Materiales Compuestos

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1 3 Materiales Compuestos 3.1 Introducción. Este capítulo tiene como objetivo mostrar los conceptos básicos y la terminología utilizada en el estudio de materiales compuestos. La palabra compuesto (del latín compositu) significa de una forma general heterogéneo, artificial, o a nivel técnico, formado por la mezcla de dos o más sustancias. Un material compuesto es un material formado por diversos componentes, exhibiendo múltiples y diferentes dominios de fase (no gaseosos) y por lo menos uno de los dominios de fase es un dominio de fase sólido. Por dominio de fase se entiende una región material con composición química y estado físico uniforme. Un dominio de fase continuo consiste en un único dominio de esta fase en una mezcla heterogénea a través de la cual podemos definir un camino continuo que une todas las zonas fronterizas de los restantes dominios de fase presentes. El dominio de fase continuo es comúnmente llamado en el contexto del material compuesto, matriz. Figura 3.1. Fases materiales de un compuesto. A veces es considerada una fase adicional denominada interfase entre la fase continua y la discontinua, también denominada refuerzo. 3.2 Conceptos Preliminares. Los materiales estructurales se dividen básicamente en cuatro categorías: (i) (ii) (iii) (iv) Metales, Polímeros, Cerámicos, Compuestos. 8

2 9 Materiales Compuestos Los compuestos consisten en la combinación de uno, dos o más materiales de los mencionados anteriormente, con el fin de mejorar las propiedades que tendrían dichos materiales utilizados de manera aislada. Los materiales compuestos presentan buena rigidez, resistencia a la corrosión, bajo peso, buenas propiedades térmicas, mayor vida útil, etc. Esto hace que sea empleado en la industria de la automoción en chasis de vehículos de altas prestaciones, en la industria aeroespacial para aviones militares y civiles, entre otras aplicaciones. Según AIRBUS, el A-380, tiene un 30% de su superficie externa en material compuesto. En la industria deportiva, los materiales compuestos son ampliamente empleados en tenis. golf y componentes para bicicletas. En la construcción civil se emplean en la fabricación de elementos estructurales. La gran mayoría de los compuestos están hechos de dos materiales: la estructura, llamada fibra, y la base, que se conoce como matriz. La fibra es el elemento que mejora las características mecánicas del compuesto, como es la resistencia, rigidez, disminución del peso, entre otros. Las fibras pueden ser cortas, generalmente inyectadas durante el moldeado o bien pueden ser largas, con la longitud definida de acuerdo a la fabricación. También pueden ser continuas o discontinuas, unidireccionales o bidireccionales, trenzadas o con distribución aleatoria. Las fibras más comunes utilizadas son: gafito-carbono, boro, vidrio y aramida (kevlar), La matriz es la responsable de transferir las solicitaciones mecánicas a las fibras además de protegerlas del ambiente externo. Entre las matrices más usadas destacan: las resinas (poliéster y epoxi), las minerales (carbono) y las metálicas (aleaciones de aluminio). Para seleccionar el material es importante conocer la aplicación del material (resistencia mecánica), el coste y la compatibilidad entre la fibra y la matriz (por ejemplo el coeficiente de dilatación térmica de ambos materiales debe ser próximo). Como la definición es bastante completa, los compuestos se caracterizan en tres tipos: (i) Compuestos fibrosos: Consiste en fibra de un material y matriz de otro. La orientación y el número de fibras es la que determina la resistencia mecánica de los compuestos reforzados con fibras. (ii) Compuestos con partículas: Están formados por partículas pequeñas de un material suspendido en una matriz de otro material. (iii) Compuestos laminados: Son compuestos formados por diferentes capas de materiales, incluyendo los dos primeros tipos de compuestos. Será parte del ámbito de aplicación de este trabajo los compuestos laminados formados por fibras unidireccionales, que es el material más ampliamente usado en la industria. La lámina representa el bloque fundamental de la estructura y consiste en fibras envueltas por la matriz. En el caso de fibras unidireccionales, la lámina presenta elevada resistencia y Módulo de Elasticidad en la dirección de la fibra y valores más bajos en la dirección ortogonal a la fibra. El laminado o conjunto de láminas apiladas en diversas direcciones presentará mejor resistencia mecánica y propiedades físicas. A la secuencia de apilamiento de cada una de las láminas se le llama Esquema de Laminación. La orientación de las fibras en varias direcciones y la secuencia de apilamiento de cada una de las láminas optimizarán la resistencia del laminado de acuerdo a la distribución de cargas. Los compuestos laminados presentan la desventaja de la delaminación, que ocurre entre otras cosas debido a la tensión de cizallamiento entre las láminas, especialmente en los bordes del laminado. Por otro lado el mismo proceso de fabricación puede causar delaminación.

