Leyes de esfuerzos y funciones de desplazamiento a lo largo de una barra

Transcripción

1 Lees de esfuerzos funciones de desplazamiento a lo largo de una barra Apellidos, nombre Basset Salom, Luisa (lbasset@mes.upv.es) Departamento Centro Mecánica de Medios Continuos Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Arquitectura Universitat Politècnica de València

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3 1 Resumen de las ideas clave En este artículo se obtendrá la epresión de las lees de esfuerzos ailes, cortantes flectores así como de las funciones de desplazamiento por ail por flector suponiendo un comportamiento elástico lineal de la estructura. Introducción Los esfuerzos son fuerzas momentos internos estáticamente equivalentes a la distribución de tensiones, es decir, se trata de la resultante de las tensiones en la sección de la barra considerada. Las funciones de desplazamiento definen el movimiento longitudinal, transversal giro en una sección cualquiera de la barra a que representan la resultante o acumulación de deformaciones efectivas de movimientos de sólido rígido hasta la sección considerada. Mediante las lees de esfuerzos N(), V() M(), (le de ailes, cortantes flectores) las funciones de desplazamientos u(), v() () (función de desplazamiento longitudinal, transversal o flecha giro) se caracteriza estática cinemáticamente cada una de las secciones de la barra. 3 Objetivos EL alumno, tras la lectura de este documento, será capaz de: determinar la epresión de las lees de ailes, cortantes flectores de una barra, a partir de la carga que esté actuando sobre ella relacionar tensiones solicitaciones determinar la epresión de las funciones de desplazamiento longitudinal, transversal giro de una barra a partir de la deformaciones obtener las funciones de desplazamiento a partir de las lees de esfuerzos cuando la estructura esté resuelta estáticamente 4 Lees de esfuerzos funciones de desplazamiento a lo largo de una barra 4.1 Concepto, nomenclatura criterio de signos Tanto las lees de esfuerzos como las funciones de desplazamientos de epresan en ejes locales de la barra. Las lees de esfuerzos definen el valor del esfuerzo correspondiente en todas las secciones de la barra en función de la coordenada (distancia al etremo inicial de la barra), indicando cuánto cómo está solicitada dicha sección bajo un estado tensional concreto. La representación gráfica de las lees de esfuerzos son los diagramas.

4 El criterio de signos según Resistencia de Materiales es el siguiente (Figura 1): - Figura 1. Criterio de signos en la rebanada Llamamos N(), V() M() al valor que adopta la le de ailes, cortantes flectores al particularizar para = N(L), V(L) M(L), al particularizar para =L. Definidos los ejes de la barra, los esfuerzos en el etremo inicial (i) son Fi, Fi Mi en el etremo final (j) son Fj, Fj Mj. Todos ellos se representan con signo positivo en la Figura, en la que se indica asimismo la correlación entre ambos. N() Fi Mi M() V() Fi Fi = - N() Fi = V() Mi = - M() Fj = N(L) Fj = - V(L) Mj = M(L) M(L) V(L) Fj Mj N(L) Fj Figura. Esfuerzos en la barra Las funciones de desplazamiento definen el valor del movimiento en todas las secciones de la barra en función de la coordenada (distancia al etremo inicial de la barra), indicando cuánto cómo se mueve dicha sección bajo un estado deformacional concreto Llamamos u(), v() () al valor que adopta la función de desplazamientos longitudinales, transversales de giros al particularizar para = u(l), v(l) (L), al particularizar para =L. Definidos los ejes de la barra, los movimientos en el etremo inicial (i) son i, di i en el etremo final (j) son j, dj j Todos ellos se representan con signo positivo en la Figura 3, en la que se indica asimismo la correlación entre ambos j i di i i = u() v() () u() j = u(l) j dj di = v() dj = v(l) i = () j = (L) Figura 3. Movimientos en la barra

5 4. Lees de esfuerzos por ail Sea una barra (figura 4) sobre la que actúa una carga aial variable pa(), siendo L su longitud, A el área de la sección transversal E el módulo de elasticidad longitudinal. pa() Figura 4. Barra con carga aial variable N() pa() N()dN() Figura 5. Equilibrio en la rebanada Planteamos el equilibrio de fuerzas en la rebanada diferencial (figura 5) dn() F N() p a() N() dn() p a() dn() p a() dn() p() a N'() La carga aial repartida (cambiada de signo) es la derivada del ail N() p a() El ail es la integral de las cargas aiales (cambiadas de signo) N() p () c N() c c F a i Si no actúa ninguna fuerza ail sobre la barra el esfuerzo ail es constante. Si la fuerza ail es constante, el esfuerzo ail es lineal El ail es la resultante de las tensiones en la sección N() A ()da Suponiendo la tensión constante (figura 6) obtenemos la epresión de la tensión normal por ail: N() () A N() () Figura 6. Ail tensión normal (constante) en la sección

