MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS.

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1 de MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS. Castillo Madrid, 23 de Noviembre de 26 Índice de de

2 de El de los Elementos Finitos (M.E.F.) es un procedimiento numérico para resolver ecuaciones diferenciales de manera aproximada El dominio en el que está definido el problema se divide en subdominios denominados El conjunto de que discretizan el dominio se denomina malla Se abordan problemas de contorno (estática) y problemas de valor inicial (dinámica) de En general, la variable continua queda definida por sus valores aproximados en puntos discretos, denominados nodos La aproximación de esta variable en puntos distintos de los nodos (dentro de cada elemento) se interpola mediante funciones de forma (generalmente polinómicas) Los grados de libertad son variables definidas en los nodos (temperaturas, desplazamientos, etc). También se denominan incógnitas primarias o variables de estado.

3 Ejemplo: distribución de temperaturas en una barra Solución aproximada Solución exacta de Interpolación lineal Motivación de El análisis de las estructuras de es esencialmente unidimensional. La barra elástica lineal cargada en dirección axial es el modelo básico que sirve de partida, y que posteriormente se generaliza a. Se presentan dos descripciones alternativas para el análisis del equilibrio de sistemas : directo, basado en conceptos ya conocidos de la Mecánica de Materiales, para expresar el equilibrio de fuerzas, las ecuaciones constitutivas y las ecuaciones de compatibilidad. 2 débil del problema de contorno como base de partida para el desarrollo método de.

4 Motivación de Cuestiones generales x de F F F k 2 3 k 2 u u 2 u F i son las fuerzas nodales directamente aplicadas en los nodos. u i son los desplazamientos nodales. Las constantes k i son las rigideces correspondientes a cada elemento 3

5 Cuestiones generales de Considerando sólo un elemento: N P k P 2 u u 2 2 N P e i es la fuerza nodal elemental correspondiente al nodo local i del elemento e u e i son los desplazamientos del nodo local i del elemento e N y N son las fuerzas internas Ecuaciones (elemento ) Ley constitutiva (Hooke) de N = k(u 2 u ) Equilibrio en los nodos del elemento : k = EA L P = N P = k (u 2 u ) P 2 = N P 2 = k (u 2 u ) ( k k k k ){ u u 2 } = { P P 2 }

6 Expresión matricial elemental de Para el elemento 2 ( k2 k 2 k 2 k 2 ){ u 2 u 2 2 } = { P 2 P 2 2 Las ecuaciones anteriores se puede generalizar para un elemento e, expresándose: donde: K e d e = P e K e : Matriz de rigidez del elemento e (sim. y def. pos.) d e : Vector elemental de desplazamientos (nodales) P e : Vector elemental de fuerzas } Compatibilidad y equilibrio. Ensamblaje de Considerando la compatibilidad de desplazamientos: u = u u 2 = u 2 = u2 u 3 = u 2 2 y el equlibrio de fuerzas: F = P F 2 = P 2 + P 2 F 3 = P 2 2 los sistemas matriciales expresados anteriormente para los y 2, se ensamblan mediante la suma para obtener el sistema global: k k k k + k 2 k 2 k 2 k 2 u u 2 u 3 = F F 2 F 3

7 Condiciones de sustentación (apoyos) de det(k) = existen desplazamientos de sólido rígido (el sistema estructural carece de la sustentación suficiente) Para evitarlo es suficiente imponer u = : ( k + k 2 k 2 k 2 k 2 ){ u2 u 3 } = u = { F2 F 3 } (c.c. de tipo esencial) Metodología de A continuación se generaliza la formulación para el caso de estructuras en dos y tres dimensiones Para la formulación 2D/3D, la metodología es la misma que la descrita anteriormente: Ecuaciones de equilibrio en cada elemento (propiedades constitutivas y condiciones de equilibrio) 2 Compatibilidad (topología y conectividad) 3 Equilibrio de la estructura completa 4 Condiciones de contorno 5 Solución del sistema completo de ecuaciones

8 Ejemplo de Definición de la Estructura f y3 = f x3 = 2 L = E A = L 2 = E 2 A 2 = 5 2 L 3 = 2 E 3 A 3 = 4 2 Ejemplo de Equilibrio del elemento 3 P y3 u y3 y y x 3 P y u y 3 N φ N P x3 u x3 P x u x x

9 Ejemplo de Equilibrio del elemento 3 en ejes locales u E 3 A 3 x u y L 3 u = x3 u y3 }{{} (K e ) P x P y P x3 P y3 Relación entre ejes locales y ejes globales } ( ) { } cos φ senφ u = x u y senφ cos φ u ; L T L = y }{{} L T { ux Ejemplo de Equilibrio del elemento (en ejes globales) resultando: K e = L T (K e ) L = E 3A 3 L 3 u e = L T (u e ) P e = L T (P e ) cos 2 φ sen φ cos φ cos 2 φ sen φcos φ sen φcos φ sen 2 φ sen φ cos φ sen 2 φ cos 2 φ sen φcos φ cos 2 φ sen φ cos φ sen φcos φ sen 2 φ sen φcos φ sen 2 φ C A

10 Ejemplo de K e= = K e=3 = Matrices de rigidez elementales Ke=2 = Ejemplo de Ensamblaje K =

11 Ejemplo de Condiciones de contorno u x = u y = u y2 = K = Solución del sistema de ecuaciones de El método menos eficiente es el de invertir la matriz de rigidez: Kd = f d = K f Metodología: Eliminación de Gauss Partiendo del sistema global de ecuaciones: k k 2... k n d k 2 k k 2n d k n k n2... k nn. d n = f f 2. f n