3 10 Materiales Compuestos 3.3 Estado de tensiones y deformaciones. Cuando un cuerpo se deforma por la acción de una fuerza externa, un punto P de coordenadas X=(X 1, X 2, X 3 ) se desplazará al punto x=(x 1, x 2, x 3 ), siendo el desplazamiento del dicho punto P igual a. La deformación de un punto puede ser medida a través del tensor de Green-Lagrange, E, cuyas componentes cartesianas vienen expresadas por: (3.1) Mediante la hipótesis de pequeñas deformaciones, podemos considerar despreciables los términos infinitesimales de segundo orden, obteniéndose el tensor de deformaciones infinitesimales ε, cuyas componentes son: ; ; 2 ; 2 2 (3.2) La notación ε y γ, fue introducida por van Kárman. Las deformaciones γ 12, γ 13 y γ 23 son las deformaciones cortantes ingenieriles, γ ij, (i j) pueden ser vista como la deformación angular en el plano ij, mientras que la deformación ε ij, es una media simple de las deformaciones en el plano ij (ver Fig. 3.2). 2 Fig Deformación a cortante ε y deformación a cortante ingenieril γ.

4 11 Materiales Compuestos 3.4 Transformación de coordenadas. Las relaciones constitutivas de un material ortótropo son escritas en términos de componentes de tensión y deformación, que estarán referenciadas a un sistema de coordenadas. Es importante destacar que los compuestos laminados poseen diferentes láminas cuyas fibras estarán orientadas en diferentes ángulos. Dicho esto, normalmente el sistema de coordenadas del material suele ser diferente del sistema de coordenadas del problema. De esta forma es necesario establecer una relación de transformación entre las tensiones y deformaciones para los dos sistemas coordenados. Cuando el plano formado por los ejes x 1 x 2 es paralelo al plano del laminado y la dirección z normal a dicho plano y coincidebte con el eje coordenado del material x 3, tenemos un tipo de transformación especial entre las coordenadas materiales y las coordenadas del problema. Sea xyz las coordenadas de la solución del problema y x 1 x 2 x 3 las coordenadas principales del material, donde x 1 x 2 x 3 se obtiene de la rotación del plano xy un ángulo θ en torno al eje z, ver Fig.3.3. La transformación de coordenadas de un punto cualquiera de un sistema en otro punto del sistema con z=x 3 viene dado por: O en forma inversa, por: 0 0 (3.3) (3.4) Donde [A] representa la matriz de cosenos directores. Dicha matriz es ortogonal, por tanto: [A] T = [A] -1. Fig Sistema de coordenadas global y material. Las relaciones de transformación dadas por las ecuaciones Eqs. (3.3) y (3.4) también son válidas para los vectores unitarios asociados a los sistemas de coordenadas. De esta forma: ê ê ê ê ê ê ê ê ê y (3.5) ê ê ê

5 12 Materiales Compuestos donde {ê 1,ê 2,ê 3 } T son los vectores de la base ortonormal de las coordenadas materiales y {ê x,ê y,ê z } T son las componentes del mismo vector pero en las coordenadas del problema. Observando la Eq. (3.5), las componentes de la matriz de los cosenos directores son obtenidos por el producto interno entre las componentes de vectores ortonormales de ambos sistemas coordenados. Considerando que [σ] es el tensor de tensiones y que sus componentes σ 11, τ 12, τ 13,, σ 33 se representan en el sistema de coordenadas del material, y que las componentes en el sistema de coordenadas del problema sean σ xx, σ yy, σ zz, τ xy, τ xz, τ yz. O sea: σ σ σ σ y σ σ (3.6) σ σ Aplicando la Eq.(3.5) para relacionar las tensiones de un sistema coordenado respecto al otro, se obtiene: σ σ y σ σ (3.7a)(3.7b) Por tanto la Eq.(3.7a) permite computar las componentes de tensión referidas a las coordenadas del laminado en términos de las tensiones de la lámina, en tanto que la Eq.(3.7b) hace lo contrario. Realizando el producto matricial en (3.7a) y (3.7b) y colocando los tensores de tensión en notación vectorial, se tiene: σ σ σ σ σ σ (3.8) o simplemente: La relación inversa de la Eq.(3.8) viene dada por: σ σ (3.9) σ σ σ σ σ σ (3.10) o lo que es lo mismo: σ σ (3.11) Para las deformaciones, el procedimiento de transformación es análogo al realizado con las tensiones, es decir, las expresiones de (3.5) también son válidas: y (3.12a)(3.12b) donde [ε] se refiere al tensor de deformaciones. De esta manera, las deformaciones en el sistema global de coordenadas tiene las componentes ε xx, ε yy, ε zz, γ xy, γ xz, γ yz dadas por:

