Curso de Elemento Finito con el software ALGOR

Transcripción

1 Curso de Elemento Finito con el software ALGOR Facultad de Ingeniería, UNAM M. en I. Alejandro Farah Instituto de Astronomía, UNAM

2 Contenido general: - La teoría detrás del Método de los Elementos Finitos Fenómenos físicos Ecuaciones constitutivas - Solución de problemas por el MEF utilizando ALGOR

3 Desarrollo histórico: - Hrenikoff, 1941, solución a problemas elásticos por el Método del Trabajo. - Courant, 1943, por medio de interpolación polinomial para modelar problemas de torsión. - Turner, 1956, obtuvo las matrices de rigidez (armaduras y vigas). - Clough, 1960, primero en utilizar el término elementos finitos. - Zienkiewicz y Chung, 1967, publican primer libro sobre EF , se crean las bases formales del método. - y se inició toda una revolución.

4 Cómo se hace? iii) Elección de las funciones que describen el fenómeno físico con una con un dominio definido y conocido (ecuaciones constitutivas). vi) Ensamble de las ecuaciones de los elementos (discretización). viii) Solución del sistema de ecuaciones matriciales. x) Determinación de los valores aproximados (interpolación).

5 Fenómeno Físico: Se denomina fenómeno físico a cualquier suceso natural observable y posible de ser medido (elasticidad, el agua hirviendo ) modelos matemáticos ecuaciones diferenciales

6 Característica común: ED continuas y diferenciables infinitamente Método de las Diferencias finitas Métodos Variacionales Método de los Residuos Pesados Método de las Diferencias finitas Sustituye la ED original por una ecuación en diferencias Alcanza buenos resultados en problemas bidimensionales con fronteras paralelas a los ejes coordenados

7 Métodos Variacionales Sustituye en la ED original una solución de prueba con ciertos coeficientes constantes, el problema se resume a encontrarlos x x 2 1 F ( u, u,...) dx Solo se puede aplicar a aquellas ecuaciones diferenciales que tienen un principio variacional, lo cual es difícil de demostrar.

8 Método de los Residuos Pesados Sustituye en la ED original una solución aproximada h(x) y obtiene un error residual R(x) Método de Colocación por Puntos Métodos de los Subdominios Método de Galerkin Método de los Mínimos Cuadrados 2 d h( x) R( x) D Q 2 dx x x 2 1 w ( x) R( x) dx i 0 0 Son los más usados (en especial del M. de Galerkin), también conocidos como formulación integral del MEF.

9 Calculando el área de un círculo con triángulos

10 A partir de simples vigas, resortes Ley de Hooke F=K x

11 Definición: El MEF es un procedimiento matemático por interpolaciones para resolver problemas físicos gobernados por ecuaciones diferenciales

12 . Otra vez, cómo se hace: Elección de las funciones de aproximación Discretización del dominio: el dominio real se sustituye por elementos discretos eligiendo los puntos nodales y especificando sus coordenadas Ensamble de las ecuaciones de los elementos Solución del sistema de ecuaciones Determinación de los valores aproximados

13 Se distingue porque: Formulación integral y finalmente genera un sistema de ecuaciones algebraicas lineales Interpolación de valores de las cantidades desconocidas en los puntos nodales

14 Independiente del problema físico (ED) que se quiera resolver No proporciona la función aproximada sino los valores de la función en ciertos puntos del dominio (nodos) Por interpolación matemática determina los valores de la función en los nodos restantes