PROBLEMAS DE MECÁNICA

Transcripción

1 PROLEMS DE MECÁNIC CLCULO VECTORIL 1. Dados los vectores a = 12 i 5 j + 9 k y b = 3 i + 7 k, calcular: a) Su producto escalar a. b. Sol: 99 b) Su producto vectorial a x b. Sol: -35 i - 67 j + 15 k 2. Dados los vectores a = 3 i - j + 2 k y b = i + 5 j k, calcular : a) Producto escalar. Sol: - 4 b) Producto vectorial de a x b y b x a. Sol: ± ( 9 i 5 j 16 k ) c) Ángulo que forma a y b. Sol: 101,87º 3. Dado el vector deslizante a = i 5 j + 3 k, cuya línea de acción pasa por el punto de coordenadas (3,2,1), hallar: a) Su momento respecto al origen de coordenadas. Sol: 11 i - 8 j 17 k b) Su momento respecto al punto (2, -4, 1).Sol: i + 6 j + 2 k 4. Dados los vectores a = 3 i + 15 j 8 k, cuya línea de acción pasa por el punto P de coordenadas (-4,5,-6), hallar: a) Su momento respecto al origen de coordenadas. Sol: 50 i - 50 j 75 k b) Su momento respecto al punto (3,-1,-1). Sol: 27 i 71 j 123 k c) Su momento respecto a la recta X= Y = 0. Sol: Dados los vectores a = 3 i 6 j y b = 4 i + j, hallar: a) Cosenos directores del vector a. Sol: 0 45, b) Producto escalar a. b y producto vectorial a x b. Sol: 6 y 27 k c) Proyección de a sobre la dirección de b. Sol: Dado el vector deslizante v = 12 i + 16 j cuya línea de acción pasa por el punto de coordenadas (1,2,1), determinar: a) Módulo y cosenos directores de v. Sol: 20, 3/5, 4/5. b) Momento del vector v respecto al origen de coordenadas. Sol: - 16 i + 12 j 8 k c) Momento de v respecto al punto (2,1,0). Sol: - 16 i + 12 j 28 k ESTÁTIC 1. Un bloque de masa kg, cuelga de dos cables C y C en la posición indicada en la fig. Calcular la tensión de cada cable, expresada en newton. Sol: N 45º C 45º

2 2. Determinar la tensión T en cada uno de los cables de las cuerdas de las figuras, cuando se suspende un cuerpo de 200 N en a) y b) y uno de 100 N en c) y d) a) b) 45º 30º 44º c) d) 58º 32º 48º 60º Sol:a) 146,4 N, 179,3 N; b) 287,9 N, 207,1 N c) 84,8 N, 52,98 N d) 280,25 N, 216,5 N 3. Determinar las fuerzas que la viga O y la cuerda ejercen en O ; a) suponiendo que la viga y la cuerda tienen pesos despreciables y solamente dependen del peso que cuelga M = 500 N, b) Si la viga pesa 250 N, encontrar la reacción en O. 1) 2) 3) 46º 58º 32º O O 32º 58º M O M M Sol: 1 a) 719,7 N, 517,76N, α =0º 2)a)264, 424,03 N, α=58º 3)a)962,27N, 604,35 N,α=328º b)899,7n, 659,1 N, α =10,93º b)331,2 N, 639,5 N, α=63,95º b) N, 697,3N,α=337º 4. De un cable de acero pende un peso P de N como se muestra en la figura. a) Hallar la tensión T del cable, sabiendo que dicho peso se mantiene en la T posición indicada mediante una fuerza horizontal de N. b) Si la longitud del cable es de 65 cm, determinar la fuerza F horizontal que es necesaria aplicar para que el peso se mantenga a una distancia de 25 cm de la vertical que pasa por el punto de suspensión Sol:a)3354 N,(α=116,56º con OX+), b)1250 N P

