CAPITULO 2. División 2. Conceptos de Equilibrio Conceptos de Elasticidad Modelos Matemáticos

Transcripción

1 CAPITULO 2 Tensiones y Deformaciones. Revisión de principios físicosf División 2 Conceptos de Equilibrio Conceptos de Elasticidad Modelos Matemáticos

2 Introducción Selección, Diseño y/o Cálculo de Elementos de Máquinas Determinar las dimensiones críticas de una pieza dado el estado de cargas 1. Considerar cargas generales externas e internas Posible estrategia 2. Localizar zonas de resistencia críticas 3. Determinar cargas críticas o de riesgo 4. Establecer estimadores de seguridad

3 Solicitaciones o Cargas: Clasificación a) Según su Ubicación a.1) Externas: son todo tipo de cargas que actúan fuera del contorno superficial de la pieza o del dominio. Ejemplo: Cargas lineales, puntuales, etc. a.2) Internas: son todo tipo de cargas que actúan dentro del contorno superficial de la pieza o del dominio. Ejemplo: Peso propio. b) Forma de aplicación: b.1) Puntuales: son aquellas cuya acción puede considerarse localizada (caso idealizado) b.2) Lineales: se hallan distribuidas en una línea (caso idealizado) b.3) Superficiales: se hallan distribuidas en una superficie. Las fuerzas de contacto son un ejemplo clásico de este tipo de solicitaciones b.4) Volumétricas: se hallan distribuidas sobre un volumen. La gravedad y las fuerzas inerciales son dos ejemplos clásicos de este tipo de fuerzas.

4 Solicitaciones o Cargas: Ejemplos Ejemplo Concreto

5 Solicitaciones o Cargas: Clasificación c) Según su tiempo de aplicación c.1) Estáticas o estacionarias: estas fuerzas no varían con el tiempo y se suponen constantes siempre. c.2) Quasi-estáticas: van creciendo desde cero a su valor máximo siguiendo una variación temporal muy lenta. c.3) Transitorias: estas cargas varían con el tiempo, Ejemplos de este tipo de carga son las cargas por impacto, las cargas en los amortiguadores de un vehículo, etc. c.4) Cíclicas: Poseen una variación repetitiva en ciclos. Ejemplo: las cargas que soporta el perno de pistón de una máquina de combustión interna. d) Según el patrón de tensiones que origine d.1) Normales: tractivas, compresivas o flexionales. d.2) Transversales: por corte o por torsión d.3) Mixtas: normales y transversales.

6 Ejemplo de Carga Externa Mixta y su descomposición

7 Solicitaciones o Cargas: Clasificación e) Según su esencia física. e.1) Mecánica: se lleva a cabo mediante contacto o aplicación de presiones. e.2) Térmica: genera estados de tensiones por dilatación. e.3) Magnética: Originada por campos electromagnéticos. Ejemplo los frenos electrodinámicos.

8 Vínculos y Reacciones de Vínculo Biela o Cable: tanto una como otro poseen una reacción de vínculo de carga a lo largo del eje de la misma. Rodillo o corredera: posee una reacción en la dirección restringida, si se halla en un plano.

9 Vínculos y Reacciones de Vínculo Articulación: Posee dos reacciones de carga en las direcciones restringidas. Empotramiento: Posee dos restricciones de tipo carga y una de tipo momento

10 El equilibrio ESTATICO Sistema de Ecuaciones de equilibrio estático Física I, Estabilidad I y Estabilidad II EQUILIBRIO DINAMICO Sistema de Ecuaciones de equilibrio dinámico Física I, Mecánica del sólido

11 El equilibrio Estático N F = i i= 1 0 N i= 1 i N = 1 M = r F = i i i 0

12 El equilibrio Estático 0 F N 1 i X = = 0 F N 1 i Y = = 0 F N 1 i i = = 0 F N 1 i Z = =

13 El equilibrio Estático 0 M N 1 i X = = 0 M N 1 i Y = = 0 M N 1 i i = = 0 M N 1 i Z = =

14 Ejemplo Un cuerpo definido en el plano XY cumplirá con las siguientes ecuaciones N i= 1 F X = 0 N i= 1 F Y = 0 N i= 1 M Z = 0

15 El equilibrio dinámico i N dh F = m. a M = r F = i i i i dt = 1 N i= 1 i N = 1

16 Análisis del equilibrio: Diagramas de cuerpo libre Pieza o mecanismo real Modelo esquemático de pieza Diagrama de cuerpo libre

17 Diagramas de cuerpo libre: Ejemplo Ejemplo Tomado de Hamrock: Figura 2.6

18 Diagramas de cuerpo libre: Ejemplo

19 Los modelos de cálculo Cálculo por resistencia, diseño y/o verificación Teorías de Resistencia de Materiales Teorías de la Elasticidad y mecánica del contínuo Basada en hipótesis restrictivas Útiles para piezas de tipo barra Su empleo exige validación Se usan fórmulas simplificadas Basadas en hipótesis generales Se emplea en problemas 2D a 3D Se necesita cálculo numérico: Elementos Finitos, etc.

