1.1 Introducción Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos

Transcripción

1 1.1.. Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos Los modelos matemáticos surgen en todos los campos de la ciencia. Aunque la relación entre modelos y fenómenos físicos en otras ciencias no es siempre tan estrecha como en la física, es útil entender las teorías de la ciencia como modelos matemáticos. En estas notas se estudiarán modelos matemáticos de la ingeniería estructural, así como de la geotecnia y, ocasionalmente, de áreas de la ingeniería civil. Para empezar, se propone la interpretación siguiente del término modelo matemático en el contexto de los problemas de la ciencia y de la ingeniería. Un modelo matemático es un conjunto de fórmulas y/o ecuaciones basadas en una descripción cuantitativa de un fenómeno real, y creadas con la intensión de que el comportamiento que predicen se parezca al comportamiento real en el que se ha basado. Componentes de los modelos matemáticos Las cantidades matemáticas en los modelos se pueden clasificar en variables, constantes, parámetros y funciones de entrada. Una variable independiente es una cantidad que toma valores dentro un rango o dominio. Por lo general, las variables independientes son mediciones del tiempo o de posición. El conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente es el dominio del problema. Una variable dependiente es una cantidad que cambia durante un problema dado, dependiendo del o los valores de la o las variables independientes. Una constante es una cantidad que tiene un solo valor fijo. Un parámetro es una cantidad cuyo valor está determinado para todo el dominio del modelo, pero que puede variarse para dar una familia de problemas similares. Los parámetros son de cierta manera los componentes más importantes de un modelo matemático. Para la definición de modelos considere el concepto de tasa o velocidad de cambio absoluta de una cantidad definida como la derivada.latasa de cambio relativa de una cantidad es la razón de la tasa de cambio absoluta entre la cantidad : tasa de cambio absoluta tasa de cambio relativa = = 1 cantidad Con el concepto de tasa de cambio absoluta se tiene la definición de la deformación unidimensional: () () = (1.10) que es la razón de cambio de los desplazamientos longitudinales, de los puntos materiales [0], respecto a. Enlafigura 1.4 se muestra una barra con área, modulo elástico, sujeta a una carga en = y a una fuerza de cuerpo,entodalabarra.lagráfica que describe el desplazamiento transversal se muestra en la figura 1.4c y la de la deformación, definida en la ec. 1.10, se muestra en la figura 1.4d. c Gelacio Juárez, UAM 8

2 () = + µ (1.11) Figura 1.4: Diagráma: a) barra y b) barra deformada c) desplazamiento vs. longitud y d) desplazamiento vs. longitud. Otra definición asociada a la tasa de cambio absoluta es el giro del eje neutro de una viga de Euler-Bernoulli: () () = (1.1) que es la razón de cambio del desplazamiento transversal,, de los puntos materiales [0] respecto a. Enlafigura 1.5a se muestra una viga con modulo elástico, momento de inercia, sujeta a una carga transversal distribuida en toda la viga. La gráfica que describe el desplazamiento longitudinal se muestra en la figura 1.5b y la de la rotación, definida en la ec. 1.1, se muestra en la figura 1.5c. () = (1.13) 4 Figura 1.5: Diagráma: a) viga con carga distribuida, b) desplazamiento transversal vs. longitud yc) girovs. longitud. c Gelacio Juárez, UAM 9