3 4. Una barra rígida de 12 m de longitud y 65 kg de masa, se apoya, con coeficiente de rozamiento estático µ (desconocido) sobre un suelo horizontal en el punto, permaneciendo en equilibrio en la posición indicada en la figura (60º con el suelo). Determinar el valor mínimo del coeficiente de rozamiento entre La escalera y el suelo para que se mantenga en equilibrio. 60º Sol: 0,28 5. Una escalera está apoyada a una pared vertical sin rozamiento. Calcula las reacciones en los apoyos si la escalera mide 20 m y pesa 10 kg. El coeficiente estático de rozamiento entre el suelo y la escalera es de 0,25. Sol: 2,89 kp, 2,89 kp, 10,41 kp, α=73,9º 6. El bloque de la figura tiene una masa de kg, se apoya sobre un suelo horizontal, con coeficiente de rozamiento F estático µ=0,25.determinar el valor mínimo de la fuerza F, 60º aplicada en la dirección indicada, para que el cuerpo comience a deslizar. (Expresar el resultado en newton). Sol: F> N 7. La barra de la fig, de 12 m y 200 N de peso se encuentra apoyada sin rozamiento a una pared vertical en el punto y al suelo horizontal en, soportando en un punto situado a 3m de una carga vertical de 600 N, permaneciendo en equilibrio en la posición indicada (formando 60º con el suelo) mediante la aplicación de una fuerza horizontal F, en el punto. a) Calcula el valor de la fuerza F, para que la barra esté en equilibrio. 60º b) Determinar las reacciones en y Sol: a) 317,6N, b) 317,6 N y 800 N 8. El pescante de la figura es homogéneo y pesa 500 N. Halla la tensión del cable y la fuerza ejercida sobre el pescante en su extremo inferior. El peso del cuerpo es de 100 N. Sol: 202,7 N, 633,11N, α= 108,6º 9. El extremo inferior de una escalera se apoya en el vértice de la pared y el piso, como representa la figura. El extremo superior está unido a la pared por medio de una cuerda horizontal de 9 m de longitud. La escalera tiene una longitud de 15 m y pesa 500 N y su centro de gravedad se encuentra ubicado a 6 m de su extremo inferior. Calcular la tensión en la cuerda cuando un hombre de 735 N de peso se encuentra a una distancia de 3 m del extremo inferior. Sol: 591 N. 10. Hallar la reacción de la pared en el punto de apoyo y la tensión de la cuerda para el sistema de fuerzas de la figura adjunta. La longitud de la viga es de 4 m y su peso de 100N. Sol: 694,7 N, α= 149,2º, 689,4 N. 8) 9) 10) 9 m 60º 40º 15 m 200 N 2m 2m 60º 400N

4 ESTRUCTURS RTICULDS ISOSTÁTICS 1. Para la estructura articulada isostática representada en la figura, en que las fuerzas aplicadas vienen dadas en kg. Fuerza se pide: a) Determinar las reacciones en el apoyo y la articulación b) Calcular, por el método de los nudos, el esfuerzo de tracción o compresión a que se ve sometida cada barra. (Dar resultados en kg.fuerza) Sol: R D = kg, R E ( , 8.000) 8.000kg arra : kg C arra C: kg T kg arra D: kg C 4.000kg arra E: kg C arra DE: kg C 4m arra DC: kg C arra C : 8.000Kg C C 4m D 4m E 2 Para la estructura articulada isostática representada en la figura en que las fuerzas aplicadas vienen dadas en kg. fuerza, y sabiendo que todas las barras son de igual longitud, se pide: a) Determinar las reacciones en el apoyo y en la articulación b) Determinar por el método de los nudos el esfuerzo de tracción o compresión a que se ve sometida cada barra, expresando los resultados en kg.fuerza Sol: R C = 150 kp, R E = 1050 kp. 600 kg 600 kg arra : 867 kg C 1039 kg arra C: 174 kg C arra D: 516 kg C arra CD:1.125kg T arra D: 520 kg T arra E: 1.214kg C C E arra DE: 607 kg T D 3. Para la estructura articulada isostática representada en la figura, en que las fuerzas aplicadas vienen dadas en kg. Fuerza se pide: c) Determinar las reacciones en el apoyo y la articulación d) Calcular, por el método de los nudos, el esfuerzo de tracción o compresión a que se ve sometida cada barra. (Dar resultados en kg.fuerza) Sol: R E = kg, R c =(-2.000,-3.000) 2.000kg arra : kg C arra D: kg C kg arra D: kg T 4.000kg arra E: kg C arra DE: kg T 2 m arra DC: kg T arra C : 3.000Kg T C 2m D 2 m E

