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4 > Ecuación de Transformación para la Deformación Plana. Relaciona el tensor de deformaciones de un punto con la medida de una galga en ese punto con un ángulo φ del eje x. ε n = ε x + ε y 2 Centro del Círculo de Mohr ε 1 x 2 γ xy (ε) = ( 1 2 γ ) xy ε y ε normal + ε x ε y 2 Radio del Círculo cos2φ γ xy sen2φ 2 φ = 2 φ + 2 α 2 α: ángulo del estado de deformaciones frente a las dir. principales γ xy = 0 φ = φ > Fórmula de Jouravsky (Esfuerzo cortante en flexión) Expresión general: τ xy = V y S(y) b(y) I z En barras de sección rectangular:τ xy = 3 2 V b h (h2 4y 2 h 2 ) Ejemplo: (σ 1 ) = ( 0 τ xy τ xy 0 ) { τ xy 1 = 3kg/cm 2 τ 2 xy = 1,92kg/cm 2

6 > Ley de Navier La carga en un punto σ x es directamente proporcional a la distancia de la línea neutra y al momento flector, e inversamente proporcional al momento de inercia de la sección en el eje perpendicular Si la flexión no es simétrica, entonces: σ x = M z I z σ x = N A M z y I z Flexión vertical y M y z I y Flexión horizontal > Torsión: Ley de Coulomb Determina las tensiones tangenciales debidas a un torsor aplicado. τ xθ = M T I p Un momento torsor se suele aplicar a barras de sección circular, con lo que r es constante y es el radio o distancia a la línea neutra, y el momento de inercia será: r I p = π 2 (R e 4 R i 4 ) para una barra hueca I = π 4 (R e 4 R i 4 ) no confundir la distancia r de la Ley de Coulomb con la distancia y de la ley de Jouravsky: r es en todo momento una distancia polar, e y una distancia cartesiana. De modo que el lugar geométrico r = 0 es una recta (línea neutra), mientras que y = 0 define un plano horizontal.

7 > Manifestación de tensiones normales y tangenciales según diferentes esfuerzos: en flexión (V, M): { σ max en y max, donde τ = 0 τ max en y = 0, donde σ = 0 Axil (N): { τ = 0 y σ = cte y Se considerarán esfuerzos axiles centrados, de lo contrario puede suceder una flexión o pandeo. Torsión (Mt): { σ = 0 y τ max en r max Cuando el esfuerzo cortante actúa en el centro de esfuerzos cortantes no produce torsión. > Características esenciales de las Leyes y Diagramas de Esfuerzo * En vigas sobre las que solamente existen fuerzas concentradas, el máximo momento flector tiene lugar en el punto de aplicación de una fuerza. * En voladizos, para alcanzar el equilibrio de momentos es necesario que el empotramiento acumule un momento; este par ha de considerarse en la ecuación del momento flector para que cuadren las ecuaciones. El momento flector es máximo en el empotramiento y mínimo en el extremo (salvo que se aplique un momento en el extremo, en cuyo caso el momento es constante en toda la barra). * Un empotramiento no permite giros (Condición de contorno θ = 0) con lo que tiene acumulado un momento flector no nulo si el sistema está sometido a cargas cortantes. Un apoyo que permite giros no puede sufrir un momento flector salvo que se aplique un momento externo. Lo mismo ocurre con las rótulas. * En casos de dimensionamiento de vigas bajo flexo-compresión, un pre-dimensionamiento facilita el proceso. Véase el siguiente ejemplo: Seleccionar un perfil IPE de viga, si el límite σe es de 240 MPa dada una tensión σx: σ x max = A Axil W donde A es una indeterminación de diseño. Considérese Flexionante W W = 83,3 cm 3 ; IPE 160 W x = 109 cm 3 A = 20,1 cm 2 A = 20, W x = σ x = 188,46MPa Tomando σ eq σ x se comprueba que en efecto el perfil IPE 160 es adecuado

8 > Flexión Desviada Un perfil asimétrico sometido a ciertas cargas no sólo va a desplazarse en la dirección de las cargas; también va a sufrir un alabeo en función del valor de los momentos principales y de las direcciones principales de inercia > Estudio de la Tensión de un Punto de un Perfil bajo Flexión Desviada * Estudiar las reacciones y leyes de esfuerzos y trabajar en una sección determinada (por ejemplo, la de mayor momento flector). * Hallar el centro de gravedad. * Hallar las direcciones principales y momentos principales de inercia. 1. Hallar el tensor de inercia 2. Autovalores = momentos principales 3. Autovectores = direcciones principales * Situar los ejes cruzándose en el CDG. Surge el sistema {u,v} Descomponemos el flector en componentes u-v: Mu y Mv. Así pues, todo punto del perfil cumplirá que su tensión es igual a: σ x = M v I v u M u I u u y v son las distancias a los ejes u y v de un punto. Como los ejes u y v constituyen un sistema de referencia cartesiano, es fácil hallar las distancias si hacemos un cambio de sistema de referencia, pues las distancias a los ejes serán las propias coordenadas en componentes cartesianas de ese punto. Nótese que la ecuación implica que σ x es variable dentro de la sección. > Línea Neutra La línea neutra de la sección es el lugar geométrico σ x. Para ello ha de ocurrir que: v M v I v u = M u I u v Este lugar geométrico será por tanto una recta representada por la función: > Tensor de Inercia: u(v) = m v = M u I u v = M u I v v I u M v M v * Momentos de inercia respecto a los ejes: Ix, Iy Descomponer perfiles en áreas simples y utilizar el teorema de Steiner: Iy = ICDG + Área [y - ycdg] ; Ix = ICDG + Área [x - xcdg] * Producto de Inercia Ixy I xy = x y da A y utilizar cuando se precise el teorema de Steiner. I v

