Elementos Uniaxiales Sometidos a Carga Axial Pura

Transcripción

1 Elementos Uniaiales Sometidos a Carga ial ura Definición: La Tensión representa la intensidad de las fuerzas internas por unidad de área en diferentes puntos de una sección del sólido aislada (Fig. 1a). El vector tensión S, se define como F df S = lim = (1) 0 d La tensión tiene unidades de fuerza por unidad de área. Un vector de esfuerzo, S, puede ser representado por los componentes normal y tangencial a la superficie analizada (Fig. 1b). Utilizando los vectores unitarios i, j, k, el vector de esfuerzo puede epresarse como S σ i+ τ y j+ τ k (2) = z Tanto los esfuerzos internos (N, V i, M i ) como los componentes del vector tensión sobre sección determinada, están relacionados con las fuerzas internas que actúan sobre dicha sección. or consiguiente, los componentes de la tensión y los esfuerzos internos deben estar relacionados entre sí. (a) (b) z Fig.1. (a) Fuerza F que actúa sobre un área en un punto de una sección del sólido; (b) componentes del vector tensión en un punto de una sección del sólido. 1

2 Teniendo en cuenta que las componentes de un estado de esfuerzos (fuerzas y momentos internos) en un punto de la sección transversal son las resultantes de las tensiones normales y tangenciales que actúan en los puntos de la sección transversal (Fig. 2), los componentes del estado de esfuerzos pueden ser epresados mediante las siguientes ecuaciones (Ecuaciones Estáticas) N= σ d V = τ d V = τ d M y y = ( τ z y τ yz)d M y= σ zd M z = σ yd z z (3) z Fig. 2. Fuerzas que actúan sobre un área infinitesimal d epresadas en función de los componentes de la tensión. Distribución de Tensiones Normales en la Sección Transversal de un Elemento Sometido a Carga ial ura 1. Introducción Eisten muchos problemas prácticos en los cuales los esfuerzos internos sobre un plano definido por un corte imaginario a través de la sección transversal del sólido, constan 2

3 solamente de la fuerza aial N. Como ejemplo, se pueden mencionar a elementos que forman un enrejado, un tirante o puntal y cables. La fuerza aial N, que es normal a la superficie cortada y actúa sobre el eje longitudinal del sólido que se define como el lugar geométrico de los centros de gravedad de diferentes secciones obtenidas al realizar cortes imaginarios a lo largo de un eje, es la resultante de las tensiones normales σ sobre la sección transversal. Basándose en las Ecs. (3), se tiene que N = σ d (4) La condición que V y, V z y M se satisface con el hecho que τ y = τ z = 0. demás, la condición V y, V z en las Ecs. (3) sólo eige que σ esté distribuida simétricamente con respecto a los ejes y y z. Considerar una barra prismática de sección circular que está sometida a una carga aial en sus dos etremos (Fig. 3a). La distribución de tensiones normales σ sobre la sección transversal es uniforme en secciones suficientemente alejadas de los etremos de la barra, tal como lo muestra la Fig. 3b. La tensión en todos los puntos de estas secciones es igual al valor promedio. Se define como tensión promedio σ σ =σ = N (5) Ν = F σ Fig. 3. (a) cción fuerza interna N y (b) distribución normal uniforme σ. 3

