2R I

20 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL CURT EJERCICI. TIEMP: 45 Un disco de centro y radio R está en contacto con un suelo plano de modo que su centro avanza hacia la izquierda con velocidad constante V=2ωR. Sobre el disco se apoya permanentemente una barra C articulada en el punto a la barra de longitud R y que gira con velocidad angular constante ω alrededor del punto (ver figura). Sabiendo que no existe deslizamiento entre el disco y la barra C, calcular para el instante indicado en la figura: 1. Rotación angular de la barra C. (3 puntos) 2. celeración del punto D del disco en contacto con la barra respecto a la barra C. (3 puntos) 3. celeración angular de la barra C. (4 puntos) C D R V 30º R ω R 2R

21 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL QUINT EJERCICI. TIEMP: 45 El sistema plano de la figura está constituido por un aro de radio R, masa M y centro, dos resortes ideales iguales de constante K unidos al punto y a los puntos fijos y, y una barra de masa M y longitud L articulada en. Sabiendo que la posición de la figura es de equilibrio estable y que el aro puede rodar sin deslizar sobre el suelo fijo, determinar: 1. La energía potencial reducida del sistema (2 puntos). 2. La energía cinética reducida del sistema (3 puntos). Mg 3. Tomando K = 9, las frecuencias de las pequeñas oscilaciones del sistema 4L alrededor de la posición de equilibrio estable (5 puntos). M,R K M,L K

22 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FERER PRIMER EJERCICI. TIEMP: 40 Elegir sólo 2 de las 3 preguntas: 1. Teoremas de Steiner. 2. Cálculo del momento cinético de un sólido con punto fijo. 3. Giroscopio simétrico con movimiento por inercia. (Giroscopio de Euler)

23 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FERER SEGUND EJERCICI. TIEMP: 45 La barra, de longitud L, tiene una articulación plana fija en, está unida en mediante una articulación plana a la barra de igual longitud y masa M y el punto está unido mediante otra articulación plana, a un bloque que se traslada sobre el eje x. Sabiendo que la barra gira con una velocidad angular ω constante, se pide: 1. ase y ruleta del movimiento de la barra. (2 puntos) 2. celeración del punto relativa al bloque. (2 puntos) 3. Energía cinética de la barra. (2 puntos) Considerando el movimiento arriba indicado, como un movimiento relativo respecto del sistema XYZ y suponiendo que el movimiento de dicho sistema de referencia está definido mediante V = v i y ω XYZ =Ωj, obtener: 4. Ecuación del eje instantáneo de rotación y deslizamiento. (2 puntos) 5. Energía cinética de la barra. (2 puntos) y L ϕ x

24 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FERER TERCER EJERCICI. TIEMP: 45 Una barra de masa M y longitud 4R está suspendida en un plano vertical mediante Mg un hilo C y un muelle ideal de constante K = que forma 45º con la vertical. 2R Sobre el punto medio de la barra se apoya un disco de masa M y radio R, no existiendo rozamiento entre ambos. Estando el sistema en equilibrio con la barra horizontal, se corta el hilo C. Determinar en dicho instante (inmediatamente antes de que se inicie el movimiento): 1. celeración del punto medio de la barra (2 puntos). 2. celeración angular de la barra (2 puntos). 3. celeración del centro del disco (2 puntos). 4. celeración angular del disco (2 puntos). 5. Reacción entre disco y barra (2 puntos). C 45º D 2R 4R

25 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FERER CURT EJERCICI. TIEMP: 45 Un sistema plano, formado por un cuadrado CDEF de masa M, lado 2L y espesor despreciable, y por una barra CH de masa 2M y longitud 2L; gira alrededor del eje vertical y fijo. Sabiendo que el apoyo no admite esfuerzos axiales, determinar en el g instante en que la velocidad angular es ω= L y la aceleración angular α= g L : 1. Reacciones en los apoyos y y valor del par P necesario. 2. Posición en la que ha de colocarse una masa puntual M para equilibrar el sistema. L L L H C D 2Mg ω,α L Mg L F P E L

26 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FERER QUINT EJERCICI. TIEMP: 45 La barra de la figura, de masa M y longitud 4R, puede rodar sin deslizar sobre la circunferencia fija de radio 2R, Sobre la barra, puede rodar sin deslizar un disco de masa M y radio R, cuyo centro está unido a los extremos de la barra mediante 2 resortes ideales de constante K. Determinar qué condición debe cumplir K para que la posición indicada en la figura sea de equilibrio estable.