3 Ecuación de decaimiento natural La palabra decaimiento se emplea con el significado de "desaparición gradual". Por lo tanto, es natural que en matemáticas el término se emplee para describir cualquier proceso en el que una cantidad aumenta o disminuye gradualmente hasta cero. En particular un proceso de decaimiento natural es aquel que ocasiona que una cantidad tenga una velocidad de crecimiento relativa negativa constante. Hay que hacer hincapié en que lo que se está definiendo como decaimiento natural es en realidad un concepto idealizado. En la práctica se debe considerar la ecuación resultante como un modelo matemático y siempre hay que preguntarse si el modelo es o no adecuado para el problema que se estudia. Por definición, una cantidad que experimenta un decaimiento natural satisface la ecuación 1 = para alguna 0.Una manipulación algebraica de esta ecuación proporciona la ecuación diferencial del decaimiento natural =, 0 La tarea ahora es determinar qué función o funciones tiene la propiedad de una velocidad de cambio relativa negativa constante. Considérese como ejemplo la ecuación diferencial = Se pueden hallar soluciones simplemente interpretando la ecuación. Se busca una función en la que su derivada sea el negativo de la función. La función definida por 0() = tiene la propiedad correcta y también la tiene cualquier múltiplo de.lafórmula () = define una solución de la ecuación diferencial para cualquier valor de, yaque definida de esta manera hace verdadera la ecuación. La ecuación diferencial también se puede resolver de manera formal, y se obtiene el mismo resultado. Crecimiento natural Crecimiento natural es el nombre usado para la ecuación 1 = que resulta de la suposición matemática de que una cantidad tiene velocidad de cambio relativa c Gelacio Juárez, UAM 10

4 positiva constante. La ausencia de un signo negativo en esta ecuación, en comparación con la ecuación de decaimiento natural, no afecta los cálculos: por lo tanto, la solución de la ecuación de crecimiento natural es () = Por supuesto, la ausencia del signo negativo afecta considerablemente las propiedades de la solución Problema de Valores en la Frontera Para la simulación o representación de un proceso o un fenómeno físico, una de las partes fundamentales es su planteamiento matemático, que en su forma fuerte se le conoce como un problema de valores en la frontera (PVF), el cual generalmente se representa por un sistema de ecuaciones diferenciales parciales u ordinarias definidas sobre una región o intervalo, y de un conjunto de condiciones de frontera, que especifican los valores de las variables involucradas y de sus derivadas de la frontera del intervalo o región. La forma fuerte se refiere a que la solución del PVF debe satisfacer cada punto del dominio donde se define el problema Barras Sea una barra de la fig. 1.6 con dominio Ω R 3, modelado por su eje longitudinal medio =[0] R. El sistema local de coordenadas se denota por [0] alolargodesueje,su desplazamiento infinitesimal se describe por los desplazamientos de los puntos a lo largo de su eje : R. Figura 1.6: Barra c Gelacio Juárez, UAM 11

5 ) = 0 Compatibilidad cinemática ) = ; = 0 Compatibilidad constitutiva ) + () =0; + () =0 0 Equilibrio interno ) = ; = en Γ Equilibrio externo (Condiciones naturales ) = en Γ Condiciones esenciales (1.14) Vigas Lasvigassonlostiposdeelementosmáscomunesen estructuras, particularmente en ingeniería Civil y Mecánica. Una viga es un elemento estructural cuyas función primaria es la de soportar cargas transversales y transmitirlas a los soportes. A pesar de que una viga es un elemento en 3D, ésta se modela como un elemento en 1D debido a que una de sus dimensiones en considerablemente mayor a las otras dos. A esta dimensión se le llama eje longitudinal o eje de la viga. La intersección de los planos normales a la dimensión longitudinal de la viga se le llama sección transversal. Un plano longitudinal es aquel que pasa a través del eje de la viga ( Fig. 1.7). Una viga resiste cargas transversales principalmente mediante la flexión. Esta flexión produce esfuerzos a compresión de un lado de la vida y esfuerzos a compresión en el otro lado. Las dos regiones se separan por una superficie neutra de esfuerzo cero. La combinación de los esfuerzos a tensión y compresión produce un momento a flexión interno. Este momento es el mecanismo primario que transporta las cargas a los apoyos. Figura 1.7: Elemento viga. Vigas de Bernoulli-Euler La teoría clásica (Bernoulli-Euler) de vigas se basa en las siguientes suposiciones (Felippa, 004): 1. Simetría plana. El eje longitudinal es recto y la sección transversal de la viga tiene un plano longitudinal de simetría. Las cargas transversales resultantes que actúan en cada sección yacen en ese plano.. Variación de la sección transversal. La sección transversal es constante o varía suavemente. c Gelacio Juárez, UAM 1