4 donde N es la fuerza aial interna y es el área de la sección transversal analizada. 2. Elementos Cargados ialmente. rincipio de Saint-Venant Un elemento cargado aialmente se encuentra en estado de tensión uniaial, lo cual implica que la línea de acción de la carga aial coincide con el eje centroidal longitudinal del elemento. Si éste no es el caso, el elemento está sometido a una carga combinada aial y fleión. Si σ es constante en la Ecs. (4), será igual a la tensión promedio en la Ec. (5) y la distribución de tensiones es uniforme. En general, la distribución de tensiones depende de la distribución de la deformación longitudinal y de la relación tensión-deformación unitaria del material (leyes constitutivas). ara los elementos cargados aialmente, la distribución de la deformación se toma usualmente como uniforme, con base en la hipótesis de que las secciones transversales planas antes de la deformación permanecen planas después de la deformación (Hipótesis de Bernoulli). or lo tanto, si la tensión es proporcional a la deformación (Ley de Hooke), la distribución de tensiones también es uniforme. Esto es cierto para elementos cargados aialmente, ecepto en las cercanías de los puntos de la aplicación de las cargas concentradas. or ejemplo, considérese la barra de la Fig. 4a cuya mayor dimensión es lateral es w y cuya longitud es mucho mayor que esta dimensión (i.e., L >> w). En esta figura, se representan las distribuciones de tensiones a la mitad de la altura y a las distancias w, w/2 y w/4 del punto de aplicación de la carga. Se observa que a una distancia igual a la dimensión lateral w, la distribución de tensiones es prácticamente uniforme. Sin embargo, si la barra es cargada uniformemente en su etremo libre (Fig. 4b), la distribución de las tensiones internas es uniforme a lo largo la barra. or lo tanto, las únicas diferencias significativas en el comportamiento de la barra sujeta a estos dos tipos de carga, son los efectos localizados cerca del etremo libre en el cual se aplican las cargas. Si bien la distribución de tensiones y la deformación cerca del punto de aplicación de la carga son muy diferentes, prácticamente no presentan ninguna diferencia hacia la mitad de la altura. 4

5 Fig. 4. (a) Distribución de tensiones en la cercanía de una carga concentrada; (i) a la mitad de la altura, (ii) a distancia w de la carga, (iii) a w/2 de la carga, (iv) a w/4 de la carga; (b) distribución de tensiones debido a una carga uniforme en una sección cualquiera. La idea demostrada con este ejemplo fue enunciada por Saint-Venant en En términos simples, el principio de Saint-Venant establece que es importante para las tensiones la manera de aplicar las fuerzas sólo en la vecindad de la región en que se aplican. Este principio también es válido para cambios bruscos de la sección transversal como lo muestra la Fig. 5. Nuevamente se observa que la distribución de tensiones se hace uniforme en las secciones que están suficientemente alejadas de los cambios bruscos en la sección transversal. 5

6 σ pro Fig. 5. Tensiones altamente localizadas debido a cambios bruscos en la geometría En la Fig. 5 se presentan dos casos de concentración de tensiones: barra plana con un agujero de radio r y dos barras planas de diferente ancho conectadas entre si por filetes. Las distribuciones de las tensiones mostradas en la Fig. 5 para ambos casos fueron obtenidas eperimentalmente usando el método de la fotoelasticidad. En ambos ejemplos se observa que en torno a la singularidad de la sección transversal se generan tensiones normales mayores que la tensión normal promedio definida por la Ec. (5). Estas tensiones máimas pueden contribuir a la ocurrencia de fallas estructurales prematuras en forma de fractura frágiles o fatiga. ara el caso de los materiales con comportamiento elástico-lineal, la razón entre la tensión normal máima y la tensión normal promedio sólo depende de las características geométricas del elemento. La tensión normal máima puede definiese como N σ ma = K σ= K (6) donde la constante K representa la razón entre la tensión normal máima y la tensión normal promedio y se denomina factor de concentración de tensiones. En la Fig. 6 se 6

7 muestra la variación de la constante K con respecto a la geometría de los elementos mostrados en la Fig Fig. 6. Factores de concentración de tensiones para barras planas. 3. Deformación de Elementos Cargados ialmente Considerar un segmento de longitud diferencial d de un elemento sometido a una carga aial, tal como se muestra en la Fig. 7. L + u B u D N d N +dn d + ε d Fig. 7. Barra cargada aialmente De las relaciones deformación-desplazamiento se tiene que la deformación normal ε está determinada por la siguiente relación 7