6 4.3 Funciones de desplazamiento por ail En la figura 7 se representa la cinemática de la barra con carga aial u()=u()du() u() d Figura 7. Cinemática de la barra con carga aial Planteamos la compatibilidad de desplazamientos en la rebanada diferencial u( ) u() u() du() u() du() () u'() du() () u'() La deformación aial unitaria es la derivada de la función desplazamiento por ail u() () La función desplazamiento por ail es la integral de las deformaciones aiales unitarias u() () c u() c c E E E i Si no actúa ninguna fuerza ail sobre la barra el esfuerzo ail es constante entonces: L () L 4.4 Lees de esfuerzos por fleión Sea una barra (figura 8) sobre la que actúa una carga normal variable pn(), siendo L su longitud, I la inercia de la sección transversal E el módulo de elasticidad longitudinal. pn() Figura 8. Barra con carga normal variable

7 pn()=cte M() M()dM() V() V()dV() Figura 9. Equilibrio en la rebanada Planteamos el equilibrio de fuerzas verticales en la rebanada diferencial (figura 9): dv() F V() p n() V() dv() p n() dv() p n() dv() p() n V'() La carga normal repartida es la derivada del cortante V() p n() El cortante es la integral de las cargas normales (perpendiculares al eje barra) V() p () c V() c c F Planteamos ahora el equilibrio de momentos: n i M M() V() p n() M() dm() V() dm() dm() V() M'() M() V() El cortante es la derivada del momento el momento es la integral del cortante M() V() c p () c c M() c c M 3 n i Si no actúa ninguna fuerza sobre la barra el cortante es constante el momento es lineal, si la fuerza es constante el cortante es lineal el momento es de º grado, si la fuerza es lineal el cortante es de º grado el momento es de 3 er grado. Si en un tramo la le de cortantes es nula, la le de momentos es constante. Si en una sección el cortante es nulo el momento es máimo (V()= dm()/= M=máimo) Relacionemos ahora el momento flector la tensión normal por fleión (figura 1 M() (,) Figura 1. Ail tensión normal en la sección

8 El momento es la resultante de las tensiones en la sección: M() (, ) da La epresión de la tensión normal por fleión es: A M() M() M() (,) ma(,) ma I I W 4.5 Funciones de desplazamiento por fleión En la figura 11 se representa la cinemática de la barra la rebanada a fleión d() du(,)= d() d() d() () d() d() 1 ds 3 () d() 1 eje neutro v() ds 3 v()=v()dv() eje neutro v() v()=v()dv() 1 Figura 11. Cinemática de la barra la rebanada a fleión Suponiendo que se cumple la hipótesis de pequeños movimientos: 1 ds d (curvatura) d Triángulo 13 = triángulo 1 3 ( ): v() dv() v() dv() tg () () v'() () v'() El giro es la derivada del desplazamiento transversal (flecha) v() () El desplazamiento transversal es la integral de los giros

9 v() () c v() c c d F F F i Retomando la compatibilidad de deformaciones desplazamientos en la rebanada diferencial: 1 d () d dv() d v() ( ) v''() 1 d () v''() La curvatura es la derivada del giro (variación del ángulo por unidad de longitud, pendiente le de giros) du(,) d () d() (,) v''() (,) v''() La deformación aial unitaria de cada fibra situada a una altura respecto del eje neutro es proporcional a ésta a la curvatura La función giro es la integral de las deformaciones aiales unitarias a la altura dividido por. (,) () (,) () c G () cg cg i La función desplazamiento transversal es la integral de las deformaciones aiales unitarias (,) v() (,) v() () c F c G cf v() cf cf di 5 Resumen A lo largo de este tema hemos obtenido las lees de esfuerzos las funciones de desplazamiento de una barra, relacionándolas, respectivamente con la carga eterior las tensiones con las deformaciones. Estas epresiones completan la definición estática cinemática de la estructura. Se proponen la siguiente cuestión: 1. Sabiendo la le que relaciona tensiones deformaciones cuando el comportamiento es lineal (le de Hooke), la relación entre tensiones solicitaciones deducida en los apartados la relación entre deformaciones desplazamientos deducida en los apartados deducir

10 las epresiones de las funciones de desplazamiento en función de las solicitaciones. 6 Bibliografía 6.1 Libros: [1] Basset, L.; Apuntes de clase. [] Gere J.M., Timoshenko S.P. Mecánica de Materiales Grupo editorial Iberoamérica Figuras: Figura 1. Criterio de signos en la rebanada. Autora: Luisa Basset Figura. Esfuerzos en la barra Autora: Luisa Basset Figura 3. Movimientos en la barra. Autora: Luisa Basset Figura 4. Barra con carga aial variable. Autora: Luisa Basset Figura 5. Equilibrio en la rebanada. Autora: Luisa Basset Figura 6. Ail tensión normal (constante) en la sección. Autora: Luisa Basset Figura 7. Cinemática de la barra con carga aial. Autora: Luisa Basset Figura 8. Barra con carga normal variable. Autora: Luisa Basset Figura 9. Equilibrio en la rebanada. Autora: Luisa Basset Figura 1. Ail tensión normal en la sección. Autora: Luisa Basset Figura 11. Cinemática de la barra la rebanada a fleión. Autora: Luisa Basset