6 3. Normal. Las secciones planas originalmente normales al eje de la viga permanecen planas y normales al eje longitudinal deformado después de la flexión, figura (1.8). 4. Energía de deformación. Los elementos toman solamente en cuenta la energía de deformación interna debida a flexión. Otros efectos como la deformación transversal y la fuerza axial se ignoran. 5. Linearización. Las deflexiones transversales, rotaciones y deformaciones se consideran pequeñas tal que las suposiciones de deformaciones infinitesimales sean aplicables. 6. Comportamiento elástico. Se asume que el comportamiento del material es elástico e isotrópico. Vigas heterogéneas fabricadas con diferentes materiales, como el concreto reforzado, no se excluyen. Figura 1.8: Elemento viga de Bernoulli-Euler. El campo de ecuaciones que definen el PVF en 0 de la teoría de vigas de Bernoulli-Euler son: ) = ; = = en 0 Compatibilidad cinemática ) = ; = en 0 Compatibilidad constitutiva ) =0; = ; =0 en 0 Equilibrio interno ) 3 = Equilibrio externo 3 en Γ = (Condiciones naturales ) = = en Γ Condiciones esenciales de frontera (1.15) donde, Γ, representa los extremos de la viga El PVF definido en (1.15) contiene las siguientes relaciones generalmente empleadas en teoría de vigas. c Gelacio Juárez, UAM 13

7 = = = 3 3 = 4 4 Vigas de Timoshenko La teoría de vigas de Timoshenko introduce los efectos de primer orden por cortante (i.e. se consideran las deformaciones transversales por cortante transversal), mediante el supuesto que las secciones se mantiene planas, pero no necesariamente normales al eje neutro deformado, Fig Figura 1.9: Elemento viga de Timoshenko. La descripción del comportamiento de la viga involucra dos variables independientes en cada punto del eje neutro, la deflexión transversal,, y la rotación de la sección transversal,, porlo que la deformación por cortante en cada punto a lo largo del eje de la viga está dado en la ec. (1.16) por la diferencia entre la rotación de la sección transversal y la pendiente del eje neutro = (1.16) El campo de ecuaciones que define el PVF en 0 de la teoría de las vigas de Timoshenko son: c Gelacio Juárez, UAM 14

8 a) b) c) d) e) = = en 0 Compatibilidad cinemática = = en 0 Compatibilidad constitutiva =0 =0 en 0 Equilibrio interno = = en Γ Equilibrio externo = = en Γ Condiciones esenciales de frontera (1.17) La rotación, de la sección transversal y la curvatura,, del eje longitudinal deformado son: = = (1.18) La compatibilidad constitutiva en la ec. (1.17b) está dada por las relaciones momento-curvatura y las relaciones cortante-deformación: = y = (1.19) donde es la fuerza cortante transversal, el promedio de las deformaciones por cortante en la sección transversal, es el módulo de rigidez a cortante y = es el área efectiva de cortante. El factor considera en promedio la corrección de distribución por cortante hecha para distribución de las deformaciones por cortante sobre el espesor de la sección transversal, e.g., para las vigas de sección transversal rectangular el valor de es usualmente 56. Las ecuaciones de equilibrio interno, Eq. (1.17c), se definen por las siguiente relaciones: = = =0 (1.0) Sólido Considere de medio continuo se tiene un cuerpo tridimensional, cuyo comportamiento del material es elástico lineal con deformaciones pequeñas, con un dominio Ω R 3, puntos materiales x y frontera Γ con vector normal n (figura 1.10), el cual se somete a las acciones del vector de fuerzas de cuerpo b en el interior del continuo, a las tracciones prescritas t en Γ y los desplazamientos prescritos u en Γ.LafronteraΓ del continuo está constituida por dos superficies Γ y Γ ; Γ corresponde a la región con desplazamientos prescritos (conocidos) y Γ corresponde al resto de la frontera que incluye aquellas porciones donde se aplican las cargas prescritas, de tal forma que Γ Γ = Γ y Γ Γ =. c Gelacio Juárez, UAM 15