6 13 Materiales Compuestos ε ε ε ε ε ε (3.13) y, finalmente la relación inversa: ε ε ε ε ε ε (3.14) 3.5 Análisis Mecánico de una Lámina. Para estudiar el comportamiento mecánico de una lámina, que es la estructura básica o fundamental de un laminado, dos hipótesis deben ser consideradas. (i) (ii) La lámina es continua, El comportamiento de la lámina es lineal elástico. Con esto el comportamiento de la lámina será presentado en las próximas secciones en el marco de la micromecánica y la macromecánica Micromecánica de una Lámina. La micromecánica es usada para estimar las propiedades mecánicas de los materiales compuestos a partir de las propiedades conocidas de la fibra y de la matriz. El estudio de las interacciones microscópicas entre los elementos constituyentes de una lámina también se denomina micromecánica. Este análisis es utilizado para hallar las constantes ingenieriles del material compuesto y está basada en las siguientes hipótesis: (i) (ii) (iii) (iv) (v) Unión perfecta entre la fibra y la matriz, Las fibras son paralelas y uniformemente distribuidas en la matriz, La matriz está libre de tensiones residuales, Tanto la matriz como la fibra son isótropas y obedecen a la Ley de Hooke, las cargas son paralelas o transversales a la dirección de las fibras. La técnica más sencilla de homogeneización es la Ley de las Mezclas. Este tipo de métodos sugieren la existencia de un elemento de volumen representativo RVE (Representative Volume Element). Si la dispersión de la fibra es estadísticamente homogénea, cabe pensar en un RVE estadísticamente igual para el compuesto.

7 14 Materiales Compuestos Fibras Matriz Homogeneización Fig Elemento de Volumen Representativo, (RVE). Ley de las Mezclas: La Ley de las Mezclas fue propuesta por Voigt [1889] es la técnica de homogeneización más simple que puede aplicarse en un material compuesto. Consideremos un elemento de volumen V, constituido por fibras y una matriz, y cuyo volumen viene dado por: (3.15) donde los subíndices f y m representan fibra y matriz, respectivamente. De forma análoga, la masa del elemento viene dada por: (3.16) Si ρ m y ρ f son las densidades de fibra y matriz, podemos escribir: (3.17) El cálculo del Módulo de Young Longitudinal E 1 se puede realizar considerando la acción de una fuerza F 1 en la dirección de la fibra, según se observa en la figura siguiente: (3.18) donde σ es la tensión media normal a lo largo de la sección recta A=L 2. Figura 3.5 Elemento sujeto a una fuerza F 1.

8 15 Materiales Compuestos Una parte de la fuerza es transmitida a la fibra y otra a la matriz. Sean A f y A m las áreas de las secciones rectas de la fibra y de la matriz, podemos escribir: y que representa el equilibrio de fuerzas en el elemento. (3.19) Mediante la Ley de Hooke, la tensión normal del elemento σ 1, de las fibras σ f1 y de la matriz σ m1, son expresadas mediante: (3.20) donde E 1, E f1 y E m1 son los Módulos de Young del compuesto, la fibra y la matriz, respectivamente. Sustituyendo se obtiene: También podemos escribir: (3.21) E 2 E fe m E f V m E m V f (3.22a) donde: E f : Módulo de Elasticidad Longitudinal de la fibra, E m : Módulo de Elasticidad Longitudinal de la matriz, ν f : Coeficiente de Poisson de la fibra, ν m : Coeficiente de Poisson de la matriz, V f : Fracción de Volumen de fibras, V m : Fracción de Volumen de matriz, Los Módulos de Elasticidad Transversal vienen dados por: (3.22b)