27 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL PRIMER EJERCICI. TIEMP: 40 Elegir sólo 2 de las 3 preguntas: 1. Circunferencias notables. 2. Teorema de Carnot. 3. Teorema de Koenig de la energía cinética.

28 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL SEGUND EJERCICI. TIEMP: 50 El sistema de la figura está constituido por una barra de masa M y longitud 2R, articulada sin rozamiento en su extremo a un disco de masa M y radio R. El sistema parte del reposo con la barra en posición vertical, iniciándose el movimiento al separarla ligeramente de esta posición. Entre el disco y el suelo existe rozamiento suficiente para asegurar la rodadura. Se pide: 1. Ecuaciones diferenciales del movimiento del sistema (6 puntos). 2. Velocidad y aceleración del centro del disco, cuando la barra está paralela al suelo (4 puntos). θ

29 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL TERCER EJERCICI. TIEMP: 45 El sistema de la figura está constituido por una barra de longitud L, cuyo extremo está fijado al suelo mediante una articulación plana, y el se halla siempre en contacto con la barra CD mediante una deslizadera rígida en el punto. mbas barras forman permanentemente 90º. El extremo C desliza por la recta horizontal que pasa por. Calcular: 1. ase de la barra CD (6 puntos). 2. Ruleta de la barra CD (4 puntos). D 90º C

30 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL CURT EJERCICI. TIEMP: 50 Una circunferencia de alambre de masa M y radio R puede oscilar alrededor de un eje horizontal que pasa por su punto. Una masa puntual M igual a la anterior puede deslizar a lo largo de un diámetro sin masa, estando unida a los extremos y de éste mediante dos muelles iguales de 1 Mg constante K = y longitud natural R cada uno. 4 R Determinar las frecuencias de las pequeñas oscilaciones del sistema alrededor de su posición de equilibrio estable. Mg Mg G K K

31 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL QUINT EJERCICI. TIEMP: 45 Una barra de masa M y longitud 2R está articulada en su extremo al centro de un disco de radio R y masa M. El sistema se apoya en el suelo en y C, 3 siendo en ambos puntos el coeficiente de rozamiento f =. 2 btener el par P aplicado al disco en la situación de equilibrio estricto. P Mg Mg 30º C

32 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL SLUCINES Siendo x la coordenada del centro del disco. 5 x & + Rθ & cosθ = 0 2 4R Por Lagrange: & x cos θ + & θ g senθ = 0 3 Por Conservación de la Energía: 2.2 x& = R x & + Rx& & θ cosθ + & θ 2 + gr cosθ = gr 4 3 & x = 3g ase Sist. Ref. en. L L X = ; Y = tgθ cosθ cosθ 3.2 Ruleta Sist. Ref. en C. x = L tg 2 θ; y = L tgθ 4. Siendo x la distancia de la masa a G y α el ángulo de G con la vertical. V = 2MgR cosα + Mgx senα + Kx M 2 T = MR & α + x& + MRx& & α 2 2 ω 2 1 = 0 2 3g ω 2 = 4R Rodadura en C y deslizamiento en. P = MgR 6

33 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL PRIMER EJERCICI. TIEMP: 40 Elegir sólo 2 de las 3 preguntas: 1. Tensor axil de inercia. 2. Teorema de Köenig de la energía. 3. ngulos de Euler.

34 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL SEGUND EJERCICI. TIEMP:50 Una barra de masa M y longitud 2 L está suspendida en un plano vertical mediante un hilo h en el extremo y una articulación a una pared en el extremo. En 2M el extremo se articula otra barra de longitud L y masa libre en el extremo. 3 Estando el sistema en equilibrio con la barra a 45º y la barra vertical calcular: 1. Reacciones en la articulación y fuerza en el hilo h (2 puntos). Si ahora se corta el hilo h. Determinar en dicho instante (inmediatamente antes de que se inicie el movimiento): 2. celeración angular de las barras (4 puntos). 3. Reacciones en las articulaciones (4 puntos). h 45º 2 L M L 2M 3

