Sistema de ecuaciones lineales

Transcripción

1 1 El sistema de ecuaciones lineales Sistema de ecuaciones lineales puede ser escrito en forma matricial como, donde: es llamada matriz de los coeficientes (reales) del sistema es el vector de las incógnitas y es el vector de los términos (independientes) libres. Todo esto puede ser resumido en: Para El objetivo de esta unidad, en el presente curso es resolver numéricamente un sistema. Un sistema de ecuaciones lineales se puede resolver usando los métodos adquiridos en Enseñanza Media: por sustitución, igualación o eliminación, los cuales no son métodos numéricos o iterativos. Si la matriz es tal que, el sistema el sistema tiene solución única. Por ejemplo,. usando la regla de Cramer para resolver el sistema calculamos: Con lo cual se obtiene la solución,,,. Por lo tanto la solución es. Recordamos que, para una matriz de orden n, calcular un determinante tiene un costo computacional del orden. Utilizando el método de Cramer, se deben calcular n+1 determinantes, lo cual encarece el costo computacional. Además, aunque se disponga de tiempo infinito, si la matriz A tiene determinante muy cercano a cero, esto puede darnos soluciones erróneas, debido a la acumulación de errores de redondeo. Esto, hace necesario el estudio de métodos iterativos. Los métodos iterativos son aquellos que parten de una aproximación inicial a la solución del sistema dado y construye, a partir de dicha aproximación, una sucesión de vectores que si converge lo hace a la solución del sistema. Tendremos fórmulas para calcular los términos de la sucesión. En general se podría calcular el límite de la sucesión, pero para los objetivos de este curso, bastará con tomar alguna condición de término para el cálculo de las iteraciones, obteniendo una solución aproximada del sistema. Los métodos Iterativos a estudiar son:

2 2 JACOBI y GAUSS-SEIDEL Los métodos que se estudiarán pueden ser vistos como generalizaciones del método de punto fijo: Dado el sistema, o equivalentemente, donde es no singular (es invertible) y, lo transformamos en un sistema equivalente para alguna matriz y algún vector. Se construye entonces la sucesión de vectores a partir de la fórmula de iteración, con, esperando que sea convergente a la única solución del sistema. Para el sistema Los esquemas de iteración para cada uno de ellos es el siguiente: Si, y siguiendo el proceso algebraico dado en clases, se obtienen las iteraciones: Para JACOBI Lo que es resumido en: Para GAUSS-SEIDEL (o de desplazamientos sucesivos) Una posible mejora en el algoritmo de Jacobi es la siguiente: En vez de calcular usando todas las componentes de y como ya se han calculado las nuevas aproximaciones, las cuales supuestamente son mejores aproximaciones que las componentes parece más recomendable calcular usando los valores actualizados cuando proceda. Esto es:

3 3 Lo que es resumido en: CONVERGENCIA Para el análisis de la convergencia de los métodos iterativos se necesita de los siguientes conceptos: 1) Matriz Estrictamente Diagonalmente Dominante (E.D.D.) Una matriz es estrictamente diagonalmente si Ejemplo a. Para la matriz se tiene que y y y Como 4 > 3, 5 > 3 y 9 > 6, se concluye que la matriz A es E.D.D. b. no es E.D.D porque 2) Normas de matrices Norma 1: Norma infinita: máxima suma por columnas. máxima suma por filas. Norma de Frobenius: Ejemplo: Para la matriz

4 4 EJEMPLO RESUELTO 1 (JACOBI) Realizar 10 iteraciones para estimar la solución del sistema, comenzando con. Para JACOBI el esquema de iteración es: La siguiente tabla resume para i=1, 2, 3 y k=0, 1,, 10: K= ,5000 1,3917 1,6125 1,4595 1,5256 1,4677 1,4975 1,4770 1,4895 1, ,8000 0,6667 0,9567 0,8556 0,9416 0,8913 0,9219 0,9018 0,9139 0, ,1667 1,7833 1,7514 1,8135 1,7538 1,7725 1,7520 1,7618 1,7549 1,7591 Cada debe formar una sucesión convergente Cómo nos aseguramos que se forma sucesión convergente para i=1, 2, 3.? Resp.: Si A es E.D.D se asegura convergencia. Se debe analizar si la matriz A (matriz de coeficientes) es E.D.D. 1: y, 2: y 3: y Como 4 > 3, 5 > 4 y 6 > 4, se asegura que la matriz A es Estrictamente Diagonal Dominante. Por lo tanto, se puede garantizar la convergencia de la sucesión para.

5 5 EJEMPLO RESUELTO 2 (GAUSS-SEIDEL) Para el sistema de ecuaciones Pruebe que es E.D.D, luego escriba las ecuaciones de iteración usando método de Gauss Seidel. Realizar tres iteraciones para determinar la solución aproximada, partiendo con,,. Solución: La matriz es E.D.D. porque 1: y, 2: y 3: y Como 6 > 3, 5 > 4 y 7 > 6, aseguramos que la matriz A es Estrictamente Diagonal Dominante. Por lo tanto, se puede garantizar la convergencia de la sucesión para. El esquema de iteración según Gauss Seidel es el siguiente,, K= ,5 1,6667 1,2857 0,8639 1,0303 0,9974 0,9992 1, ,3333 1,5143 0,8999 1,0049 1,0040 0,9983 1, ,9524 0,7878 1,0183 1,0058 0,9970 1,0007 0,9999 2, ,381-0,4218 0, ,0329 0, , ,3333 1, ,6144 0, ,0009-0,0057 0,002 2, ,1646 0, ,0125-0,0089 0, ,0008 Norma 2 3, , , , , , ,0025 Como,,., los valores aproximados son

6 6 EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Dado el sistema Indicar si se puede garantizar o no, que los esquema de Jabobi y Gauss - Seidel son convergente a la solución exacta del sistema. (Debe analizar si A es EDD) Si necesitamos una tolerancia de en la solución, obtenerlas iniciando con, 2) Indicar si las matrices son EDD y 3) Resuelva los sistemas mediante Jacobi y Gauss Seidel realizando 4 iteraciones y analizar su convergencia. I Iniciando con, a) = b) =. 4) Un ingeniero Civil Industrial supervisa la producción de 4 tipos de equipos. Se requieren Equipo Hrs./Hombre Kg/Equipo Metales kg./equipo Plásticos kg/equipo Comp. Unidades/equipos Si se dispone diariamente de 504 hrs/hombre, 1970 kgs. de metal, 970 kgs. de plástico y 601 componentes. Cuántos equipos de cada tipo se pueden construir por día? 5) Dados los sistemas, obtener las soluciones aproximadas mediante Jacobi y Gauss Seidel, de tal forma que la tolerancia sea a) = b) = 6) Dado el sistema a) Deducir el esquema iterativo de Gauss Seidel y de Jacobi garantizando convergencia. b) Usando el esquema obtenido en a), encontrar una solución aproximada del sistema, con una exactitud de 2 cifras decimales, considerando la aproximación inicial,