9 16 Materiales Compuestos G f y G m representan el Módulo de Elasticidad Transversal de la fibra y de la matriz, respectivamente. Otra manera de determinar las constantes ingenieriles E 1, E 2, G 12 y ν 12 es experimentalmente Macromecánica de una Lámina. El término comportamiento macromecánico, se refiere a cuando son consideradas las propiedades mecánicas promedio. Una restricción básica de la teoría es asumir el comportamiento lineal elástico para los materiales tratados. El modelo lineal de comportamiento para una deformación infinitesimal fue introducido por Cauchy [1828] siendo denominada Ley de Hooke generalizada, pudiendo ser enunciada como: donde C ijkl es el tensor de constantes elásticas del material. (3.23) (3.24) Una manera de simplificar la matriz anterior es mediante la notación de Voigt [Voigt, 1928]. La notación de Voigt pretende representar un tensor simétrico reduciendo el orden del mismo. (3.25) 2 Para conservar la norma Kelvin introdujo el factor 2 de manera que representara las contribuciones de a 12 y a 21. Como los tensores de tensiones y deformaciones son simétricos ;, el número de constantes elásticas independientes se reduce a 21. En el caso de un material anisótropo la ecuación anterior puede ser escrita de la forma: o en forma matricial: (3.26) σ σ σ ε ε τ ε τ τ γ γ γ (3.27) Siendo la matriz [C] simétrica, por tanto los términos C ij =C ji :

10 17 Materiales Compuestos σ σ σ ε ε ε τ τ τ γ γ γ (3.28) Para un material anisótropo, se tiene por tanto 21 constantes elásticas independientes: ó (3.29) Para un material monoclínico, es decir 1 plano de simetría, el número de constantes elásticas se reducen a 13. Por ejemplo para un material con simetría en torno al plano 1-2: í 0 0 (3.30) En materiales que poseen dos planos ortogonales de simetría de propiedades del material, existe necesariamente simetría del tercer plano mutuamente ortogonal a los otros dos. En el caso de que esto ocurra, el material posee triple simetría y es llamado ortótropo, el número de constantes elásticas se reduce a 9. La Eq. (3.31) muestra la matriz de constantes elásticas de este material: ó (3.31) Si el material tiene un plano de isotropía, se dice que es transversalmente isótropo y el número de constantes elásticas se reduce a ó (3.32) Para un material isótropo, es decir con infinitos planos de simetría, el número de constantes se reduce a 2.

11 18 Materiales Compuestos ó (3.33) En lo que sigue, este trabajo se referirá a materiales ortótropos, en donde las direcciones principales del material son paralelas a las intersecciones de los tres planos ortogonales de simetría del material. Con esto un material ortótropo posee un sistema de coordenadas en cada punto donde las tensiones normales provocan sólo deformaciones normales y donde las tensiones cortantes provocan sólo deformaciones cortantes en la dirección de la carga. Los coeficientes elásticos de C ij de la Eq. (3.31) se relacionan con las constantes ingenieriles E, i G ij y ν ij mediante: ν ν ; ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ; ν ν ; ν ν (3.34) ; ; Δ1 2 donde E 1, E 2 y E 3 son los módulos de elasticidad longitudinal o de Young en las direcciones principales 1-2-3; G 12, G 23 y G 31 son los módulos de elasticidad transversal de los planos 1-2, 2-3 y 3-1, respectivamente; y ν ij son los coeficientes de Poisson obtenidos de la relación entre la deformación j cuando un elemento diferencial de volumen es cargado sólo en la dirección i (ν ij =-ε j / ε ), i o sea:, 1,2,3 (3.35) La matriz [C] es no singular y por tanto existe su inversa, de manera que se define la Matriz de Flexibilidad [S] = [C] -1, como: (3.36) Para materiales ortótropos esta relación se simplifica mediante:

12 19 Materiales Compuestos (3.37) Los coeficientes S ij en la Eq. (3.20) también son obtenidos a partir de las constantes ingenieriles E, i G ij y ν ij mediante: ; ν ν ν ; ν ν ; ν ; ; ; ; 3.6 Relaciones Constitutivas en EPT. (3.38) El Estado Plano de Tensiones, EPT, se define como aquel en el que cada punto está sometido a tensión en un solo plano. Esto ocurre en sólidos cuya dimensión en la dirección z es muy pequeña. El ejemplo más común es el de una chapa o lámina solicitada en su plano medio, sin cargas actuando perpendicularmente a este plano, Fig Fig Lámina bajo estado plano de tensiones. Bajo este estado, las tensiones σ 11, σ 22 y τ 12 son distintos de cero. Mientras que las tensiones τ 23 y τ 13 son nulas en la superficie media, en tanto que el hecho de que σ 33 =0, no implica la nulidad de ε 33, ya que para una lámina ortótropa:

13 20 Materiales Compuestos El hecho de que τ 23 = τ 13 = 0, implica que: (3.39) 0 (3.40) 0 Con esto, la relación tensión-deformación en estado plano de tensiones se reduce a: (3.41) La Eq. (3.41) puede ser invertida para obtenerse la relación tensión deformación (3.42) donde Q ij son los términos de la matriz de rigidez reducida, cuyos elementos en función de las constantes ingenieriles vienen dados por: (3.43) Es importante observar que la matriz reducida [Q], tiene sólo cuatro constantes independientes del material: E 1, E 2, ν 12 y G 12. Cuando la tensión normal (σ 3 =0), y las tensiones cortantes transversales son consideradas (γ 13 γ 23 0), la ecuación Eq. (3.42) puede ser escrita mediante la siguiente relación constitutiva: Donde Q 44 =C 44 =G 23 y Q 55 =C 55 =G 13. Podemos por tanto escribir: 0 0 (3.44)

14 21 Materiales Compuestos (3.45) Como ya vimos en la sección 3.4, es más interesante para el análisis trabajar con las coordenadas globales del problema. De esta manera, la relación tensión-deformación de una lámina ortótropa bajo EPT en coordenadas globales viene dada por: (3.46a) y donde los términos ij viene dados por: (3.46b) 2Q 2Q Q Q 4Q Q Q 2Q Q Q 2Q 2Q 2Q Q Q 2Q Q Q 2Q Q Q 2Q 2Q Q Q Q Q (3.46c) La matriz [] es llamada matriz de rigidez transformada y está en el sistema global de coordenadas. La Eq. (3.46a) define las tensiones normales y transversales en el plano, mientras que las Eq. (3.46b) define las tensiones transversales fuera del plano. 3.7 Tipos de Laminado. En general los laminados se construyen según determinados patrones de secuencia de láminas, propiedades mecánicas, espesores y orientaciones de las fibras. En este sentido, esta sección representa la terminología relacionada con el esquema de laminación y las condiciones de simetría (simetría, antisimetría y asimetría) de un compuesto laminado. Primeramente, la secuencia de apilamiento de las láminas, también llamado, esquema de laminación, puede ser escrita como [α/ β/γ/ /ω], donde α, β, γ,, ω son las orientaciones en grados de las fibras de la primera capa, segunda capa, etc (ver Fig.3.7). Esta nomenclatura se

15 22 Materiales Compuestos emplea en el caso de láminas que poseen el mismo espesor. En el caso de que esto no suceda, la nomenclatura empleada es: [t 1,α/t 2, β/t 3,γ/ /t N,ω], donde t i se refiere a los espesores de cada una de las láminas. La enumeración de las láminas se realiza de la capa situada más abajo a la capa situada más arriba, es decir en el sentido positivo de z. En términos de la orientación de la fibra de un laminado, el ángulo está comprendido entre -90º y 90º. Cuando sólo existen fibras orientadas a 0º o a 90º, el laminado es llamado cruzado o cross-ply. Por ejemplo [0/90/90/0] es un laminado cruzado con 4 láminas. Por otro lado cuando la fibra tiene cualquier orientación, incluida la mencionada para los laminados cruzados, el laminado puede ser clasificado como angular o angle-ply, como por ejemplo la configuración [-15/30/60/-90]. Figura 3.7. Secuencia de apilamiento de una laminado cualquiera. Cuando el laminado se presenta en disposición simétrica respecto a la superficie media, el compuesto es llamado laminado simétrico. Debido a esta simetría, no ocurre el acoplamiento de membrana, este asunto lo trataremos en la sección 4.2. Para este tipo de laminado el número de capas puede ser par o impar. Para indicar que un laminado es simétrico se utiliza el subíndice s, como indicativo de la referencia de los ángulos. [0/90/0] s que es equivalente a [0/90/0/0/90/0]. Otro tipo especial de laminado es el antisimétrico. Este tipo de simetría es muy útil cuando se desea un laminado que trabaje a torsión. Una característica de este tipo de laminados es presentar una secuencia alternada dos a dos, o bien láminas alternadas en 0º y 90º dos a dos, Esto hace que los laminados antisimétricos tengan un número par de láminas. Por ejemplo [0/90] 2 =[0/90/0/90] o [45/-45] 3 =[45/-45/45/-45/45/-45], donde el subíndice representa el número de repeticiones del esquema mencionado. Una vez que no ocurra simetría o antisimetría, el compuesto se denomina asimétrico.