35 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL TERCER EJERCICI. TIEMP: 50 Un disco de radio R y centro G se encuentra entre el suelo y una barra que gira con velocidad angular ω constante alrededor de su extremo. Determinar en el instante que indica la figura la velocidad y aceleración angular del disco en los dos casos: - rodadura entre disco y suelo - rodadura entre disco y barra ω G 30º 30º

36 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL CURT EJERCICI. TIEMP: 45 Una barra de masa M y longitud 2L está articulada en al suelo y en el otro extremo a otra barra igual a la anterior. La barra está apoyada en sobre el suelo con coeficiente de rozamiento f. En el centro de la barra actúa un par P. Determinar entre qué valores debe oscilar el par P para que el sistema esté en equilibrio. P Mg Mg 45º 45º

37 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL QUINT EJERCICI. TIEMP: 40 El sistema mecánico de la figura está constituido por dos barras articuladas entre sí: la barra de longitud L sin masa y la barra de masa M y longitud L. Las barras pueden oscilar en el plano vertical del dibujo. Se pide determinar alrededor de la posición de equilibrio estable: 1. La energía potencial reducida del sistema.(3 puntos) 2. La energía cinética reducida del sistema. (3 puntos) 3. La frecuencias naturales de oscilación del sistema. (4 puntos) L M,L

38 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL SLUCINES Mg 7Mg H o = 0 ; V o = ; T = g 7g α = ; α = 9L 6L 3. 14Mg 41Mg H o = ; V o = Mg 4Mg H = ; V = Ω Ω Disco Disco = = 2ω k ω k α Disco 2 = 2 3ω k α = 2 3ω k Disco f 2 f MgL 2 P MgL f 1 f 1 1 L V reducida & 2 1 ML 2 ML T θ & ϕ + & ϕ & reducida = ML g ω = 5 ± 19 L = ( MgL) θ + Mg ϕ 2. ( ) θ 3. ( )

39 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL PRIMER EJERCICI. TIEMP: 40 Elegir sólo 2 de las 3 preguntas: 4. Tensor axil de inercia. 5. Teorema de Köenig de la energía. 6. ngulos de Euler.

40 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL SEGUND EJERCICI. TIEMP:40 Una barra de masa M y longitud 3L soporta una masa puntual M, no existiendo rozamiento entre ambas. El sistema está en equilibrio mediante el muelle ideal C de constante K y la barra rígida D, observándose que ésta soporta un esfuerzo de magnitud Mg. Determinar: 1. El valor de la constante K en el equilibrio. (2 puntos) 2. La reacción entre la masa puntual y la barra en el instante subsiguiente al de eliminar la barra D. (8 puntos) D L L/2 L K Lo=0 M M, 3L C

41 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL TERCER EJERCICI. TIEMP: 45 Una placa triangular de masa M y espesor despreciable, está soldada a un eje vertical y a una barra CD de masa M y longitud 2 2L como se indica en la figura. Todo el sistema está contenido en un plano vertical que gira con velocidad angular constante ω alrededor del eje vertical. Se pide calcular: 1. Reacciones en los apoyos. (6 puntos) 2. Equilibrar el sistema con una masa de valor m=m/2, dando sus coordenadas. (4 puntos) z D L 2L ω 45º y L L C L

42 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL CURT EJERCICI. TIEMP: 45' El centro C de un disco de radio R avanza por el eje X con velocidad v constante. El extremo de una barra desciende por el eje Y. La barra es siempre tangente al disco, no hay deslizamiento entre ambos, y la rotación de la barra respecto al sistema XY es ω = v/r, constante. En el instante en que la barra es paralela al eje X, la distancia C vale L. Determinar para dicho instante: 1. Velocidad angular del disco respecto al sistema XY (3 puntos). 2. Velocidad angular del disco respecto a la barra (1 punto). 3. celeración angular del disco respecto al sistema XY (6 puntos). Y r ω = v r R k 90º C R v X

43 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL QUINT EJERCICI. TIEMP: 40' Una circunferencia de alambre de centro y radio R puede rodar sin deslizar sobre un suelo plano S. es un diámetro fijo de la circunferencia a lo largo del cual puede deslizar una masa M unida a los extremos y del diámetro mediante dos muelles iguales de longitud natural R y de constante elástica K=Mg/R. Definir las posiciones de equilibrio estable. K K M