5 4. Para la estructura articulada isostática representada en la figura en que las fuerzas aplicadas vienen dadas en kg. fuerza, y sabiendo que todas las barras son de igual longitud(4,5 m), se pide: a) Determinar las reacciones en el apoyo y en la articulación b) Determinar por el método de los nudos el esfuerzo de tracción o compresión a que se ve sometida cada barra, expresando los resultados en kg.fuerza Sol: R C = kp, R E = kp kg arra : kg C arra C: kg C arra D: kg T arra CD: 577 kg T arra D: kg C arra E: 1.155kg C C E arra DE: 577 kg T D 5. Para la estructura articulada isostática representada en la figura en que las fuerzas aplicadas vienen dadas en kg. fuerza, se pide: a) Determinar las reacciones en el apoyo y en la articulación b) Determinar por el método de los nudos el esfuerzo de tracción o compresión a que se ve sometida cada barra, expresando los resultados en kg.fuerza. Sol: R (200, 115,5) kg. R C = 115,5 kg 5 m D arra : 133,5 kg C E 200 kg arra C: 0 arra CD: 115,5 kg T arra DE: 133,3 kg C 5 m 5m 5m arra E: 133,3 kg C 5 m arra E : 133,3 kg T C arra D: 133,3 Kg C 6. Para la estructura articulada isostática representada en la figura en que las fuerzas aplicadas vienen dadas en kg. fuerza, se pide: a) Determinar las reacciones en el apoyo y en la articulación b) Determinar por el método de los nudos el esfuerzo de tracción o compresión a que se ve sometida cada barra, expresando los resultados en kg.fuerza Sol: R = 650 kg, R (- 650,600) kg C D arra : 600 kg T arra C: 650 kg T 1 m 2 m arra E: 350 kg C arra C: 671 kg C 2 m 100 kg arra EC: 671 kg T arra CD: 50 kg T arra ED: 112 kg C 2 m E 500 kg

6 7. Para la estructura articulada isostástica de la figura, articulada en un punto y simplemente apoyada en el otro, en que las fuerzas aplicadas vienen dadas en kf. fuerza, se pide: a) Calcular las reacciones en la articulación y el apoyo. b) Determinar por el método de los nudos el esfuerzo de tracción o compresión a que se ven sometidas las barras y C. Sol: R = kg, R (575, -172 ) kg, (α = 16,7º) arra C: 600 kg (T), arra : 0 kg kg 90º 3 m C 5 m 5 m 8. Para la estructura articulada isostástica de la figura, articulada en un punto y simplemente apoyada en el otro, en que las fuerzas aplicadas vienen dadas en kf. fuerza, y todas las barras son de igual longitud, se pide: a) Calcular las reacciones en la articulación y el apoyo. b) Determinar por el método de los nudos el esfuerzo de tracción o compresión a que se ven sometidas las barras y C Sol: R (0, 250 ) kg, R = 750 kg, arra : 289 kg (C), arra C: 144,5 kg (T) kg C

7 CENTROS DE MS 1. Determinar la posición del Centro de Masas de las superficies plana de las figuras, con respecto a los ejes cartesianos X-Y, sabiendo que las longitudes vienen expresadas en metros. Sol: a) (4 5, 3 75) m, b) (2,2 5) m a) b) Y 3m Y 9 m 6m 9m 9 m 9m X 9 m X 2. Determinar la posición del Centro de Masas de las superficies planas representadas, con respecto al sistema cartesiano X-Y de referencia, sabiendo que las longitudes vienen expresadas en metros. Sol: a) (5 15, 3 15) m, b) (0, 1 5) m a) b) Y 6m Y 7 m 3m 7 6m 7 m X 6m X 3. Determinar la posición del Centro de Masas de las figuras planas y homogéneas de los dibujos, con relación a los ejes cartesianos X e Y, sabiendo que las medidas vienen en metros. Sol: a) (8 96,3 41) m, b) (7,2 67) m, c) (3 94,2 85) m, d) (- R/6, 0) a) b) Y Y 6m 8m 9m 6m X 6 m 9 m X c) Y d) Y 4 m 6m R X 4 m 4m

