Sistemas lineales de ecuaciones

Transcripción

1 Sistemas lineales de ecuaciones Conceptos previos a) Sistemas de ecuaciones lineales. b) Solución de un sistema. c) Sistemas triangulares. Resolución de sistemas Métodos directos a) Método de eliminación de Gauss b) Método de Gauss-Jordan Métodos iterativos a) Método de Jacobi b) Método de Gauss- Seidel Definiciones Ecuación lineal Una ecuación lineal en las variables,,,x n es toda expresión del tipo a 1 a 2 a n x n b con a 1,a 2,,a n,b números reales conocidos. Sistema de ecuaciones lineales Un sistema de m ecuaciones y n variables es a 12 a 1n x n b 1 a 21 a 2n x n b 2 a m1 a m2 a mn x n b m con a ij R, b i R i 1,,m; j 1,,n El sistema anterior puede expresarse matricialmente sin más que considerar

2 a 12 a 1n b 1 A a 21 a 2n, x y b b 2 a m1 a m2 a mn x n b m con lo que las m ecuaciones del sistema quedarían expresadas de la forma Ax b. AlamatrizA se le denomina matriz del sistema, x vector de variables o incógnitas y b vector de términos independientes. Un vector s de la forma s 1 s s 2 es una solución de la ecuación a 1 a 2 a n x n b si al s n sustituir por s 1, por s 2, x 3 por s 3,...,x n por s n la igualdad planteada es cierta, esto es, a 1 s 1 a 2 s 2 a n s n b. De la misma manera, un vector s es solución de un sistema a 1,1 a 1,2 a 1,n x n b 1 a 2,1 a 2,2 a 2,n x n b 2 a m,1 a m,2 a m,n x n b m si la sustituir cada x i por s i planteadas son verdaderas. con i 1,,n, todas y cada una de las m igualdades Cómo resolvemos un sistema, cómo determinamos s la solución (o una de las soluciones) del sistema? Obsérvese que si el sistema propuesto es de tipo triangular, esto es, a 1,1 a 1,2 a 1,n x n 1 a 1,n x n b 1 a 2,2 a 2,n 1 x n 1 a 2,n x n b 2 a n 1,n 1 x n 1 a n 1,n x n b n 1 a n,n x n b n De la última ecuación podremos despejar la variable x n (siempre que 0),

3 x n b n a n,n una vez determinada s n x n 1 b n a n,n, se sustituye en la ecuación anterior y sólo queda despejar a n 1,n 1 x n 1 a n 1,n s n b n 1 a n 1,n 1 x n 1 b n 1 a n 1,n s n y nuevamente tenemos que imponer que a n 1,n 1 0 para poder despejar la variable x n 1 b n 1 a n 1,n s n a n 1,n 1 y así, sucesivamente, iríamos conociendo todos y cada uno de los elementos de s. Como vemos, este método de resolución de sistemas, partiendo de sistemas triangulares es sencillo. Este va a ser nuestro objetivo a la hora de resolver un sistema: trabajar con sistemas triangulares. Para ello haremos uso de las siguientes propiedades elementales: Propiedad 1: Si s es solución de una ecuación e i entonces también es solución de ke i con k R. Propiedad 2: Si s es solución de las ecuaciones e i y e j entonces también es solución de e i e j. Método eliminación de Gauss Es el método más importante de entre los métodos directos de resolución de sistemas lineales. La idea que se sigue en este método es la eliminación sistemática, haciendo uso de las anteriores propiedades, de las variables desde la hasta la x n 1 en determinadas ecuaciones del sistema de partida hasta llegar a una sistema triangular. Consideremos el sistema cuadrado, esto es n n a 1,1 a 1,2 a 1,n x n b 1 a 2,1 a 2,2 a 2,n x n b 2 a n,1 a n,2 a n,n x n b n Supongamos que la matriz del sistema A a ij es no singular, esto es, deta 0, entonces el sistema Ax b tiene una única solución.