20 Selección de modelo de calculo Selección basada en las características geométricas y/o de funcionamiento de la pieza Unidimensional Bidimensional Tridimensional Teorías de Resistencia de materiales Teorías de la Elasticidad y mecánica del contínuo Representatividad y complejidad de cálculo y comprensión Facilidad de cálculo y comprensión

21 Los modelos de cálculo: Teoría de Resistencia de Materiales Identificación del esfuerzo dominante NORMALES 1. Tractivos 2. Compresivos 3. Flexionales SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE RESISTENCIA Y/O DESPLAZAMIENTOS TRANSVERSALES 1. Cortante 2. Torsional COMBINADOS 1. Flexo torsionales

22 Cálculo de Engranajes: Ejemplo de Modelo Unidimensional Esquema real del diente Modelo reducido de viga empotrada

23 Cálculo de Engranajes: Ejemplo de Modelo Bidimensional Finite Elements in Analysis and Design 39 (2002) 79 92

24 Cálculo de Engranajes: Ejemplo de Modelo Tridimensional Modelos Computacionales de Elasticidad 3D y análisis en función del tiempo. Tomado de Algor News Año 2000

25 Principios de Elasticidad: Contexto del Problema DATOS de Entrada Incógnitas a develar Hipótesis y geometría del cuerpo Condiciones de Solicitación Condiciones de Vinculación Desplazamientos del cuerpo Deformaciones del cuerpo Estado Tensional del cuerpo

26 Elenco de variables actuantes Fuerzas Volumétricas SOLICITACIONES Fuerzas superficiales Fuerzas puntuales Desplazamientos INCOGNITAS Estado de Deformaciones Estado de tensiones

27 Ejemplos Clásicos

28 Tensiones: Convención de Signos

29 Tensiones: cuerpo Tridimensional

30 Ecuaciones de Equilibrio Interno Fuerzas de Volumen

31 Deducción de las ecuaciones de Equilibrio Interno Las otras dos se hallan de igual manera dividir por

32 Ecuaciones de Equilibrio en el Contorno Fuerzas en la superficie

33 Deducción de una ecuación de Equilibrio Externo

34 Estado de Tensiones Principales DIAGONALIZACIÓN DE LA MATRIZ

35 Estado de Tensiones Principales Problema de Autovalores y de Autovectores

36 Tensiones principales Ecuación característica Invariantes de tensión

37 Representación Gráfica: Círculo Mohr 3D

38 Estados de Tensiones Octaédricos Ventajas: Hay una sola tensión normal y una sola tensión tangencial por plano octaédrico

39 El tensor de deformaciones

40 Tensor de Deformaciones

41 Tensor de Deformaciones

42 Los Desplazamientos de un cuerpo en el espacio Cada punto tendrá una función de desplazamiento en las tres direcciones del espacio

43 Tensor de Tensiones en función de los desplazamientos

44 Tensor de Tensiones en función de los desplazamientos

45 Compatibilidad de desplazamientos De tener definido un campo de desplazamientos para un sólido determinado se necesitan cumplir con una serie de ecuaciones de compatibilidad, para que en cada punto exista un solo estado de desplazamientos

46 Ecuaciones Constitutivas Ecuaciones que relacionan las tensiones con las deformaciones y las propiedades del material

47 Ecuaciones Constitutivas

48 Ecuaciones Constitutivas: Casos Particulares

49 Ecuaciones Constitutivas: Casos Particulares

50 Ecuaciones Constitutivas: Casos Particulares

51 Solución del Problema de la Elasticidad: Necesidades Se deben hallar las siguientes cantidades en función del material y las solicitaciones

52 Solución del Problema de la Elasticidad: Condiciones

53 Métodos Energéticos

54 Métodos Energéticos El trabajo de deformación

55 Métodos Energéticos: Formas de análisis

56 Ejemplos de Aplicación del Teorema de Castigliano

57 Métodos Energéticos: Formas de análisis U = Energía de Deformación W P = Trabajo de cargas externas 1) Solución Exacta 2) Solución Aproximada

58 Esquema general de Solución de Ecuaciones por Aproximación Método de Rayleigh Ritz Seleccionar funciones admisibles para aproximar los desplazamientos Método de Rayleigh-Ritz en la Energía potencial total y hallar las constantes de ajuste para los desplazamientos Obtener los desplazamientos efectivos y corroborar el error máximo OBTENER LAS DEFORMACIONES EFECTIVAS OBTENER LAS TENSIONES EFECTIVAS

59 Algunos Ejemplos: EJEMPLO 1

60 Algunos Ejemplos: EJEMPLO 1

61 Algunos Ejemplos: EJEMPLO 3

62 Algunos Ejemplos: EJEMPLO 3

63 Algunos Ejemplos: EJEMPLO 3

64 Algunos Ejemplos: EJEMPLO 3

65 Algunos Ejemplos: EJEMPLO 3

66 Algunos Ejemplos: EJEMPLO 3

67 Algunos Ejemplos: EJEMPLO 3. Conclusiones 1) Aproximaciones de aparentemente mayor calidad como las cuadráticas pueden conducir a la solución con baja calidad. 2) La discretización del dominio en pequeños subdominios permite resolver el problema sin cometer mayores errores. 3) En 1) y 2) está la esencia del método de elementos finitos

68 El método de elementos finitos: Descripción

69 Esquema operativo del método de Elementos Finitos Problema Selección del tipo de programa Diseño geométrico -CAD Intensivo: COSMOS/M, IDEAS, etc Diseño Formal Desarrollo del modelo matemático aproximado Desarrollo del modelo geométrico Condiciones del problema -matemático intensivo: FlexPDE, etc. Tipo de material Condiciones de borde y cargas Precisión y detalle Tipo de Cálculo ANALISIS Estático, Dinámico, Térmico, etc Lineal o no lineal

70 Programas de Elementos Finitos de Diseño Formal: FlexPDE

71 Flexpde: Archivo descriptor

72 Flexpde: Ejemplo y resultados

73 Flexpde: Ejemplo y resultados

74 Flexpde: Ejemplo y resultados

75 CONCLUSIONES