8 VIGS ISOSTÁTICS 1. La viga de la figura, está apoyada en un punto y simplemente articulada en otro y sometida a dos cargas puntuales de los valores (expresados en kg. f ) especificados en la figura. a) Calcular las reacciones en el apoyo simple y la articulación. b) Dibujar los diagramas de Fuerzas Cortantes y Momentos Flectores. Sol: a) R = 800 kg, R = 800 Kg. 800 kg 800 kg 4 m 4m 4 m V (kg) ( ) 4 ( +) M (kg.m) ( - ) La viga de la figura, está apoyada en un punto y simplemente articulada en otro y sometida a dos cargas puntuales de los valores (expresados en kg. f ) especificados en la figura. a) Calcular las reacciones en el apoyo simple y la articulación. b) Dibujar los diagramas de Fuerzas Cortantes y Momentos Flectores. Sol: R = kp, R = Kp 1000 kg kg 3m 4 m 3 m

9 V (kg) (+) (-) X(m) ( + ) M (Kg.m) 3. Para la viga empotrada de la figura, en que las fuerzas vienen expresadas en kg.fuerza, se pide: a) Determinar las reacciones en el empotramiento b) Dibujar los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores. Sol: M E = kg.m, R(0,3.000) kg kg kg 8 m 8 m V (kg) (+) M (kg.m) (-) 8 16

10 4. Para la viga empotrada de la figura, sometida a dos cargas puntuales iguales de kg de fuerza en su extremo y su punto medio, se pide: a) Determinar las reacciones en el empotramiento b) Dibujar los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores. Sol: M E = kg.m, R(0,5.000) kg kg kg 4m 4 m V (kg) (-) 4 8 ( - ) M (kg.m) (-) (-) La viga isostática representada, apoyada en el punto y articulada en el, soporta dos cargas verticales de 800 y kg fuerza en los puntos que se observa en la figura: a) Determinar las reacciones en la articulación y el apoyo b) Dibujar los diagramas de Fuerzas Cortantes y Momentos Flectores. Sol: R = kg, R = kg. 800 kg kg 3 m 4 m 3 m

11 1.040 V (kg) 240 (+) 7 10 ( +) X(m ) 3 (-) (+) M (kg.m) 6. La viga isostática representada, apoyada en el punto y articulada en, soporta dos cargas verticales de 800 y kg. fuerza en los puntos que se observa en la figura: a) Determinar las reacciones en la articulación y el apoyo b) Dibujar los diagramas de Fuerzas Cortantes y Momentos Flectores. Sol: R = kg, R = kg. 300 kg 300 kg 3m 3 m 4 m (+) (-) 3 6 (-) (-) M (kg.m)

12 CINEMÁTIC 1. El vector de posición de un punto móvil viene dado en función del tiempo por el vector de posición r = 12 t i + 8 t 2 j 24 k, donde las longitudes vienen expresadas en metros y el tiempo en segundos. a) Hallar los vectores velocidad y aceleración en función del tiempo b) Vectores velocidad y aceleración en el instante inicial (t = 0 seg) c) Módulos de las aceleraciones tangencial y normal para t = 0 seg. Sol: a) v = 12 i + 16 t j m/s; a = 16 j m/s 2 ; b) v = 12 I m/s, a = 16 j m/s 2 ; c) a t = 0 y a n = 16 m/s 2 2. El vector de posición de un punto móvil viene dado, en función del tiempo por el vector de posición r = 36 t i + 24 t 2 j 72 k, donde las longitudes vienen expresadas en metros y el tiempo en segundos. a) Hallar los vectores velocidad y aceleración en función del tiempo. b) Vectores velocidad y aceleración en el instante inicial ( t= 0 seg) c) Módulos de las aceleraciones tangencial y normal para t= 0 seg. Sol: v = 36 i + 48 t j m/s, a = 48 j m/s 2 ; b) v = 36 i m/s, a = 48 j m/s 2 ; c) a t = 0 y a n = 48 m/s 2 3. El vector de posición de un punto móvil viene dado, en función del tiempo por el vector de posición r = ( t 2 2 t) i + ( 5 t + 6 ) j, donde las longitudes vienen expresadas en metros y el tiempo en segundos. a) Hallar los vectores velocidad y aceleración en función del tiempo. b) Para t= 1 seg, determinar los módulos de las aceleraciones tangencial y normal c) En el mismo instante ( t= 1 seg.) calcular el radio de curvatura Sol: a) v = ( 2 t 2) i + 5 j m/s, a = 2 i m/s 2 ; b) a t = 0 y a n = 2 m/s 2 ; c) R =12, 5 m. 4. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba, con velocidad inicial de 60 m/s. Tomando como aceleración de la gravedad g = 10 m/s 2, se pide calcular: a) Tiempo que tarda en alcanzar la máxima altura. b) ltura máxima alcanzada expresada en metros. c) Velocidad del cuerpo, en valor absoluto, cuando se encuentra en el punto medio del recorrido ascendente o descendente. Sol: a) 6 seg ; b) 180 m ; c) 42,43 m/s. 5. El sistema biela- manivela de la figura está formado por dos barras y C, ambas de 16 m de longitud, articuladas entre sí en el punto, mientras el punto permanece fijo y el C se desplaza horizontalmente. La barra gira alrededor de en el sentido indicado (contrario a las agujas del reloj),con velocidad angular constante ω = 5 rad/seg. En el instante representado en que ambas barras forman un ángulo de 30º con la horizontal, se pide determinar: a) Velocidad del punto b) Posición del CIR de la barra C (sus coordenadas respecto a los ejes X-Y ) c) Velocidad del punto C Sol: a) 80 m/s, b) (27 68, 8) m, c) 80 m/s Y 16 m 16 m 30º 30º C X