4 Paso 1: Si a 1,1 0 entonces elimino la variable desde la segunda ecuación hasta la n-ésimadelaforma: Para cada i 2,,n resto a la i-ésima ecuación la primera multiplicada por m i1 a i,1 a 1,1. El resultado es el sistema a 1 1,1 a 1 1,2 a 1 1,n x n 1 a 1 1,n x n a 2,2 a 3,2 a 2,n 1 x n 1 a 2,n x n a 3,n 1 x n 1 a 3,n x n b 1 1 b 2 b 3 a n 1,2 a n,2 a n 1,n 1 x n 1 a n,n 1 x n 1 a n 1,n x n an,n x n b n 1 bn donde a 1 1,j a 1,j con j 1,,n y b 1 1 b 1. Paso 2: Si a 2,2 0 entonces elimino la variable desde la tercera ecuación hasta la n-ésimadelaforma: Para cada i 3,,n resto a la i-ésima ecuación la segunda multiplicada por m i2 a i,2 a 1,1. Aparecerá un sistema equivalente al anterior con coeficientes a 3 i,j a i,j m i,2 a 2,j y b i 3 b i m i,2 b 2 con j 3,,n de la forma a 1 1,1 a 1 1,2 a 1 1,3 x 3 a 1 1,n x n 1 a 1 1,n x n a 2,2 a 2,3 x 3 a 3 3,3 x 3 a 2,n 1 x n 1 a 2,n x n 3 a 3,n 1 x n 1 a 3 3,n x n 3 a n 1,2 x 3 a 3 n,2 x 3 3 a n 1,n 1 x n 1 3 a n,n 1 x n 1 3 a n 1,n x n an,n 3 x n b 1 1 b 2 b b n 1 bn 3 Paso 3: Si a 3 3,3 0 elimino la variable x 3 desde la cuarta ecuación a la n-ésima con las operaciones oportunas del mismo tipo de las descritas. De manera sucesiva vamos eliminando las varibles x 4 desde la quinta ecuación a la última, con x 5,,x n 1 hasta obtener un sistema de la forma:

5 a 1 1,1 a 1 1,2 a 1 1,3, x 3 a 2,2 a 2,3 x 3 a 3 3,3 x 3 1 a 1,n 1 x n 1 a 1 1,n x n a 2,n 1 x n 1 a 2,n x n 3 a 3,n 1 x n 1 a 3 3,n x n n 1 a n 1,n 1 x n 1 a n 1 n 1,n x n b 1 1 b 2 b 3 3 n 1 b n 1 an,n n x n bn n Ya estamos en condiciones de encontrar la solución. El siguiente resultado nos garantiza bajo qué condiciones será posible aplicar al sistema Ax b el método de eliminación gaussiana. Teorema Sea A una matriz n n cuyas submatrices menores principales de orden k 1,,n son invertibles ( esto es, todos tienen determinante distinto de cero, en particular la matriz A), entonces el método de eliminación gaussiana es posible completarlo para el sistema Ax b sin encontrar ningún divisor nulo. a 12 a 1n Si A a 21 a 2n a n1 a n2 sus matrices menos principales son a 12 a 13 A 1, A 2 a 12 a 21, A 3 a 21 a 23, y en general, a 31 a 32 a 33 A k a 12 a 1k a 21 a 2k a k1 a k2 a kk k 4,...,n con A n A. Nota: El proceso de eliminación gaussiana también se puede aplicar a un sistema m n siguiendo las mismas etapas anteriormente indicadas sólo que al final tendremos un sistema

6 reducido del tipo a 1 1,1 a 1 1,2 a 1 1,3, x 3 a 1 1,m x m a 2,2 a 2,3 x 3 a 2,m x m a 3 3,3 x 3 a 3 3,m x m 1 a 1,m1 x m1 a 1 1,n x n a 2,m1 x m1 a 2,n x n 3 a 3,m1 x m1 a 3 3,n x n am,m m x m m a m,m1 x m1 am,n m x n b 1 1 b 2 b 3 3 bn m para que resulte un sistema triangular como en el caso descrito más arriba, pasamos al segundo miembro todos los sumandos correspondientes a las variables x m1,,x n y procedemos a resolver el sistema triangular resultante. La solución vendrá expresada en términos de las x m1,,x n. Habrá una familia de soluciones dependiendo de m n parámetros. Método de eliminación de Gauss-Jordan La idea que se sigue en este método es la eliminación gaussiana haciendo uso de las anteriores propiedades, de las variables desde la hasta la x n en determinadas ecuaciones del sistema de partida hasta llegar a una sistema diagonal Consideremos el sistema cuadrado, esto es n n a 1,1 a 1,2 a 1,n x n b 1 a 2,1 a 2,2 a 2,n x n b 2 a n,1 a n,2 a n,n x n b n Supongamos que la matriz del sistema A a i,j es no singular, esto es, deta 0, entonces el sistema Ax b tiene una única solución. Paso 1: Si a 1,1 0 entonces elimino la variable desde la segunda ecuación hasta la n-ésimadelaforma: Para cada i 2,,n resto a la i-ésima ecuación la primera multiplicada por m i,1 a i,1 a 1,1. El resultado es el sistema