44 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL PRIMER EJERCICI. TIEMP: 50' x 2 x 2 x 1. Deducir a partir de las siguientes ecuaciones y = αch, ch sh = 1 α α α las expresiones de la longitud y la tensión de la catenaria (2 puntos). 2. En un sólido con movimiento plano de velocidad angular constante 5 rad/s, el centro instantáneo de rotación tiene una aceleración cuyo módulo vale 20 m/s 2. Cuánto valdrá el módulo de dicha aceleración si el sólido se mueve con velocidad angular de 5 rad/s y aceleración angular de 2 rad/s 2, si el centro instantáneo de rotación es el mismo? (1 punto). 3. Definir componente de pivotamiento y Z rodadura de la velocidad angular relativa entre dos sólidos. Calcularlas 45º en el ejemplo siguiente para el contacto C sin deslizamiento entre los sólidos 1 y 2 de velocidad angular absoluta, 1 = Ω ω k y Ω 2 (2 puntos). 4. Calcular gráficamente la velocidad absoluta de M (1 punto). = ω i + 2ω k 1 V X 2 Y 45º L/2 Y M L/2 5. En las siguientes figuras calcular el valor de la fuerza de rozamiento indicando si existe equilibrio o no. (1 punto) X Mg f=1/2 Mg 30º f=1/2 6. Enunciar las condiciones de equilibrado estático y dinámico de rotores. (1 punto) 7. Definición del coeficiente de restitución de Newton en la dinámica de percusiones. (2 puntos)

45 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL SEGUND EJERCICI. TIEMP: 40' Una barra de masa M y longitud 3L soporta una masa puntual M, no existiendo rozamiento entre ambas. El sistema está en equilibrio mediante el muelle ideal C de constante K y la barra rígida D, observándose que ésta soporta un esfuerzo de magnitud Mg. Determinar: 1. El valor de la constante K en el equilibrio.(2 puntos) 2. La reacción entre la masa puntual y la barra en el instante subsiguiente al de eliminar la barra D. (8 puntos) D L L/2 L K Lo=0 M M, 3L C

46 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL TERCER EJERCICI. TIEMP: 40' Un disco de radio R rueda sin deslizar sobre un suelo plano y la velocidad de su centro es V constante. Una barra de longitud 4R está articulada al disco en y su extremo recorre el suelo. En está articulada otra barra C en cuyo extremo C se articula la barra CD que puede girar alrededor del extremo D fijo. La longitud de la barra CD es 2R. Determinar en la posición que se muestra en la figura: 1. Velocidad angular de la barra CD. (3 puntos) 2. celeración angular de la barra CD. (7 puntos) V 4R R 3 R 30º 90º 60º 4 3 C 2R D

47 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL CURT EJERCICI. TIEMP: 45' El bloque rectangular de la figura tiene una masa de 5M y dos ruedas de radio R articuladas en los vértices y. La rueda 1 tiene una masa M y un par aplicado de valor P = 2MgR en el sentido indicado en la figura. La rueda 2 tiene una masa despreciable. El conjunto está situado sobre una rampa de 45º de inclinación. Para que el conjunto se encuentre en equilibrio estricto, qué valor mínimo del coeficiente de fricción es preciso, y con qué tensión hay que tirar del cable anclado en C al bloque? T P M C 4R 1 5Mg 3 2R 45º 2

48 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL QUINT EJERCICI. TIEMP: 45' Una placa triangular de masa M y espesor despreciable, está soldada a un eje vertical y a una barra CD de masa M y longitud 2 2L como se indica en la figura. Todo el sistema está contenido en un plano vertical que gira con velocidad angular constante ω alrededor del eje vertical. Se pide calcular: 1. Reacciones en los apoyos. (6 puntos) 2. Equilibrar el sistema con una masa de valor m=m/2, dando sus coordenadas. (4 puntos) z D L 2L ω 45º y L L C L