13 6. En el sistema representado en la fig, la barra tiene una longitud de 10 cm, se pide: a) Posición del CIR, tomando el punto como origen b) La velocidad de c) La velocidad angular de la barra Sol: a) (0 05, 0) m, b) 3 m/s, c) 20 rad/s 7. Una barra rígida de a2 m de longitud, se mueve de forma que su extremo desliza por una pared vertical, mientras el se mueve a lo largo de un suelo horizontal con velocidad angular constante ω= 8 rad/ seg. En el instante representado, en que la barra forma un ángulo de 30º con el suelo, se pide: a) Determinar las coordenadas del CIR, referidas a los ejes X_Y coincidentes con la pared y el suelo. b) Velocidad en ese instante del punto. c) Velocidad del punto. Sol: a) (10,39, 6)m,b) 83,14 m/s, c) 48 m/s. 6) Y 7) v =1 m/s Y 30º X 30º X 8. El sistema biela-manivela de la figura está formado por dos barras de 8 m y C de 12 m de longitud, articuladas entre sí en el punto, mientras el punto permanece fijo y el C se desplaza horizontalmente. La barra gira alrededor de en el sentido indicado (el de las agujas del reloj), con velocidad angular constante ω = rad/s. En el instante representado en que la barra forma un ángulo de 30º con la horizontal, se pide: a) velocidad del punto. b) Posición del CIR de la barra C. c) Velocidad del punto C. Sol: a) 80 m/s ; b) (18 24, 10 53) m, c) 64,7 m/s 8 m 12 m C 30º X

14 DINÁMIC DEL SÓLIDO RÍGIDO 1. El bloque de la figura de kg de masa, se apoya sobre el suelo, con coeficiente de rozamiento dinámico µ = 0,4 y se mueve, partiendo del reposo, por la acción de una fuerza de N que forma 30º con la horizontal. a) Calcular la aceleración de dicho bloque. b) Su velocidad al cabo de 8 seg. F c) Espacio recorrido en ese tiempo. 30º Sol: a) 1,36 m/s, b) 10,88 m/s, c) 43,52 m. 2. Un bloque de 16 kg de masa se apoya, con coeficiente de rozamiento estático µ= 0,25 sobre un plano inclinado 30º y de 12 m de longitud, encontrándose inicialmente en reposo en el punto más alto del plano (punto ). a) Determinar la aceleración con que cae el bloque b) Tiempo que tarda en llegar a la base del plano (punto ) c) Velocidad con la que llega a dicho punto. Sol: a) 2 8 m/s 2 b) 2,93 seg, c) 8,2 m/s mm 30º 3. Un bloque de 5 kg de masa se apoya, con coeficiente de rozamiento estático µ= 0,3 sobre un plano inclinado 30º con la horizontal y de él tira, según se observa en la figura otro bloque de peso P (expresados en Newtons). través de un hilo que pasa por una polea sin rozamiento en. a) Determinar el valor mínimo de P para que el bloque P esté en equilibrio b) Valor máximo de P para conseguir igualmente que el bloque permanezca en equilibrio = 5 kg P 30º Sol: a) P>11,95 N, b) P<38,05 N