8 ε = du d (7a) donde u es el desplazamiento longitudinal del elemento. Integrando todas las variaciones de desplazamientos longitudinales a lo largo del elemento, se tiene que la variación total de longitud del elemento está dado por L = u( L) u(0) = ε d (7b) 0 donde L es el largo total del elemento. ara materiales lineales y elásticos, de acuerdo con la ley de Hooke, ε = σ /E, donde σ = N()/() (Ec. 5). Sustituyendo estas relaciones en la Ec. 7b, se tiene L N( ) = d ( ) E( ) 0 (7c) donde la fuerza aial interna N(), el área de la sección transversal () y el módulo de Young E() pueden variar a lo largo de la longitud del elemento. Ejemplo: El pilote de fundación se carga con una fuerza vertical que es soportada por una fuerza de roce cuya intensidad varía cuadráticamente en la forma p = b 2, donde es una constante (Fig. 8). Determinar el acortamiento total del pilote. L p Fig. 8. ilote cargado aialmente 8

9 4. Elementos y Sistemas Cargados ialmente Estáticamente Indeterminados Se considera que un sistema estructural es estáticamente indeterminado, si bajo la aplicación de una carga, el número de ecuaciones de equilibrio estático disponibles es insuficiente para determinar todas las reacciones y fuerzas internas. En el caso de sólo un elemento cargado aialmente, la indeterminación estática generalmente es producida por el hecho de que hay más de una reacción de apoyo, una en la misma dirección y otra opuesta a la carga total aplicada (Fig. 9a ) Un sistema de dos o más barras cargadas aialmente es estáticamente indeterminado si tiene más reacciones o fuerzas internas en las barras que las que se pueden determinar a partir de las ecuaciones de equilibrio estático. or ejemplo el sistema de tres barras representado en la Fig. 9b es estáticamente indeterminado en primer grado debido a que hay tres reacciones y sólo dos ecuaciones de equilibrio disponibles ( F y = 0 y M z = 0). ara armaduras y marcos se puede distinguir entre la indeterminación interna y eterna. La indeterminación interna indica la presencia de más elementos internos o uniones de los necesarios para que eista el equilibrio estático. La indeterminación eterna se refiere a la eistencia de más componentes de reacción eterna que las necesario para que se satisfaga el equilibrio estático eterno. or ejemplo la armadura que se muestra en la Fig. 9c es estáticamente indeterminada en forma eterna en primer grado, mientras que la armadura de la Fig. 9d es indeterminada eternamente en primer grado e indeterminada internamente en segundo grado. or lo tanto su grado de indeterminación total es tres. demás de los sistemas mostrados en la Fig. 9, con frecuencia se presenta indeterminación estática en barras cargadas aialmente que son formadas por dos o más materiales diferentes. Este tipo de barras se estudian en detalle en la próima sección. ara determinar las reacciones eternas y/o fuerzas internas en las barras de un sistema estáticamente indeterminado, es necesario aumentar el número de ecuaciones de equilibrio estático con las ecuaciones geométricas de desplazamientos. Estas ecuaciones generalmente epresan las condiciones de desplazamientos comunes o sus relaciones geométricas para las diferentes partes o elementos que componen el sistema. 9

10 (a) y W Bloque Rígido (b) (c) (d) Fig. 9. Ejemplos de sistemas cargados aialmente estáticamente indeterminados. Ejemplo: Considerar la barra mostrada en la Fig. 10. Suponiendo comportamiento elásticolineal y E constante a lo largo de la barra, determinar las reacciones R y R B. R a L b R B Fig. 10. Barra doblemente apoyada cargada aialmente 10

11 Ejemplo: Considérese una barra rígida BC cuya deformación por fleión es despreciable, apoyada mediante una articulación en y soportada por dos cables de 1.5m de longitud cada uno, que tienen igual módulo de elasticidad E y área de la sección transversal. La barra estás cargada con una fuerza de 80 KN (ver Fig. 11). Cuáles son las fuerzas en los cables y en el apoyo? D E 80 KN 1.5 m B C 2 m 2 m 1 m Fig. 11. Barra rígida con tres apoyos verticales 11