Elementos básicos de mecánica de

Transcripción

1 Elementos básicos de mecánica de sólidos Ignacio Romero Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid Curso 2015/16

2 1. Tensión

3 El vector tensión Idea de Cauchy. La fuerza, por unidad de área, alrededor de un punto F (x, n t(x, n) = lím S 0 S(x, n) El valor del vector tensión depende tanto del punto donde se evalúa como de la normal a la superficie. Componentes intrínsecas: σ n = t n τ = t 2 σ 2 n Mecánica de sólidos, Resistencia de Materiales. Curso 2015/16 I. Romero 2 / 15

4 El tensor de tensiones Dado un punto x y un sistema de coordenadas XY Z arbitrario, hay un vector tensión en x para cada plano i, j, k. Definimos: σ xx = t(i) i, τ xy = t(i) j, τ xz = t(i) k, τ yx = t(j) i, σ yy = t(j) j, τ yz = t(j) k, τ zx = t(k) i, τ zy = t(k) j, σ zz = t(k) k. Para cualquier plano de normal n que pasa por x σ xx τ xy τ xz t(x, n) = σ(x)n = τ yx σ yy τ yz τ zx τ zy τ zz (Teorema de Cauchy, equilibrio de momentos,...) El tensor σ es simétrico Mecánica de sólidos, Resistencia de Materiales. Curso 2015/16 I. Romero 3 / 15 n x n y n z

5 Diagramas de Mohr Como σ es simétrico tiene tres autovalores reales y tres autovectores ortonormales. Autovalores: tensiones principales. Autovectores: direcciones principales de tensión. Dibujando un diagrama (σ n, τ ) para todo n: 5 Τ 5 Τ n Σn Σn 1 1 Mecánica de sólidos, Resistencia de Materiales. Curso 2015/16 I. Romero 4 / 15

6 2. Deformación

7 Nociones geométricas Un cuerpo deformable puede cambiar de forma de infinitas maneras. Localmente, sólo hay dos modos de deformación. Deformación longitudinal: cuando un segmento diferencial cambia de longitud. Deformación angular: cuando una pareja de vectores diferenciales cambia su ángulo relativo. Q dr u(p ) dr P Q u(q) η η 2 dr 2 dr 1 θ P η 1 dr 2 θ P P dr 1 Mecánica de sólidos, Resistencia de Materiales. Curso 2015/16 I. Romero 5 / 15

8 Medidas de deformación Deformación longitudinal unitaria: dl dl dl Deformación angular: ε(x, η) η s u η cos(θ ) cos(θ) γ(x, η 1, η 2 ) 2η 1 s u η 2 Tensor de deformación: ε(x) u + T u 2 = u x x 1 2 ( uy x + ux y ) 1 2 ( ux y 1 2 ( uz x + ux z ) 1 2 ( uz y + uy x ) 1 2 ( ux z + uz x ) 1 2 ( uy z + uz y ) + uy z ) u z z u y y Mecánica de sólidos, Resistencia de Materiales. Curso 2015/16 I. Romero 6 / 15

9 3. Modelos constitutivos

10 Conceptos básicos En un material cualquiera (sólido o fluido) la deformación ε y la tensión σ tienen una relación constitutiva que diferencia unos de otros. Los sólidos elásticos se distinguen porque el valor de σ depende únicamente de ε en ese mismo instante. Los sólidos inelásticos (elastoplásticos, viscoelásticos) se caracterizan porque σ depende de toda la historia de ε. Mecánica de sólidos, Resistencia de Materiales. Curso 2015/16 I. Romero 7 / 15

11 Elasticidad con G = ε xx = 1 E σ xx ν E (σ yy + σ zz ) ε yy = 1 E σ yy ν E (σ zz + σ xx ) ε zz = 1 E σ zz ν E (σ xx + σ yy ) γ xy = τ xy G γ yz = τ yz G γ zx = τ zx G E 2(1+ν). En notación compacta: ε = 1 + ν E σ ν E tr(σ) Mecánica de sólidos, Resistencia de Materiales. Curso 2015/16 I. Romero 8 / 15

12 Termoelasticidad γ xy = τ xy G γ yz = τ yz G γ zx = τ zx G En notación compacta: ε xx = 1 E σ xx ν E (σ yy + σ zz ) + α T ε yy = 1 E σ yy ν E (σ zz + σ xx ) + α T ε zz = 1 E σ zz ν E (σ xx + σ yy ) + α T ε = 1 + ν E σ ν tr(σ) + α T I E Mecánica de sólidos, Resistencia de Materiales. Curso 2015/16 I. Romero 9 / 15

13 4. Finalización

14 Conceptos básicos Ningún material es elástico para cualquier rango de uso. Presentamos algunos criterios para determinar la finalización del comportamiento elástico, no lo que ocurre después. Utilizamos sólo los que se basan en información, a nivel de punto, en el tensor de tensiones. Mecánica de sólidos, Resistencia de Materiales. Curso 2015/16 I. Romero 10 / 15

15 Criterios de fallo: conceptos básicos Un criterio de fallo es un modelo matemático que indica cuán lejos está un punto material de fallar. Definimos una función f = f(σ) que es negativa en el régimen elástico y cero cuando se produce el fallo. Utilizamos funciones de fallo de la forma siendo σ e el ĺımite elástico. f(σ) = σ eq (σ) σ e Mecánica de sólidos, Resistencia de Materiales. Curso 2015/16 I. Romero 11 / 15

16 Criterio de Tresca Motivación física: movimiento de dislocaciones en metales. Interpretación gráfica: el fallo plástico se produce cuando el círculo de Mohr major tiene un radio σ e /2 Expresión matemática: σ eq = σ I σ III Mecánica de sólidos, Resistencia de Materiales. Curso 2015/16 I. Romero 12 / 15

17 Criterio de von Mises Motivación: energía Expresión matemática: 1 σ eq = 2 ((σ I σ II ) 2 + (σ II σ III ) 2 + (σ III σ I ) 2 ) Mecánica de sólidos, Resistencia de Materiales. Curso 2015/16 I. Romero 13 / 15

18 Criterio de Rankine Motivación materiales frágiles con distinto comportamiento a tracción y compresion. Explicación gráfica: todas las tensiones deben de estar en (σ rc, σ rt ). Expresión matemática: σ eq = máx ( ) σ rt σ I, σ III σ rc Mecánica de sólidos, Resistencia de Materiales. Curso 2015/16 I. Romero 14 / 15

19 Criterio de Mohr-Coulomb Motivación: materiales con respuesta dependiente de la presión Explicación gráfica: recta característica con cohesión y ángulo de friccón. Expresión matemática: σ eq = σ I k σ III, k = σ rt σrc τ (0, C) ψ σ rc σ 3 σ 1 σ rt σ n H Mecánica de sólidos, Resistencia de Materiales. Curso 2015/16 I. Romero 15 / 15