12 de Mediante operaciones con pivotes en filas, se llega al sistema: cuya solución es: k k 2... k n k k 2n k nn d n = f n k nn ; d n = f n k n n d n k n n d d 2. d n = f f 2. f n ;... d = f n i=2 k i d i k Ejemplo: Solución u x2 =, u x3 =,3 u y3 =,2 Problema de contorno Las ecuaciones que, de acuerdo con la mecánica de medios continuos, rigen el comportamiento de la barra articulada son las siguientes: de dσ + b = ε = du σ = Eε σ() = t u(l) = u σ x b dv σ + dσ Las condiciones de contorno naturales se expresan en términos de las derivadas de u. Las condiciones de contorno esenciales se expresan directamente en términos de u.

13 fuerte de Sea Ω = Ω Ω la parte del eje local x ocupado por la barra articulada (Ω = (,L), Ω = [,L] y Ω el contorno de la barra: x = y x = L). La formulación fuerte del problema se establece en los siguientes términos: Dados b : Ω R y las constantes u R, t R, encontrar el campo de desplazamientos u R que cumple: E d2 u 2 + b = en Ω u(l) = u E du = t x= débil de Dados b : Ω R y las constantes u R t R, encontrar el campo de desplazamientos u δ w ν cumple: donde: E A dw du = wb + w()t ν = { w w H, w(l) = } ; δ = { u u H, u(l) = u } siendo H el espacio de Sobolev de orden y grado 2: { ( ) du 2 H = u(x) : Ω R < }

14 de Galerkin de La formulación de Galerkin es el punto de partida del método de : permite obtener una solución aproximada de la formulación débil. El primer paso es la construcción de los subespacios ν h y δ h, que son aproximaciones de dimensión finita de ν y δ: ν h ν (w h ν h w h ν) δ h δ (u h δ h u h δ) El método de Galerkin establece que los u h δ h se construyen a partir de los v h ν h mediante: u h = v h + u h donde u h es una función dada que verifica u h (L) = u La idea clave es que los espacios ν h y δ h contienen las mismas funciones con la única excepción de u h de Galerkin La aproximación de Galerkin del problema de contorno se obtiene expresando la formulación débil en términos de los subespacios de dimensión finita ν h y δ h : E A dwh d(v h + u h ) = w h b + w h ()t de y operando: E A dwh dv h = w h b + w h ()t E A dwh du h

15 de Galerkin de Dados b : Ω R y las constantes u R t R, encontrar el campo de desplazamientos u h = v h + u h δ h, con v h ν h, tal que w h ν h se cumple: E A dwh dv h = w h b + w h ()t E A dwh du h () En el método de Galerkin las funciones v h w h pertenecen al mismo subespacio ν h. Existen otros métodos, denominados métodos de Petrov-Galerkin, en los cuales las funciones v h no pertenecen a ν h. Dichos métodos se emplean principalmente en el contexto de la Mecánica de Fluidos Computacional matricial de Con las expresiones: w h = n c A N A u h = v h + u h = A= n d A N A + un n+ A= la formulación de Galerkin resulta: ( L n )( n ) dn A dn B E A c A d B = A= B= ( L n ( n ) c A N A )b + c A N A () t A= E A A= ( n A= c A dn A ) u dn n+

16 matricial de Teniendo en cuenta que los coeficientes c A son arbitrarios, se obtiene: n c A G A = siendo: G A = n ( B= E A dn A A= ) dn L B d B N A b N A ()t+ E A dn A udn n+ matricial Finalmente, se puede poner: de siendo: K AB = f A = E A dn A Kd = f dn B N A b + N A ()t E A dn A udn n+

17 Elementos de Funciones de interpolación lineal N 2 N A (x) = 3 { x xa N 3 h A x A < x < x A x A+ x h A x A < x < x A+ 4 2 N 2 3 N Elementos de Referencias global y local N B (x) = x x A x B x A = x x A h e (2) N b (ξ) = + ξ bξ 2 A B a = b = 2 ξ a = ξ ξ b = (3) x

18 Elementos de Interpolación del campo de desplazamientos u h (x) = u A N A (x) + u B N B (x) (4) u h (ξ) = u N (ξ) + u 2 N 2 (ξ) (5) Relación entre coordenadas locales y globales ξ(x) = 2x x A x B h e (6) x e (ξ) = he ξ + x A + x B 2 = N a (ξ)xa e 2 a= = 2 (( ξ)x A + ( + ξ)x B ) (7) Elementos de Integración en coordenadas locales K e ab = + N a,ξ (ξ)ean b,ξ (ξ) x ξ dξ (8) sustituyendo: N a,ξ = [ ] ξ 2 ( + ξ aξ) = 2 ξ a (9) x ξ = [ h e ] ξ + x A + x B = he () ξ 2 2 en (8), resulta: K e = EA h e ( ) ()

19 Para ampliar este tema... de [] Felippa, C.A. Home Page. Introduction to Finite Element Methods (ASEN 57) - Fall 24 Department of Aerospace Engineering Sciences University of Colorado at Boulder. Hughes, T.J.R. The Finite Element Method. Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis. Dover Publications Inc., 2. Oñate, E. Cálculo de Estructuras por el de Elementos Finitos. Análisis estático lineal. CIMNE. Segunda edición, 995.