49 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL PRIMER EJERCICI. TIEMP: 50' 1. Ecuaciones de Euler (2 puntos). 2. Determinar el par necesario para que el disco de masa M esté en equilibrio (1 M punto). 30º f = Indicar cuáles son el eje instantáneo de rotación y deslizamiento y los axoides fijo y móvil en el movimiento relativo entre el cono 2 y el 1, si entre ambos no hay deslizamiento (1 punto) Indicar, si el disco rueda sin deslizar, cuál de los siguientes movimientos corresponde al de la barra y por qué (1 punto): a) Rotación instantánea. b) Traslación instantánea c) Rotación permanente d) Traslación permanente. V R I 30º 5. Cálculo del momento cinético de un sólido con punto fijo (2 puntos). 6. Comprobar si es posible que los puntos (1,0,0), (0,1,0) y C(0,0,1) de un sólido r r r r r r r r rígido tengan las siguientes velocidades: V = 2i + j, V = i k, VC = j 2k (1 punto). 7. Dos sólidos S 1 y S 2 animados de movimiento plano tienen las siguientes velocidades r r r r 2 angulares: ω 1 = 3tk, ω2 = ( 3t + 1) k, respectivamente. Calcular la aceleración angular relativa del sólido S 2 respecto al S 1. (2 puntos)

50 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL SEGUND EJERCICI. TIEMP: 50' El sistema de la figura consta de: un cono 1 de semiángulo en el vértice de 30º gira a velocidad angular 3 ω constante alrededor de un eje fijo; un tronco de cono 2 de eje vertical fijo y semiángulo 60º que en el contacto con el cono 1 no tiene deslizamiento; y un cilindro interior fijo de radio R. Si entre el tronco de cono 2, el cilindro interior, y el suelo se sitúa una esfera de radio R no existiendo deslizamiento en los puntos de contacto,, y D. Calcular: 1. Velocidad angular del sólido 2. (1 punto) 2. Velocidad angular y eje instantáneo de rotación de la esfera. (3 puntos) 3. celeración angular del sólido 2 y de la esfera. (3 puntos) 4. celeración del centro de la esfera. (1 punto) 5. celeración del punto de la esfera. (2 puntos) Z 1 30º 3ω 1 X R C 3R 3 D Y 4 2 3R E

51 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL TERCER EJERCICI. TIEMP: 45' La barra, de masa M y longitud L, está rígidamente unida al disco de masa M y radio L/4. El centro del disco, está unido a un muelle de constante elástica 4Mg/L y longitud sin tensión L. Sobre la barra hay una deslizadera de masa M que está unida a su vez a un muelle de constante elástica Mg/L y longitud sin tensión L cuyo otro extremo se encuentra en el punto de la barra. El disco rueda sin deslizar sobre un suelo horizontal. Se pide: 1. btener la posición de equilibrio estable vertical. (3 puntos) 2. En esa posición obtener la energía cinética y potencial reducida. (4 puntos) 3. Calcular las frecuencias naturales del sistema. (3 puntos) L M R= L/4 K = 4Mg/L Lo= L M, L M K= Mg/L Lo= L

52 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL CURT EJERCICI. TIEMP: 45' Dos barras iguales y CD de masa M y longitud L están articuladas a los puntos fijos y D respectivamente, el extremo C de la barra CD está en contacto con el punto medio de la barra y el punto medio E de la barra CD está unido a un extremo del resorte ideal EF de constante elástica K. Sabiendo que en C existe rozamiento al deslizamiento de valor f y que la longitud del resorte es L, calcular: 1. Módulo de la fuerza de rozamiento en C, en el supuesto de que para que el sistema esté en equilibrio. (4 puntos) 3Mg K = y L 2. Valores mínimo y máximo de K para que el sistema esté en equilibrio, si el coeficiente de rozamiento al deslizamiento vale 1 f =. (4 puntos) 2 1 f =, 2 3. Valor mínimo de f necesario para que el sistema esté en equilibrio si se sustituye el resorte por un hilo. (2 puntos) C E 45º 45º 45º D F

53 MECNIC FUNDMENTL. EXMEN FINL QUINT EJERCICI. TIEMP: 40' El sistema de la figura está situado en el plano vertical y constituido por dos barras iguales de masa M y longitud L articuladas en y posicionadas como se indica en la figura, un disco de masa M y radio R y un muelle de longitud sin tensión L 0 y constante K cuyos extremos están unidos al suelo y al punto medio E de la barra. Se lanza el disco contra la barra y se produce un choque elástico y sin rozamiento en el extremo de dicha barra. En el instante anterior al choque, el disco posee una velocidad angular conocida ω r y la velocidad de su centro de gravedad es vertical, conocida y de valor v. Determinar, inmediatamente después del choque: 1. Energía cinética del sistema constituido por las barras, el muelle y el disco (1 punto). 2. Velocidad angular del disco (1 punto). 3. Velocidad angular de las barras y (8 puntos). ω E C 45º v K,Lo D