7 a 1,1 a 1,2 a 1,n x n 1 a 1,n x n a 2,2 a 3,2 a 2,n 1 x n 1 a 2,n x n a 3,n 1 x n 1 a 3,n x n b 1 b 2 b 3 a n 1,2 a n,2 a n 1,n 1 x n 1 a n,n 1 x n 1 a n 1,n x n an,n x n b n 1 bn donde a 1,j a 1,j con j 1,,n y b 1 b 1. Paso 2: Si a 2,2 0 entonces elimino la variable en la primera ecuación y desde tercera ecuación hasta la n-ésima de la forma: Para cada i 1,3,,n resto a la i-ésima ecuación la segunda multiplicada por m i2 a i,2 a 1,1. Aparecerá un sistema equivalente al anterior con coeficientes a 3 i,j a i,j m i,2 a 2,j y b i 3 b i m i,2 b 2 con j 1,3,,n de la forma a 3 1,1 a 3 1,3 x 3 a 3 1,n x n 1 a 3 1,n x n a 2,2 a 2,3 x 3 a 3 3,3 x 3 a 2,n 1 x n 1 a 2,n x n 3 a 3,n 1 x n 1 a 3 3,n x n 3 a n 1,2 x 3 a 3 n,2 x 3 3 a n 1,n 1 x n 1 3 a n,n 1 x n 1 3 a n 1,n x n an,n 3 x n b 1 3 b 2 b b n 1 bn 3 Paso 3: Si a 3 3,3 0 elimino la variable x 3, en la primera, segunda y desde la cuarta ecuación a la n-ésima con las operaciones oportunas del mismo tipo de las descritas. De manera sucesiva vamos eliminando las varibles x 4 desde en todas las ecuaciones salvo la cuarta,e igual proceso seguimos con las restantes x 5,,x n hasta obtener un sistemadelaforma:

8 a n 1,1 a n 2,2 a n 3,3 x 3 n a n 1,n 1 x n 1 an,n n x n b 1 n b 2 n b 3 n n b n 1 bn n Ya estamos en condiciones de encontrar la solución, sin más que despejar de cada ecuación la variable correspondiente. Para garantizar que podremos resolver el sistema por medio del método de Gauss-Jordan, es necesario el mismo resultado que en el caso de Gauss. Métodos iterativos Dado un sistema de cuaciones lineales Ax b, un método iterativo para la resolución de dicho sistema, es un procedimiento que genera una sucesión,,x k, de soluciones aproximadas a partir de una x 0 inicial dada, y tal que, en las condiciones adecuadas, dichas sucesión de aproximaciones tiende a la solución exacta cuando k. Los métodos iterativos que se estudiarán son los de Jacobi y Gauss-Seidel. Método de Jacobi Dado una sistema lineal de ecuaciones a 12 a 1n x n b 1 a 21 a 2n x n b 2, con deta 0 a n1 a n2 x n b n pasaremos a describir cómo se formaría la relación que me permite construir la sucesión de aproximaciones a la solución. Más adelante veremos qué condiciones habrá que exigir para garantizar la convergencia. Paso 1: Se despeja de la primera ecuación. ( Si 0, entonces es posible intercambiar esa ecuación con otra k tal que el a k1 0)