9 Ejemplo: Determinar la tensión máxima I y, I z Steiner I y = I z = mm 4 ; I y = I y1 + I y2 = I y1g + A 1 d 1 + I y2g + A 2 d 2 { (15 9,32) = mm (9,32 2,5) = 6074 mm4 I y = I yz = I yzg + A (a b) ; I yzg = yz da y2 z 2 donde a y b representan la distancia a los ejes y - z I yz = 6969 mm I = ( ) A 2 Momentos principales: Direcciones principales: { I I = = I u I II = = I v { η I = (0 707, 0 707) η II = ( 0 707, 0 707) Con estas direcciones principales se puede descomponer el flector Mz en componentes cartesianas del nuevo sistema u,v. Estos flectores obedecen a la ley de Navier en base a los momentos de Inercia principales Iu y Iv.

10 Cambio de Base c45 s45 {y, z} {u, v} ( s45 c45 ) Cambio de coordenadas: P {x,y} = M P {u,v} ; de modo que: P {u,v} = M t P {x,y} Análisis del punto A: { A {x,y}(20 68, 9 32) A {u,v} (8, 21 21) Ejemplo de cambio de coordenadas σ x = M v I v σ xa = s u + M u I u v ; { I u = I I I v = I II ( 21,21) c ,03 = 266MPa Se realiza el mismo desarrollo con los demás puntos. La tensión máxima tiene lugar en C.

11 > Cómo crear una matriz de giro: Expresamos los vectores del primer sistema de referencia en función del nuevo sistema. Cada vector constituye una fila de la matriz. Los vectores son unitarios y sus componentes son senos y cosenos directores. x y z cos 0 sen ( ) sen 0 cos x y z > Traslaciones y cambios de s.d.r. La traslación NO afecta la forma del tensor de tensiones. Tensión en función del sistema de referencia: El tensor σ en un nuevo sistema será: σ = P t σ P > Cálculo de desplazamientos: Método Integral de Maxwell (cargas virtuales) Consiste en obtener el desplazamiento en un punto causado por las cargas de un sistema relacionando los momentos flectores producidos con el conjunto de flectores que produciría una carga virtual unitaria aplicada en el punto que se estudia. δ y = 1 M E I z M z dx z L > Cálculo de desplazamientos: 2º Teorema de Mohr Con él se calcula el valor t12, que corresponde a la distancia vertical del punto 2 a estudiar con la recta tangente a la deformada en el extremo 1 de la viga. En voladizos el giro en el empotramiento es nulo, con lo cual la tangente en el empotramiento es la propia horizontal, lo que nos da directamente el desplazamiento vertical de un punto de manera que t AB = δy. La ventaja es obtener t sin integrar, utilizando el área de los diagramas de flectores y sus centros de gravedad (la distancia horizontal entre los centros de gravedad y el punto a estudiar).

12 > Cómo Calcular el Centro de Esfuerzos Cortantes de un Perfil Delgado * En caso de simetría el CEC se hallará en el eje. * Hallar el momento estático S de todas las secciones, tras lo cual se puede hallar el flujo de distribución de tensiones. Es preciso elegir adecuadamente el punto 0 de origen de momentos, lo cual simplificará el problema. En efecto, si el origen de momentos M0 de una sección coincide con el origen de momentos 0, la distribución de tensiones no genera momento respecto al origen. Con frecuencia se calculará el origen de momentos causado por el flujo de carga de una sección en un punto dado, M0, distinto del origen 0 y alejado del eje de simetría, por lo cual será necesario aplicar la ecuación de la mecánica racional para obtener el momento aplicado respecto a 0. Para el cálculo de momentos se utiliza en todas las secciones la expresión: M 0 = S2 S1 (q ds) r FUERZA DIST { Vz Iy Vy Iz ; q = V I S = τ e donde r es la distancia perpendicular entre sección y origen y q la distribución de esfuerzo como resultado de la tensión tangencial. * Hallar momentos y establecer que: M 0 neto = V CEC CEC

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22 > Perfiles de pared delgada abiertos y cerrados sometidos a torsión libre * Perfil abierto formado por un solo rectángulo: τ = 3 M T S e 2 ; θ = 3 M T S e 3 G donde S es el perímetro externo de la sección (longitud) * Perfil cerrado: τ(s) = M T 2 e(s) A ; θ = M T 4 G A 2 ds e(s) S donde A es la superficie encerrada por la línea media del perfil * Perfil abierto formado por varios rectángulos: τ = 3 M T S i e i 2 ; θ = 3 M T S i e i3 G Secciones circulares: Perfil abierto: τ = 3 M T 2πr e 2 Perfil cerrado: τ = M T 2e πr 2