15 4. Se desea subir un bloque de 60 kg de masa por un plano inclinado, de 8 m de longitud, para lo cual se aplica una fuerza de 500 N en la dirección del plano. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque y el plano es µ= 0,2, se pide determinar: a) celeración con que sube el bloque. b) Tiempo que tarda enllegar al punto c) Velocidad con la que llega a dicho punto. F 30º Sol: a) 1,6 m/s 2, b) 5,06 s, c) 8,09 m/s 5. La polea de la figura de 35 kg de masa y 1,20 m de radio, de la que cuelga una masa de 600 kg, puede girar libremente alrededor de su eje. Sabiendo que el momento de inercia de la polea respecto a su eje es M.R 2 /2, se pide: a) Calcular la aceleración lineal con que cae el bloque de 600 kg de masa b) Tiempo que tarda en llegar al suelo, sabiendo que parte de una altura de 15 m. Sol: a) 9,7 m/s 2, b) 1,76 seg. 6. Una polea doble, de momento de inercia 0,6 kg.m 2, está formada por dos poleas concéntricas y solidarias de 4 cm y 8 cm. En cada una de ellas hay una cuerda sin masa enrollada de la que cuelgan masa de 60 y 40 kg respectivamente. Calcular: a) la aceleración angular del sistema b) Las tensiones de ambas cuerdas. Sol: a) 8,24 rad/s, b) 365,65 N y 607,76 N. 5) 6) 7. Dado el dispositivo de la figura en el que la polea puede considerarse como un disco de 2 kg de masa y 50 cm de radio,calcular la aceleración del sistema y las tensiones de la cuerda. Suponer que no hay rozamientos. Sol: 1,63 m/s 2 ; 8,17 N; 6,53 N 4 kg 1 kg

16 MECÁNIC DE FLUIDOS 1. El depósito de la figura, de 4 m de alto, que está lleno totalmente, contiene un aceite de densidad relativa ρ = 0,85. Se pide determinar la presión en los puntos ( situado a 1,5 m de la superficie) y (en el fondo del recipiente). Sol: Pa y Pa. 2. Una esfera maciza, flota en un depósito que contiene agua y aceite (de densidad relativa 0,8) de forma que las tres cuartas partes de su volumen están en el aceite mientras que una cuarta parte queda sumergida en el agua. Hallar el valor de la densidad relativa del material del que está compuesta la esfera. Sol: 0,85. 1) 2) 1,5 m 4 m aceite agua ρ = 0,1 3. Un cubo de madera de 1 m de lado, de densidad relativa 0,6, flota en un deposito con agua. Determinar el peso P, expresado en newtons, que habrá que colocar sobre el cubo de madera, de forma que este quede flotando a ras del agua, tal como se indica en la figura. Sol: N. 4. Un depósito de agua de 1,8 m de altura que se mantiene prácticamente constante, descarga por el fondo, a través de un grifo de sección circular de 4 cm de diámetro. a) Determinar la velocidad con que sale el agua por dicho grifo. b) Caudal de salida, expresado en litros/seg. Sol: a) 5,94 m/s, b) 7,4 l/s. 3) 4) P 1 8 m

17 5. Por la tubería de la figura, que comienza con una sección circular de 0,5 m de diámetro (sección ) y sufre un estrechamiento hasta pasar a 0,25 m de diámetro (sección ), circula un caudal de agua de 300 litros/seg, de manera que la presión en la entrada es de 1,2 atmósferas. Se pide: a) Velocidad media del líquido en la sección. b) Velocidad media del líquido en la sección. c) Si la presión de entrada (en ) es de 1,2 atm, aplicando la ecuación de ernouilli, determinar la presión en, expresada en pascales. Sol: a) 1,53 m/s, b) 6,11 m/s c) N/m 2 0,25 m Q Q 0,5 m