9 1 b 1 a 12 a 1n x n Paso 2: Se despeja de la segunda ecuación. ( Si 0, entonces es posible intercambiar esa ecuación con otra l tal que el a l2 0) 1 b 2 a 21 a 23 x 3 a 2n x n Paso j: Se despeja x j de la j-ésima ecuación. ( Si a jj 0, entonces es posible intercambiar esa ecuación con otra k tal que el a k2 0) x j 1 a jj b j a j,1 a j,j 1 x j 1 a j,j1 x j1 a j,n x n Paso n: Se despeja x n de la n-ésima ecuación. Si a n,n 0 x n 1 b n a n1 1 x n 1 Una vez hemos despejada cada una de las n variables en una de la n ecuaciones formamos el siguiente método x k1 1 1 a11 x k1 2 1 a22 b 1 a 1,2 k a 1,n xn k b 2 a 21 k a 2,3 x 3 k a 2,n xn k x k1 j 1 ajj b j a j,1 x k 1 a j,j 1 x k j 1 a j,j1 x k j1 a,jn xn k xn k1 1 ann b n a n1 x k k 1 1 x n 1 Podemos escribirlo en forma matricial k1 k1 xn k1 b 1 b 2 b n 0 a 12 a 1n a 21 0 a n1 a n1 a n2 0 k k xn k que escribiremos abreviadamente x k1 c J M J x k el vector c J ylamatrizm J son el vector y la matriz del método de Jacobi. Si se toma una solución aproximada inicial x 0 arbitraria, es frecuente escoger todos los x i 0 0, podemos calcular el vector, una vez conocido, podemos calcular x yasí

10 sucesivamente. Es frecuente recoger toda esa información elaborando una tabla k k k xn k xn 1 xn xn 3 Método de Gauss-Seidel Dado una sistema lineal de ecuaciones a 12 a 1n x n b 1 a 21 a 2n x n b 2, con deta 0 a n1 a n2 x n b n Como hemos visto en el método de Jacobi para obtener k1, se utilizan k,x 3 k,,xn k, pero resulta que ya conocemos k1 por qué no utilizar esta aproximación más avanzada de en vez de la k-ésima?, igualmente cuando procedamos a calcular una x j k1 tambien trataremos de manejar las aproximaciones k1 que ya tengamos calculadas. Paso 1: Se despeja de la primera ecuación. ( Si 0, entonces es posible intercambiar esa ecuación con otra k tal que el a k1 0, está garantizado por ser deta 0) 1 b 1 a 12 a 1n x n k1 1 b 1 a 12 k a 1n xn k Paso 2: Se despeja de la segunda ecuación. ( Si 0, entonces es posible intercambiar esa ecuación con otra l tal que el a l2 0) 1 b 2 a 21 a 23 x 3 a 2n x n Paso j: Se despeja x j de la j-ésima ecuación. ( Si a jj 0, entonces es posible intercambiar esa ecuación con otra k tal que el a k2 0)

11 x j 1 a jj b j a j1 a jj 1 x j 1 a jj1 x j1 a jn x n Paso n: Se despeja x n de la n-ésima ecuación. Si 0 x n 1 b n a n1 1 x n 1 Una vez hemos despejada cada una de las n variables en una de la n ecuaciones formamos el siguiente método x k1 1 1 a11 x k1 2 1 a22 b 1 a 12 k a 1n xn k b 2 a 21 k a 23 x 3 k a 2n xn k x k1 j 1 ajj b j a j1 x k 1 a jj 1 x k j 1 a jj1 x k j1 a jn xn k xn k1 1 ann b n a n1 x k k 1 1 x n 1 Podemos escribirlo en forma matricial k1 k1 xn k1 b 1 b 2 b n 0 a 12 a 1n a 21 0 a n1 a n1 a n2 0 k k xn k que escribiremos abreviadamente x k1 c J M J x k el vector c J ylamatrizm J son el vector y la matriz del método de Jacobi. Si se toma una solución aproximada inicial x 0 arbitraria, es frecuente escoger todos los x i 0 0, podemos calcular el vector, una vez conocido, podemos calcular x yasí sucesivamente. Es frecuente recoger toda esa información elaborando una tabla k k k 1 3 xn k xn 1 xn xn 3