9 Figura 1.10: Continuo con dominio Ω. El PVF del problema elástico lineal se define en forma fuerte por las siguientes ecuaciones y condiciones de frontera: ) ε u (x) ε(x) =0 en Ω Compatibilidad cinemática ) σ (x) σ(x) =0 en Ω Compatibilidad constitutiva ) σ(x)+b(x) =0 en Ω Equilibrio interno ) σ(x) n = t (x) en Γ Equilibrio externo σ(x) n = t(x) en Γ Condiciones naturales ) u(x) =u (x) en Γ Condición esencial (1.1) La compatibilidad cinemática, ec. (1.1), corresponde la compatibilidad entre deformaciones infinitesimales ε u y desplazamientos u queparauncuerpoelásticolinealson: ε u (x) = u(x) = 1 (u + u) (1.) = 1 µ + {1 3} desarrollando la ec. (1.) se tiene: ε = = ³ ³ ³ ³ + (1.3) La ec. 1.3 se puede escribir en notación de Voigt como: c Gelacio Juárez, UAM 16

10 = o en forma compacta como: ε = Bu (1.4) donde ε es el vector de deformaciones y u el de desplazamientos, respectivamente: ε = ; u = (1.5) siendo, y las componentes de desplazamiento en las respectivas direcciones, y. Enla ec. 1.4, B es el operador diferencial matricial dado por: B = (1.6) La compatibilidad constitutiva, ec. (1.1), corresponde a la relación entre los esfuerzos σ y las deformaciones ε. Éstasedesarrollaapartirdeláreabajolacurvaσ(ε) mostrada en la figura 1.11, llamada densidad de energía libre Ψ(ε), la cual se determina como: Ψ(ε) = Z el estado de esfuerzos se calcula a partir de la energía libre: 0 σ(ε)ε (1.7) σ(ε) = Ψ(ε) (1.8) ε Para un sólido elástico lineal, la energía libre de la ec. (1.7) corresponde a la densidad de energía de deformación: c Gelacio Juárez, UAM 17

11 Figura 1.11: Energía libre en un material con comportamiento: a) elástico lineal, b) elástico nolineal, c) plástico y d) daño. (ε) =Ψ(ε) = 1 ε : C : ε (1.9) Sustituyendo la energía (ε), la ec. (1.9) definida en, en la ec. (1.8) el esfuerzo se define como: σ(ε) = (ε) = C : ε (1.30) ε La compatibilidad entre los esfuerzos y las deformaciones para un material elástico lineal isotrópico,conocidacomolaleydehook,es: σ (x) = (ε) 1 +ε (1.31) = + {1 3} donde y son las constantes de Lamé que se definen, en función del módulo elástico ydela relación de Poisson, como: La ec. (1.31) se desarrolla como: = = (1+)(1 ) (1+) (1.3) c Gelacio Juárez, UAM 18

12 = (1 + )(1 ) (1.33) El equilibrio interno, ec. (1.1), corresponde a la ecuación de Cauchy: σ(x)+b(x) = ρ u(x) (1.34) + = {1 3} en este caso se considera un comportamiento cuasiestático, por consiguiente, la aceleración es nula = = 0 (1.35) = 0 El equilibrio externo, ec.(1.1), indica que la proyección de los esfuerzos, σ n, sobrela frontera Γ debe satisfacer a las tracciones prescritas, t : = σ n = Las condiciones esencial de frontera, ec. (1.1), indica que el vector de desplazamientos u debe ser igual a los prescritos, u, en la frontera Γ. = Las ecs. (1.1 ) constituyen un sistema de 15 ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. El sistema está constituido por 15 ecuaciones diferenciales con 15 incógnitas en,,.el problema queda bien condicionado cuando se le agregan las condiciones de frontera adecuadas, ecs. (1.1 ). c Gelacio Juárez, UAM 19

13 Tarea Establezca el problema de valores en la frontera de placas gruesas, teoría de Reissner-Mindlin, y placas delgadas, teoría Kirchhoff. Bibliografía recomendada O.C. Zienkiewicz y R.L. Taylor, El método de elementos finitos, Vol. II, CIMNE/McGraw Hill, Barcelona c Gelacio Juárez, UAM 0